Primena linearnih nejednačina — kada se šta isplati?

Rešavanje problema iz života linearnom nejednačinom: izbor nepoznate i jedinice; reči u znake („najviše“, „najmanje“, „bar“, „ne više od“, „više od“, „isplativije“); postavljanje i rešavanje nejednačine; tumačenje skupa rešenja u priči (prirodan broj: zaokruživanje naviše ili naniže, nikad „po pravilu“); dva uslova istovremeno (presek skupova rešenja); poređenje dve ponude; provera granice i broja odmah iza nje; priča u kojoj rešenja nema.

Nikola Stanković

Čas nije dostupan za štampu. Otvori ga na sajtu: https://dopetice.com/cas/289

Video

Tarifa A za mobilni telefon košta $600$ dinara mesečno i još $5$ dinara po minutu razgovora, a tarifa B $1500$ dinara mesečno, sa neograničenim razgovorima. Od koliko minuta mesečno se više isplati tarifa B? Pogledaj video, pa nastavi čas.

Pojmovi

Od priče do nejednačine: Postupak je isti kao kod jednačina: izaberemo nepoznatu i zapišemo šta ona znači (i u kojoj jedinici), ostale veličine izrazimo preko nje, a zatim dve veličine povežemo — ali sada znakom nejednakosti, jer priča ne kaže „jednako“, nego „najviše“, „bar“, „više od“, „jeftinije“. Rešimo nejednačinu i odgovor protumačimo u priči.
Reči u znake: „Najviše $a$“, „ne više od $a$“, „ne prelazi $a$“: $\le a$. „Najmanje $a$“, „bar $a$“, „ne manje od $a$“: $\ge a$. „Više od $a$“, „preko $a$“: $> a$. „Manje od $a$“, „ispod $a$“: $< a$. „Isplativije (jeftinije)“ znači da je cena MANJA: ako je $A$ cena prve ponude, a $B$ druge, prva je isplativija kad je $A < B$.
Prirodan broj u odgovoru: Kad je nepoznata broj predmeta, dolazaka ili sati, skup rešenja nejednačine treba svesti na prirodne brojeve — i tu se NE zaokružuje „po pravilu“. Na primer: pojedinačni ulaz u teretanu košta $400$ dinara, a mesečna karta $3000$ dinara. Karta se isplati kad je $400x > 3000$, tj. $x > 7{,}5$ — dakle od $8$ dolazaka naviše. Da je uslov bio „najviše“ ($x \le 7{,}5$), odgovor bi bio $7$, iako se $7{,}5$ „po pravilu“ zaokružuje na $8$. Uvek proverimo granicu i broj odmah iza nje.
Dva uslova istovremeno: Često priča postavlja dva uslova odjednom (npr. da stane u kutiju I da bude dovoljno vredno). Tada rešimo svaku nejednačinu posebno, pa uzmemo brojeve koji zadovoljavaju obe — zajednički deo dva intervala. Ako zajedničkog dela nema, priča nema rešenja: uslovi su nemogući.
Poređenje dve ponude: Kad jedna ponuda ima veći stalni trošak, a manji trošak po jedinici, ona je skuplja za mali broj jedinica, a jeftinija za veliki. Granica je broj jedinica za koji su ponude jednake; nejednačina govori sa koje strane granice je koja ponuda bolja. Ako je jedna ponuda i po stalnom trošku i po jedinici skuplja, nejednačina nema rešenja — ta ponuda se nikad ne isplati.

Formule

„Najviše“ i „najmanje“

\text{najviše } a:\ \le a \qquad \text{najmanje } a:\ \ge a

Oznaka	Šta znači	Jedinica
$a$	granica iz priče	—

„Više od“ je $>$, „manje od“ je $<$.

Isplativija ponuda

F_1 + c_1 x < F_2 + c_2 x

Oznaka	Šta znači	Jedinica
$F_1$, $F_2$	stalni troškovi	din
$c_1$, $c_2$	cena po jedinici	din
$x$	broj jedinica	—

Prva ponuda je jeftinija kad je njena ukupna cena manja.

Dva uslova

x \ge m \ \text{ i } \ x \le M \ \Leftrightarrow\ m \le x \le M

Oznaka	Šta znači	Jedinica
$m$, $M$	granice iz dva uslova	—

Ako je $m > M$, rešenja nema.

Pitanja

Pitanje 1 od 10

1. Kojim znakom zapisujemo „ne više od $30$“?

2. Kojim znakom zapisujemo „bar $12$“?

3. Rešenje nejednačine za broj kutija je $x \le 6{,}8$. Koliko je najviše kutija?

4. Šta je skup rešenja ako priča daje uslove $x \ge 2$ i $x < 6$?

5. Priča daje uslove $x \ge 9$ i $x \le 5$. Šta zaključujemo?

6. Šta znači da je ponuda A „isplativija“ od ponude B?

7. Koju veličinu biramo za nepoznatu u zadatku sa nejednačinom?

8. Zašto proveravamo i broj odmah iza granice?

9. Prodavac pravi popust za kupovinu „preko $5000$ dinara“. Da li kupovina od tačno $5000$ dinara dobija popust?

10. Polica nosi najviše $60$ kg. Koja nejednačina kaže da na nju staje $20$ knjiga od po $m$ kg?

Rešeni zadaci

Zadatak 1

Telefon ima $85\%$ baterije. Igrica troši $12\%$ baterije na sat, a Ivana želi da posle igranja ostane bar $25\%$. Koliko najduže sme da igra?

$t$ — vreme igranja (h)

Nepoznata je ono za šta se postavlja uslov.
$85 - 12t \ge 25$

Posle $t$ sati ostaje $85 - 12t$ procenata; „bar $25$“ je znak $\ge$.
$-12t \ge 25 - 85 = -60$

Broj $85$ prebacimo desno sa promenjenim znakom.
$t \le 5$

Podelimo NEGATIVNIM brojem $-12$: znak se okreće.
$85 - 12 \cdot 5 = 25 \ge 25$

Provera granice: posle $5$ h ostaje tačno $25\%$; posle $5{,}5$ h ostalo bi $19\%$, što je premalo.

Odgovor: najduže $5$ sati

Zadatak 2

Mala pekara ima dnevne troškove od $2400$ dinara i još $15$ dinara za svaku kiflu, a kiflu prodaje po $35$ dinara. Peć može da ispeče najviše $180$ kifli dnevno. Koliko kifli treba ispeći (i prodati) da dnevna zarada bude bar $800$ dinara?

$x$ — broj kifli (prirodan broj)

Zarada je prihod minus troškovi.
$35x - (2400 + 15x) \ge 800$

Prihod $35x$ umanjen za sve troškove; „bar $800$“ je $\ge$.
$20x - 2400 \ge 800$, $\ 20x \ge 3200$, $\ x \ge 160$

Oslobodimo se zagrade, saberemo, prebacimo $-2400$ i podelimo sa $20$.
$x \le 180$

Drugi uslov: kapacitet peći.
$160 \le x \le 180$

Oba uslova važe istovremeno. Provera: za $160$ kifli zarada je $5600 - 4800 = 800$ dinara, a za $159$ samo $780$.

Odgovor: između $160$ i $180$ kifli (ukupno $21$ mogućnost)

Zadatak 3

Telefon ima $64$ GB memorije. Sistem zauzima $14$ GB, a aplikacije $9{,}5$ GB. Svaki snimljeni video zauzima $1{,}5$ GB, a mora ostati bar $4$ GB slobodno. Najviše koliko videa sme da se snimi?

$x$ — broj videa (prirodan broj)

Zauzeto je $14 + 9{,}5 + 1{,}5x$ GB.
$14 + 9{,}5 + 1{,}5x \le 64 - 4$

Zauzeto sme biti najviše onoliko koliko ostaje kad se odvoji $4$ GB slobodno.
$1{,}5x \le 60 - 23{,}5 = 36{,}5$

Saberemo brojeve levo i prebacimo ih desno.
$x \le 36{,}5 : 1{,}5 = 24\frac{1}{3}$

Podelimo pozitivnim brojem $1{,}5$.
$x = 24$

Broj videa je prirodan broj, pa je najviše $24$ (nikako $25$). Provera: $23{,}5 + 36 = 59{,}5 \le 60$, a sa $25$ videa bilo bi $61 > 60$.

Odgovor: najviše $24$ videa

Test

Kod računskih zadataka reši u svesci i upiši rezultat (decimalni broj sa zarezom, npr. 2,5), a kod ostalih izaberi tačan odgovor.

Zadatak 1

Iznajmljivanje jednog bicikla košta $300$ dinara pri preuzimanju i još $350$ dinara za svaki sat vožnje (naplaćuju se celi sati). Luka ima $2900$ dinara. Najviše koliko sati može da vozi bicikl?

Zadatak 2

Suncokret je visok $15$ cm i raste $8$ cm nedeljno, a biljka paradajza je visoka $40$ cm i raste $5$ cm nedeljno. Posle najmanje koliko celih nedelja će suncokret biti viši od paradajza? (Rast je ravnomeran.)

Zadatak 3

Troje prijatelja poručuje pice od po $1150$ dinara, a dostava košta $300$ dinara. Svako ima najviše $1300$ dinara. Koja nejednačina opisuje broj pica $x$ koje mogu da poruče zajedno?

Bravo, čas je završen!

—pitanja iz prve

—zadataka na testu

Želiš sertifikat? Napravi besplatan nalog, pa uradi test još jednom (treba bar 2 od 3 tačno). Rezultati se tada čuvaju, a sertifikat možeš da odštampaš ili podeliš.

Napravi besplatan nalog

Sledeći čas: 31. Pojam, vrste i elementi prizme — šta imaju zajedničko olovka, kocka i kutija za picu?