Dijagonale prizme i dijagonalni preseci — koliko dug štap staje u kutiju?

🎬 Video

📖 Pojmovi

Dijagonala prizme

Dijagonala prizme je duž koja spaja dva temena prizme koja ne pripadaju istoj strani. Zato ona prolazi kroz unutrašnjost prizme. Treba je razlikovati od dijagonale osnove (spaja dva nesusedna temena iste osnove) i dijagonale bočne strane (leži u bočnoj strani). Kod kvadra $PQRS P_1Q_1R_1S_1$ dijagonale prizme su $PR_1$, $QS_1$, $RP_1$ i $SQ_1$, a $PR$ je dijagonala osnove.

Koliko dijagonala ima prizma

Iz jednog temena donje osnove $n$-strane prizme dijagonala ne može ići do temena iste osnove (to su ivice i dijagonale osnove), ni do gornjeg temena iznad njega i dva susedna gornja temena (ona su u istim bočnim stranama). Ostaje $n - 3$ gornjih temena, pa prizma ima $n(n - 3)$ dijagonala: kvadar $4 \cdot 1 = 4$, petostrana prizma $5 \cdot 2 = 10$, a trostrana prizma nijednu.

Dijagonala prave prizme i Pitagora

Neka dijagonala prave prizme ide iz temena donje osnove do temena gornje osnove. Njena projekcija na donju osnovu je dijagonala osnove $d$, a bočna ivica je normalna na osnovu. Zato je dijagonala prizme $D$ hipotenuza pravouglog trougla sa katetama $d$ i $H$: $D^2 = d^2 + H^2$.

Dijagonala kvadra i kocke

Kod kvadra sa ivicama $a$, $b$, $c$ dijagonala osnove zadovoljava $d^2 = a^2 + b^2$, pa je $D^2 = a^2 + b^2 + c^2$, tj. $D = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$. Sve četiri dijagonale kvadra su jednake. Kod kocke je $a = b = c$: dijagonala strane je $a\sqrt{2}$, a dijagonala kocke $D = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}$. Kad su rezultati celi brojevi, koren nije potreban: dovoljno je naći broj čiji je kvadrat dobijeni zbir.

Dijagonalni presek

Ravan koja prolazi kroz dve nesusedne bočne ivice prave prizme seče prizmu po dijagonalnom preseku. To je pravougaonik: dve stranice su mu dijagonale osnova, a druge dve bočne ivice. Zato je njegova površina $P = d \cdot H$. Svakoj dijagonali osnove odgovara tačno jedan dijagonalni presek, pa ih $n$-strana prava prizma ima koliko i osnova dijagonala: $\frac{n(n - 3)}{2}$ (petostrana $5$). Kvadar ima dva dijagonalna preseka (jednake površine), kocka ivice $a$ ima presek $a \times a\sqrt{2}$, a trostrana prizma nema dijagonalni presek (svake dve bočne ivice su susedne).

Pravilna šestostrana prizma

Pravilan šestougao stranice $a$ ima dve vrste dijagonala: dužu, kroz centar, dugu $2a$ (dva jednakostranična trougla) i kraću, dugu $a\sqrt{3}$ (dve visine jednakostraničnog trougla). Zato pravilna šestostrana prizma ima dve vrste dijagonala prizme, $\sqrt{4a^2 + H^2}$ i $\sqrt{3a^2 + H^2}$, i dve vrste dijagonalnih preseka, površina $2a \cdot H$ i $a\sqrt{3} \cdot H$.

🧮 Formule

❓ Pitanja

✏️ Rešeni zadaci

📝 Test

Kod računskih zadataka reši u svesci i upiši rezultat (decimalni broj sa zarezom, npr. 2,5), a kod ostalih izaberi tačan odgovor.