Površina prave trostrane i pravilne šestostrane prizme — koliko platna treba za šator?

Površina prave trostrane prizme $P = 2B + M$, $M = O \cdot H$, sa osnovom pravouglim, jednakokrakim ili jednakostraničnim trouglom (visina trougla Pitagorinom teoremom); pravilna trostrana prizma $P = \frac{a^2\sqrt{3}}{2} + 3aH$; pravilna šestostrana prizma (šest jednakostraničnih trouglova) $P = 3a^2\sqrt{3} + 6aH$; duža dijagonala šestougla $2a$; zapis rezultata sa korenom ($m\sqrt{3} + n$ se ne sabira u jedan član) i približna vrednost ($\sqrt{3} \approx 1{,}73$); poređenje trostrane i šestostrane prizme istog omotača.

Nikola Stanković

Čas nije dostupan za štampu. Otvori ga na sajtu: https://dopetice.com/cas/294

Video

Kutija za čaj ima oblik pravilne šestostrane prizme sa osnovnom ivicom $4$ cm i visinom $3$ cm. Kako se računa površina šestougaonog dna i poklopca, i cele kutije? Pogledaj video, pa nastavi čas.

Pojmovi

Prava trostrana prizma: Za svaku pravu prizmu važi $P = 2B + M$ i $M = O \cdot H$. Kod trostrane prizme osnova je trougao, pa $B$ računamo kao polovinu proizvoda stranice i visine na nju, a $O$ kao zbir tri stranice. Kad je osnova pravougli trougao, $B = \frac{ab}{2}$ (katete), a hipotenuzu za obim dobijamo Pitagorinom teoremom. Kad je osnova jednakokraki trougao, visina na osnovicu deli ga na dva pravougla trougla, pa je takođe nalazimo Pitagorinom teoremom.
Pravilna trostrana prizma: Osnova je jednakostranični trougao stranice $a$; njegova visina je $\frac{a\sqrt{3}}{2}$, pa je $B = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$. Omotač čine tri jednaka pravougaonika $a \times H$, pa je $M = 3aH$. Zato je $P = 2 \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} + 3aH = \frac{a^2\sqrt{3}}{2} + 3aH$.
Pravilna šestostrana prizma: Pravilan šestougao stranice $a$ dužim dijagonalama (kroz središte) deli se na šest jednakostraničnih trouglova stranice $a$. Zato je $B = 6 \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{3a^2\sqrt{3}}{2}$, a duža dijagonala osnove je $2a$. Omotač čini šest pravougaonika $a \times H$, pa je $M = 6aH$ i $P = 3a^2\sqrt{3} + 6aH$.
Rezultat sa korenom: Površina pravilne trostrane ili šestostrane prizme obično ima deo sa $\sqrt{3}$ i deo bez korena, na primer $P = (12\sqrt{3} + 60)\ \mathrm{cm^2}$. Ti delovi se ne mogu sabrati u jedan broj puta $\sqrt{3}$ ($12\sqrt{3} + 60 \ne 72\sqrt{3}$), pa tačan rezultat ostavljamo u tom obliku. Kad treba znati koliko materijala kupiti, uzimamo približnu vrednost $\sqrt{3} \approx 1{,}73$: $12 \cdot 1{,}73 + 60 = 80{,}76$.
Veze iz osnove: Ponekad osnovna ivica nije data direktno: kod pravilne šestostrane prizme duža dijagonala osnove je $2a$; kod pravilne trostrane prizme obim osnove je $3a$; razvijeni omotač je pravougaonik čija je jedna stranica obim osnove, a druga visina. Iz takvog podatka prvo izračunamo $a$, pa tek onda površinu.

Formule

Pravilna trostrana prizma

P = \frac{a^2\sqrt{3}}{2} + 3aH

Oznaka	Šta znači	Jedinica
$a$	osnovna ivica	cm
$H$	visina	cm

$B = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$, $M = 3aH$.

Pravilna šestostrana prizma

P = 3a^2\sqrt{3} + 6aH

Oznaka	Šta znači	Jedinica
$a$	osnovna ivica	cm
$H$	visina	cm

$B = \frac{3a^2\sqrt{3}}{2}$ (šest jednakostraničnih trouglova), $M = 6aH$.

Prava trostrana prizma

P = 2B + (a + b + c) \cdot H

Oznaka	Šta znači	Jedinica
$a$, $b$, $c$	stranice osnove	cm
$B$	površina trougla osnove	cm²

Pravougli trougao: $B = \frac{ab}{2}$ (katete).

Pitanja

Pitanje 1 od 10

1. Kolika je površina osnove pravilne trostrane prizme sa osnovnom ivicom $a$?

2. Kolika je površina jednakostraničnog trougla stranice $2$ cm?

3. Koliki je omotač pravilne šestostrane prizme?

4. Prava prizma ima osnovu trougao stranica $5$, $6$ i $7$ cm i visinu $10$ cm. Koliki je omotač?

5. Koliko je približno $\sqrt{3}$?

6. Jednakokraki trougao ima osnovicu $42$ cm i krak $29$ cm. Kolika je visina na osnovicu?

7. Može li se $8\sqrt{3} + 60$ zapisati kao $68\sqrt{3}$?

8. Šta je potrebno za površinu osnove prizme kad je osnova pravougli trougao?

9. Ako se visina pravilne šestostrane prizme udvostruči, šta se dešava sa površinom osnove?

10. Kako kraće zapisujemo $2 \cdot 4\sqrt{3} + 84$?

Rešeni zadaci

Zadatak 1

Šator ima oblik prave trostrane prizme dužine $3$ m; prednji i zadnji zid su jednakokraki trouglovi sa osnovicom (širinom poda) $4$ m i kracima $2{,}9$ m. Koliko kvadratnih metara platna čine pod, dva kosa krova i dva trouglasta zida?

$h^2 = 2{,}9^2 - 2^2 = 8{,}41 - 4 = 4{,}41$, $\ h = 2{,}1$

Visina trougla deli osnovicu na pola ($2$ m) — pravougli trougao sa hipotenuzom $2{,}9$ m.
$B = \frac{4 \cdot 2{,}1}{2} = 4{,}2$

Površina jednog trouglastog zida (osnove prizme), u m².
$M = (4 + 2{,}9 + 2{,}9) \cdot 3 = 9{,}8 \cdot 3 = 29{,}4$

Pod i dva krila krova su omotač: obim trougla puta dužina šatora.
$P = 2 \cdot 4{,}2 + 29{,}4 = 37{,}8$

Ukupna površina platna u m².

Odgovor: $37{,}8$ m²

Zadatak 2

Betonski stubić ograde ima oblik pravilne šestostrane prizme sa osnovnom ivicom $10$ cm. Njegova površina je $(300\sqrt{3} + 4800)$ cm². Koliko je stubić visok?

$2B = 2 \cdot 6 \cdot \frac{100\sqrt{3}}{4} = 300\sqrt{3}$

Dve osnove, svaka od šest jednakostraničnih trouglova stranice $10$ cm. To je baš deo površine uz $\sqrt{3}$.
$M = P - 2B = 4800$

Ostatak površine, bez korena, je omotač.
$6 \cdot 10 \cdot H = 4800$

Omotač pravilne šestostrane prizme je $6aH$.
$60H = 4800$, $\ H = 80$

Podelimo sa $60$. Provera: $6 \cdot 10 \cdot 80 = 4800$.

Odgovor: stubić je visok $80$ cm

Zadatak 3

Dve pravilne prizme imaju istu visinu $5$ cm i isti obim osnove $12$ cm: jedna je trostrana, druga šestostrana. Koja ima veću površinu i za koliko?

$M = 12 \cdot 5 = 60$

Omotači su jednaki, jer su obim osnove i visina isti.
$a = 4:\ \ B = \frac{16\sqrt{3}}{4} = 4\sqrt{3}$

Trostrana: $a = 12 : 3$.
$a = 2:\ \ B = 6 \cdot \frac{4\sqrt{3}}{4} = 6\sqrt{3}$

Šestostrana: $a = 12 : 6$.
$(12\sqrt{3} + 60) - (8\sqrt{3} + 60) = 4\sqrt{3}$

Razlika je samo u osnovama: $2 \cdot 6\sqrt{3} - 2 \cdot 4\sqrt{3}$.

Odgovor: šestostrana, za $4\sqrt{3}$ cm² (oko $6{,}92$ cm²)

Test

Kod računskih zadataka reši u svesci i upiši rezultat (decimalni broj sa zarezom, npr. 2,5), a kod ostalih izaberi tačan odgovor.

Zadatak 1

Drveni prag za ulazak kolicima ima oblik prave trostrane prizme. Bočna strana praga je pravougli trougao sa katetama $11$ cm (visina) i $60$ cm (dužina po podu), a prag je širok $70$ cm. Prag se farba sa svih strana. Kolika je površina koja se farba (u cm²)?

Zadatak 2

Kartonska kutija za bombone ima oblik pravilne šestostrane prizme: duža dijagonala osnove (kroz središte šestougla) je $14$ cm, a visina kutije je $5$ cm. Koliko kvadratnih centimetara kartona čini njenu površinu? Uzmi $\sqrt{3} \approx 1{,}73$. (Decimalni broj upiši sa zarezom.)

Zadatak 3

Pravilna trostrana prizma je jednakoivična: sve ivice su joj duge $a$. Koja formula daje njenu površinu?

Bravo, čas je završen!

—pitanja iz prve

—zadataka na testu

Želiš sertifikat? Napravi besplatan nalog, pa uradi test još jednom (treba bar 2 od 3 tačno). Rezultati se tada čuvaju, a sertifikat možeš da odštampaš ili podeliš.

Napravi besplatan nalog

Sledeći čas: 36. Zapremina prizme i prave četvorostrane prizme — koliko kockica staje u kutiju?