Pojam, vrste i elementi prizme — šta imaju zajedničko olovka, kocka i kutija za picu?

Prizma kao poliedar sa dve podudarne osnove u paralelnim ravnima i bočnim stranama paralelogramima (nastaje paralelnim pomeranjem mnogougla); osnove, bočne strane, omotač, osnovne i bočne ivice, temena, visina; prava i kosa prizma (kod prave su bočne strane pravougaonici, a bočna ivica je jednaka visini); naziv po osnovi (trostrana, četvorostrana …); pravilna prizma, jednakoivična prizma, kocka, kvadar, paralelepiped; osnova nije uvek „dole“; broj osnovnih i bočnih ivica i zbir dužina svih ivica prave pravilne prizme.

Nikola Stanković

Čas nije dostupan za štampu. Otvori ga na sajtu: https://dopetice.com/cas/290

Video

Nacrtaj trougao na listu papira, pa ga u mislima podigni pravo naviše, ne okrećući ga. Prostor kroz koji je trougao prošao je jedno telo — prizma. Kako se zovu njeni delovi i kakve sve prizme postoje? Pogledaj video, pa nastavi čas.

Pojmovi

Šta je prizma: Prizma je poliedar kome su dve strane podudarni mnogouglovi u dve paralelne ravni, a sve ostale strane paralelogrami. Možemo je zamisliti ovako: mnogougao pomeramo paralelno (bez okretanja) do druge, paralelne ravni; svako njegovo teme opiše duž, i sve te duži su jednake i paralelne. Neoštrena olovka, kocka šećera, kutija od cipela i kartonska kutija za čokoladu u obliku „krova“ imaju oblik prizme; konzerva (valjak) i piramida nisu prizme.
Elementi prizme: Dva podudarna mnogougla u paralelnim ravnima su osnove (baze) prizme, a paralelogrami su bočne strane; sve bočne strane zajedno čine omotač prizme. Stranice osnova su osnovne ivice, a ostale ivice (one koje spajaju osnove) su bočne ivice. Temena osnova su temena prizme. Rastojanje između ravni osnova je visina prizme $H$. Temena obeležavamo npr. $K, L, M$ u jednoj osnovi i $K_1, L_1, M_1$ u drugoj, tako da su $KK_1$, $LL_1$, $MM_1$ bočne ivice.
Prava i kosa prizma: Ako su bočne ivice normalne na ravni osnova, prizma je prava; inače je kosa. Kod prave prizme bočne strane su pravougaonici, a svaka bočna ivica je jednaka visini. Kosa prizma izgleda kao „nagnuta“, i njena bočna ivica je duža od visine. U daljim časovima radimo samo sa pravim prizmama.
Naziv po osnovi: Prizma se imenuje po osnovi: ako je osnova trougao, prizma je trostrana, ako je četvorougao — četvorostrana, ako je petougao — petostrana itd. Kod $n$-strane prizme svaka osnova ima $n$ ivica, pa osnovnih ivica ima $2n$, bočnih ivica $n$, temena $2n$, a strana $n + 2$ (kao što smo prebrojali u času o poliedrima).
Pravilna i jednakoivična prizma: Prava prizma čija je osnova pravilan mnogougao zove se pravilna prizma: pravilna trostrana ima osnovu jednakostranični trougao, pravilna četvorostrana kvadrat, pravilna šestostrana pravilan šestougao. Prava prizma čije su SVE ivice jednake zove se jednakoivična. Neoštrena šestostrana olovka je pravilna šestostrana prizma, ali nije jednakoivična: duga je mnogo više nego što je široka.
Kocka, kvadar, paralelepiped: Prizma čija je osnova paralelogram je paralelepiped; svih šest njegovih strana su paralelogrami. Prava četvorostrana prizma sa osnovom pravougaonikom je kvadar — sve strane su mu pravougaonici. Kvadar čije su sve ivice jednake je kocka (jednakoivična pravilna četvorostrana prizma). Dakle, svaka kocka je kvadar i svaki kvadar je paralelepiped, ali obrnuto ne važi. Prava prizma čija je osnova paralelogram koji nije pravougaonik (npr. romb sa uglom $70^\circ$) zove se prav paralelepiped: bočne strane su mu pravougaonici, ali nije kvadar.
Osnova nije uvek dole: Osnove prizme prepoznajemo po tome što su podudarne i paralelne, a ne po tome što leže na stolu. Kartonska kutija za čokoladu u obliku „krova“ obično leži na jednoj pravougaonoj strani, a njene osnove su dva trougla na krajevima — to je trostrana prizma, a visina joj je dužina kutije. Kod kvadra bilo koje dve naspramne strane mogu biti osnove.

Formule

Broj ivica $n$-strane prizme

2n \ \text{osnovnih} + n \ \text{bočnih} = 3n

Oznaka	Šta znači	Jedinica
$n$	broj stranica osnove	—

Temena ima $2n$, a strana $n + 2$.

Zbir svih ivica prave pravilne prizme

Z = 2n \cdot a + n \cdot H

Oznaka	Šta znači	Jedinica
$a$	osnovna ivica	cm
$H$	visina (jednaka bočnoj ivici)	cm
$n$	broj stranica osnove	—

Kod kocke je $Z = 12a$, a kod kvadra $Z = 4(a + b + c)$.

Bočna strana prave prizme

\text{pravougaonik } a \times H

Oznaka	Šta znači	Jedinica
$a$	osnovna ivica	cm
$H$	visina prizme	cm

Kod kose prizme bočne strane su paralelogrami.

Pitanja

Pitanje 1 od 10

1. Kakve su osnove svake prizme?

2. Kakve su bočne strane PRAVE prizme?

3. Kako se zove prizma čija je osnova šestougao?

4. Šta je pravilna četvorostrana prizma?

5. Koja tvrdnja je tačna?

6. Šta je omotač prizme?

7. Šta važi za visinu prave prizme i njenu bočnu ivicu?

8. Kod kog tela su SVE ivice jednake?

9. Koliko bočnih ivica ima petostrana prizma?

10. Kartonska kutija leži na pravougaonoj strani, a na krajevima su joj trouglovi. Šta su njene osnove?

Rešeni zadaci

Zadatak 1

Neoštrena olovka ima oblik prave pravilne šestostrane prizme sa osnovnom ivicom $4$ mm i dužinom $175$ mm. Kakve su joj osnove i bočne strane, i koliki je zbir dužina svih njenih ivica?

osnove: pravilni šestouglovi stranice $4$ mm

Pravilna šestostrana prizma ima osnovu pravilan šestougao.
bočne strane: $6$ pravougaonika $4 \times 175$ mm

Prizma je prava, pa su bočne strane pravougaonici; bočna ivica je jednaka visini, $175$ mm.
$2 \cdot 6 = 12$ osnovnih i $6$ bočnih ivica

Svaka od dve osnove ima $6$ stranica; bočnih ivica ima koliko i temena osnove.
$Z = 12 \cdot 4 + 6 \cdot 175 = 48 + 1050 = 1098$

Zbir svih ivica u milimetrima.

Odgovor: osnove su pravilni šestouglovi, bočne strane pravougaonici $4 \times 175$ mm, a zbir ivica je $1098$ mm

Zadatak 2

Metalno korito za cveće ima dva podudarna zida u obliku trapeza na krajevima, a dno i dva kosa zida su pravougaonici duži $80$ cm. Da li je korito (zamišljeno kao zatvoreno telo) prizma? Koje su mu osnove, koliko je strana prizme i kolika je visina?

$\text{trapezi na krajevima}$

Dva trapeza su podudarna i leže u paralelnim ravnima (krajevi korita), a ostale strane su pravougaonici — to je prava prizma.
$\text{četvorostrana prizma}$

Osnova je trapez, četvorougao, pa je prizma četvorostrana: $4$ bočne strane i $2$ osnove, ukupno $6$ strana.
$H = 80\ \mathrm{cm}$

Visina prizme je rastojanje između osnova, a to je dužina korita, iako korito „leži“ — osnova nije uvek dole.

Odgovor: jeste: prava četvorostrana prizma sa osnovama trapezima, $6$ strana, visina $80$ cm

Zadatak 3

Za svako tvrđenje odluči da li je tačno: a) svaka kocka je pravilna četvorostrana prizma; b) svaki kvadar je pravilna prizma; c) jednakoivična trostrana prizma ima bočne strane kvadrate.

$a)\ \text{tačno}$

Kocka je prava prizma sa kvadratom u osnovi.
$b)\ \text{netačno}$

Kvadar sa osnovom pravougaonikom $3 \times 5$ cm nije pravilan, jer pravougaonik koji nije kvadrat nije pravilan mnogougao.
$c)\ \text{tačno}$

Bočne strane prave prizme su pravougaonici $a \times H$; ako je $H = a$, to su kvadrati.

Odgovor: a) tačno; b) netačno; c) tačno

Test

Kod računskih zadataka reši u svesci i upiši rezultat (decimalni broj sa zarezom, npr. 2,5), a kod ostalih izaberi tačan odgovor.

Zadatak 1

Ram viseće svetiljke ima oblik prave pravilne trostrane prizme (osnova je jednakostraničan trougao). Ram je napravljen od metalnih profila duž SVIH ivica prizme, ukupne dužine $315$ cm. Osnovna ivica je duga $15$ cm. Kolika je visina prizme (u centimetrima)?

Zadatak 2

Kutija ima dve podudarne osnove oblika romba sa uglom $50^\circ$ u paralelnim ravnima, a bočne ivice su normalne na ravni osnova. Kako se zove ta prizma?

Zadatak 3

Kutija ima dve osnove oblika pravilnog šestougla stranice $5$ cm u paralelnim ravnima i šest bočnih strana kvadrata. Kakva je to prizma?

Bravo, čas je završen!

—pitanja iz prve

—zadataka na testu

Želiš sertifikat? Napravi besplatan nalog, pa uradi test još jednom (treba bar 2 od 3 tačno). Rezultati se tada čuvaju, a sertifikat možeš da odštampaš ili podeliš.

Napravi besplatan nalog

Sledeći čas: 32. Dijagonale prizme i dijagonalni preseci — koliko dug štap staje u kutiju?