Mreža prizme — kako se kutija razvije u jedan komad kartona?

Mreža prizme: površ prizme razvijena u ravan (sečenjem duž nekih ivica i savijanjem ostalih), iz koje se savijanjem dobija model; delovi mreže: dve osnove i omotač (kod prave prizme pravougaonici, razvijen u jednom komadu — pravougaonik dug kao obim osnove, visok kao visina); jedna prizma ima više mreža; uslovi ispravne mreže (ivice koje se spajaju jednake dužine, osnove sa suprotnih strana omotača, bez preklapanja); koje se ivice mreže lepe; broj rezova pri razvijanju ($2n - 1$) i broj savijenih ivica ($n + 1$); obim mreže i najmanji karton za mrežu; jezičci za lepljenje.

Nikola Stanković

Čas nije dostupan za štampu. Otvori ga na sajtu: https://dopetice.com/cas/292

Video

Kutija oblika kvadra ($4$ cm × $2$ cm × $3$ cm) raseče se duž nekih ivica i razvije u ravan. Šta tačno dobijamo, i kako se iz ravnog kartona ponovo savije kutija? Pogledaj video, pa nastavi čas.

Pojmovi

Šta je mreža prizme: Ako površ prizme rasečemo duž nekih ivica i sve strane razvijemo u jednu ravan tako da ostanu spojene u jedan komad, dobijamo mrežu prizme. Obrnuto, ako mrežu izrežemo i savijemo duž zajedničkih stranica susednih mnogouglova, dobijamo model prizme. Mreža $n$-strane prizme sastoji se od dve osnove i $n$ bočnih strana.
Omotač u mreži: Bočne strane prave prizme su pravougaonici iste visine $H$. Ako ih u mreži postavimo jedan do drugog, omotač je jedan veliki pravougaonik: visok je $H$, a dug koliko i obim osnove (zbir svih osnovnih ivica). Na primer, omotač prave prizme čija je osnova trougao stranica $4$, $7$ i $9$ cm, a visina $10$ cm, razvija se u pravougaonik $20$ cm × $10$ cm.
Više mreža jedne prizme: Ista prizma ima više različitih mreža — zavisi od toga duž kojih ivica sečemo. Na primer, osnove ne moraju biti uz isti pravougaonik omotača, a omotač ne mora biti u jednom komadu (bočne strane mogu biti „okačene“ i o osnovu). Kocka ima tačno $11$ različitih mreža.
Kad je mreža ispravna: Crtež je mreža prizme ako se savijanjem dobija baš ta prizma: svaka stranica mnogougla mora se spojiti sa stranicom iste dužine, nijedne dve strane posle savijanja ne smeju pasti jedna na drugu, i nijedna strana ne sme da fali. Kod prave prizme sa omotačem u jednoj traci jedna osnova mora biti sa jedne strane trake, a druga sa druge; ako su obe sa iste strane, posle savijanja padaju jedna na drugu.
Koje se ivice lepe: Kad mrežu savijamo, svaka slobodna stranica oboda mreže spaja se sa tačno jednom drugom stranicom oboda — zajedno postaju jedna ivica prizme. Zato obod mreže uvek ima paran broj stranica, a dve stranice koje se spajaju imaju istu dužinu. Za lepljenje modela uz jednu od te dve stranice dodaje se uzan jezičak koji nije deo mreže.
Koliko se ivica seče: Kad kutiju od jednog komada razvijemo u mrežu, strane ostaju povezane kao lanac sa granama: svaka strana, osim prve, spojena je sa ostatkom tačno jednom savijenom ivicom. Zato $n$-strana prizma ($n + 2$ strane, $3n$ ivica) u mreži ima $n + 1$ savijenih ivica, a sečemo duž $3n - (n + 1) = 2n - 1$ ivica.

Formule

Razvijeni omotač prave prizme

O_{\text{osnove}} \times H

Oznaka	Šta znači	Jedinica
$O_{\text{osnove}}$	obim osnove (zbir osnovnih ivica)	cm
$H$	visina	cm

Pravougaonik, kad su bočne strane u jednoj traci.

Savijene i rasečene ivice

(n + 1) + (2n - 1) = 3n

Oznaka	Šta znači	Jedinica
$n$	broj stranica osnove	—

Mreža od jednog komada: $n + 1$ savijenih, $2n - 1$ rasečenih ivica.

Mreža $n$-strane prizme

2 \ \text{osnove} + n \ \text{bočnih strana}

Oznaka	Šta znači	Jedinica
$n$	broj stranica osnove	—

Ivice koje se spajaju moraju biti iste dužine.

Pitanja

Pitanje 1 od 10

1. Šta je mreža prizme?

2. Ima li jedna prizma samo jednu mrežu?

3. Koliko različitih mreža ima kocka?

4. Kakvog je oblika razvijen omotač prave prizme u jednoj traci?

5. Koliko je dug razvijen omotač prave prizme (u jednoj traci)?

6. Šta postaju dve stranice oboda mreže koje se pri savijanju spoje?

7. Šta mora važiti za dve stranice mreže koje se pri savijanju spajaju?

8. Čemu služi jezičak na mreži modela?

9. Kako se zove deo mreže koji čine sve bočne strane?

10. Koliko pravougaonika $3$ cm × $5$ cm ima mreža kvadra sa ivicama $3$, $5$ i $8$ cm?

Rešeni zadaci

Zadatak 1

Prava prizma ima osnovu jednakokraki trougao sa kracima $5$ cm i osnovicom $6$ cm, a visinu $7$ cm. Opiši njenu mrežu sa omotačem u jednoj traci i odredi dimenzije najmanjeg pravougaonog kartona na koji staje, ako su trouglovi uz srednji pravougaonik.

$5 + 6 + 5 = 16$

Omotač je traka tri pravougaonika: $5 \times 7$, $6 \times 7$ i $5 \times 7$ cm; ukupno $16$ cm × $7$ cm.
$v^2 = 5^2 - 3^2 = 16$, $\ v = 4$

Trougao se lepi osnovicom ($6$ cm) uz srednji pravougaonik, jedan iznad, drugi ispod trake; njegova visina na osnovicu je kateta pravouglog trougla sa hipotenuzom $5$ i katetom $3$.
$4 + 7 + 4 = 15$

Trouglovi vire $4$ cm iznad i $4$ cm ispod trake, a po širini su unutar srednjeg pravougaonika.
$16\ \mathrm{cm} \times 15\ \mathrm{cm}$

Kraci trouglova ($5$ cm) spojiće se sa stranicama od $5$ cm susednih pravougaonika: mreža je ispravna.

Odgovor: traka $16 \times 7$ cm sa trouglovima iznad i ispod srednjeg pravougaonika; karton $16$ cm × $15$ cm

Zadatak 2

Mreža kutije ($7$ cm × $4$ cm × $3$ cm) ima traku bočnih strana: prednja $7 \times 3$, desna $4 \times 3$, zadnja $7 \times 3$, leva $4 \times 3$; dno $7 \times 4$ je zalepljeno ispod prednje strane. Sa kojim se ivicama spajaju tri slobodne stranice dna?

naspramna stranica dna ($7$ cm)

Dno se savije ispod kutije, pa se njegova udaljenija duga stranica spaja sa donjom ivicom zadnje strane — obe su duge $7$ cm.
kratke stranice dna ($4$ cm)

Kratke stranice dna spajaju se sa donjim ivicama desne i leve strane, koje su takođe duge $4$ cm.
traka se zatvara

Leva ivica prednje strane i desna ivica leve strane (obe po $3$ cm) spajaju se u bočnu ivicu.

Odgovor: sa donjim ivicama zadnje, desne i leve strane

Zadatak 3

Za kutiju sa dnom $6$ cm × $5$ cm i visinom $2$ cm Nina je nacrtala ovaj raspored: u traci su redom pravougaonici $6 \times 2$, $6 \times 2$, $5 \times 2$ i $5 \times 2$ (visine $2$ cm); dno $6 \times 5$ je ispod prvog, a poklopac $6 \times 5$ iznad drugog pravougaonika. Da li je to mreža kutije? Ako nije, kako da je popravi?

rub trake: $6, 6, 5, 5$

Kad se traka savije u omotač, njen donji rub postaje obod dna, a stranice tog oboda idu redom $6$, $6$, $5$, $5$ cm.
naspramne stranice: $6$ i $5$

Dno je pravougaonik, a naspramne stranice pravougaonika su jednake. Ovde bi naspram stranice od $6$ cm bila stranica od $5$ cm — traka se ne može zatvoriti oko dna $6 \times 5$. Raspored nije mreža.
$6 \times 2,\ 5 \times 2,\ 6 \times 2,\ 5 \times 2$

Popravka: drugi i treći pravougaonik zamene mesta (poklopac ide zajedno sa svojim pravougaonikom $6 \times 2$). Sada se dužine smenjuju, pa je obod $6, 5, 6, 5$ — baš obod dna.
dno ispod prvog, poklopac iznad trećeg

Dno i poklopac su sa suprotnih strana trake i uz stranice od $6$ cm, pa se posle savijanja ništa ne poklapa i nijedna strana ne fali.

Odgovor: nije mreža (u traci su jednaki pravougaonici jedan do drugog); ispravna je kad se drugi i treći pravougaonik zamene

Test

Kod računskih zadataka reši u svesci i upiši rezultat (decimalni broj sa zarezom, npr. 2,5), a kod ostalih izaberi tačan odgovor.

Zadatak 1

Mreža kutije oblika kvadra (dno $18$ cm × $13$ cm, visina $3$ cm) nacrtana je na kartonu ovako: četiri bočne strane su jedna traka (pravougaonici širina $18$, $13$, $18$ i $13$ cm, visine $3$ cm), a dno i poklopac su uz prvi pravougaonik, jedno ispod, drugo iznad njega. Mrežu isecamo makazama po njenom obodu. Koliko je dug rez (obim mreže), u centimetrima?

Zadatak 2

Zatvorena kartonska kutija oblika prave jedanaestostrane prizme raseče se duž nekih ivica i razvije u mrežu od jednog komada. Duž koliko ivica je kutija rasečena?

Zadatak 3

Mreža prave petostrane prizme crta se ovako: pet pravougaonika omotača u jednoj traci i dva pravilna petougla, svaki uz onu stranicu nekog pravougaonika koja je duga koliko osnovna ivica. Gde moraju biti petouglovi da bi mreža bila ispravna?

Bravo, čas je završen!

—pitanja iz prve

—zadataka na testu

Želiš sertifikat? Napravi besplatan nalog, pa uradi test još jednom (treba bar 2 od 3 tačno). Rezultati se tada čuvaju, a sertifikat možeš da odštampaš ili podeliš.

Napravi besplatan nalog

Sledeći čas: 34. Površina prave prizme i prave četvorostrane prizme — koliko papira treba za poklon?