Rešavanje linearnih nejednačina — prebacivanje člana i rešavanje do kraja

Prebacivanje člana na drugu stranu nejednačine sa promenjenim znakom (posledica dodavanja istog izraza: $P + m < Q + n \Leftrightarrow P - Q < n - m$; znak nejednakosti se pri tome ne menja); plan rešavanja: razlomci i decimale (množenje pozitivnim brojem), zagrade, prebacivanje, sabiranje sličnih članova, deljenje koeficijentom (negativnim — uz okretanje znaka, iz prošlog časa), zapis skupa rešenja i provera; kad se nepoznata poništi ($S = R$ ili $S = \emptyset$); nejednačine u kojima se $x^2$ poništi; poređenje vrednosti dva izraza; nepoznata u imeniocu — pažnja na znak.

Nikola Stanković

Čas nije dostupan za štampu. Otvori ga na sajtu: https://dopetice.com/cas/288

Video

Nejednačina $\frac{x - 2}{2} - (x + 1) < 1$ ima razlomak, zagradu i nepoznatu na više mesta. Kojim redom se rešava, i gde se krije zamka sa znakom? Pogledaj video, pa nastavi čas.

Pojmovi

Prebacivanje člana: Kao kod jednačina, sabirak sme da pređe na drugu stranu nejednačine sa promenjenim znakom: to je samo kratak zapis dodavanja istog izraza obema stranama. Ako su $P$ i $Q$ izrazi sa nepoznatom, a $m$ i $n$ brojevi, onda je $P + m < Q + n \Leftrightarrow P - Q < n - m$ (isto za $>$, $\le$, $\ge$). Na primer, u $6x - 5 \le 2x + 7$ član $2x$ prelazi levo kao $-2x$, a $-5$ desno kao $+5$: $4x \le 12$, pa je $x \le 3$. Pri prebacivanju se menja znak ČLANA, a znak nejednakosti ostaje isti.
Plan rešavanja: Linearnu nejednačinu rešavamo ovim redom: 1) razlomke i decimale uklonimo množenjem pozitivnim brojem (NZS, $10$, $100$); 2) oslobodimo se zagrada; 3) prebacimo članove sa nepoznatom na jednu, a brojeve na drugu stranu; 4) saberemo slične članove i dobijemo $ax < b$ (ili drugi znak); 5) podelimo sa $a$ — ako je $a$ negativan, znak se okreće, kao što smo videli u prošlom času; 6) zapišemo skup rešenja intervalom, nacrtamo ga i proverimo jednim brojem iz skupa i jednim van njega.
Kad nepoznata nestane: Ako se posle prebacivanja članovi sa nepoznatom ponište, ostaje brojevna nejednakost. Ako je ona tačna, rešenje je svaki realan broj ($S = R$); ako je netačna, rešenja nema ($S = \emptyset$). Na primer, $2(x + 1) < 2x + 5$ postaje $2x + 2 < 2x + 5$, tj. $0 < 3$, što je tačno: $S = R$.
Kad se kvadrat poništi: Neke nejednačine izgledaju kao da nisu linearne, jer imaju $x^2$. Ako se posle množenja zagrada član $x^2$ pojavi na obe strane (ili sa $+$ i $-$ na istoj strani), on se poništi i ostaje linearna nejednačina. Tada je rešavamo po planu. Pazi na minus ispred proizvoda ili kvadrata: proizvod prvo izračunaj u zagradi.
Poređenje dva izraza: Pitanje „za koje $x$ je vrednost izraza $A$ veća od vrednosti izraza $B$“ zapisujemo nejednačinom $A > B$; „bar toliko“ je $\ge$, „najviše toliko“ $\le$. Zatim je rešavamo po planu.
Nepoznata u imeniocu: Ako je nepoznata u imeniocu, ne smemo samo pomnožiti imeniocem, jer ne znamo da li je pozitivan ili negativan (a od toga zavisi znak). Na primer, u $\frac{6}{x} > 2$ za $x < 0$ leva strana je negativna, pa nejednakost ne važi; za $x > 0$ smemo da pomnožimo sa $x$: $6 > 2x$, tj. $x < 3$. Zato je $S = (0, 3)$. Takve nejednačine rešavamo posebno za pozitivne i posebno za negativne vrednosti imenioca.

Formule

Prebacivanje člana

P + m < Q + n \ \Leftrightarrow\ P - Q < n - m

Oznaka	Šta znači	Jedinica
$P$, $Q$	izrazi sa nepoznatom	—
$m$, $n$	brojevi	—

Menja se znak člana, a ne znak nejednakosti. Važi i za $>$, $\le$, $\ge$.

Deljenje koeficijentom

ax < b \ \Rightarrow\ x < \frac{b}{a}\ (a > 0), \quad x > \frac{b}{a}\ (a < 0)

Oznaka	Šta znači	Jedinica
$a$	koeficijent uz nepoznatu	—

Negativan koeficijent okreće znak.

Nepoznata se poništi

0 \cdot x < b: \quad S = R\ (b > 0), \quad S = \emptyset\ (b \le 0)

Oznaka	Šta znači	Jedinica
$b$	broj posle sređivanja	—

Isto razmišljanje važi za $>$, $\le$, $\ge$: proverimo da li je brojevna nejednakost tačna.

Pitanja

Pitanje 1 od 10

1. Koji je skup rešenja nejednačine $7x + 2 > 6x - 1$?

2. Iz $9 - 4x \ge x$ prebacivanjem člana $-4x$ dobijamo:

3. Skup rešenja je $S = (-\infty, 4]$. Šta je sa brojem $4$?

4. Posle sređivanja dobili smo $0 \cdot x > -2$. Koji je skup rešenja?

5. Kako proveravamo dobijeni skup rešenja?

6. Da li je nejednačina $x(x + 1) > x^2 + 3$ linearna posle sređivanja?

7. Zašto u $\frac{6}{x} > 2$ ne smemo odmah pomnožiti obe strane sa $x$?

8. Koji je skup rešenja nejednačine $3 - x > 3$?

9. Koji je skup rešenja nejednačine $\frac{x}{3} \ge 2$?

10. Koliko rešenja obično ima linearna nejednačina?

Rešeni zadaci

Zadatak 1

Reši nejednačinu $1{,}5x - 0{,}2(x - 4) \le 0{,}3x + 4{,}8$.

$15x - 2(x - 4) \le 3x + 48$

Obe strane pomnožimo pozitivnim brojem $10$ — svaki član; znak ostaje.
$15x - 2x + 8 \le 3x + 48$

Oslobodimo se zagrade: $-2 \cdot (-4) = 8$.
$15x - 2x - 3x \le 48 - 8$

Član $3x$ prebacimo levo kao $-3x$, a $8$ desno kao $-8$; znak nejednakosti ostaje.
$10x \le 40$, $\ x \le 4$

Saberemo slične članove i podelimo pozitivnim brojem $10$.
$S = (-\infty, 4]$

Provera: za $x = 4$ levo je $6 - 0 = 6$, desno $1{,}2 + 4{,}8 = 6$, pa važi $6 \le 6$; za $x = 5$ levo je $7{,}5 - 0{,}2 = 7{,}3$, desno $6{,}3$, i $7{,}3 \le 6{,}3$ nije tačno.

Odgovor: $x \le 4$, $S = (-\infty, 4]$

Zadatak 2

Reši nejednačinu $4(x - 2) + 3 > 2(2x - 3)$.

$4x - 8 + 3 > 4x - 6$

Oslobodimo se zagrada.
$4x - 4x > -6 + 8 - 3$

Član $4x$ prebacimo levo, a brojeve desno, sa promenjenim znakom.
$0 \cdot x > -1$

Članovi sa $x$ se poništavaju.
$0 > -1$ je tačno, $\ S = R$

Brojevna nejednakost je tačna, i to ne zavisi od $x$: rešenje je svaki realan broj. Provera: za $x = 0$ je $-5 > -6$, za $x = 10$ je $35 > 34$.

Odgovor: $S = R$ (svaki realan broj)

Zadatak 3

Za koje $x$ je vrednost izraza $A = 3 - 2(x - 1)$ veća od vrednosti izraza $B = \frac{x + 4}{2}$?

$3 - 2(x - 1) > \frac{x + 4}{2}$

„Vrednost $A$ je veća od vrednosti $B$“ zapišemo kao $A > B$.
$6 - 4(x - 1) > x + 4$

Obe strane pomnožimo pozitivnim brojem $2$ — i broj $3$ i zagradu.
$6 - 4x + 4 > x + 4$

Oslobodimo se zagrade: $-4 \cdot (-1) = 4$.
$6 + 4 - 4 > x + 4x$

Član $-4x$ prebacimo desno, gde će biti pozitivan, a broj $4$ levo.
$6 > 5x$, $\ x < \frac{6}{5}$

Podelimo pozitivnim brojem $5$ i čitamo s druge strane.
$x = 0:\ A = 5,\ B = 2$

Provera brojem iz skupa: $5 > 2$. Za $x = 2$ (van skupa) je $A = 1$, $B = 3$, pa $A$ nije veće.

Odgovor: za $x < \frac{6}{5}$, tj. $x \in \left(-\infty, \frac{6}{5}\right)$

Test

Kod računskih zadataka reši u svesci i upiši rezultat (decimalni broj sa zarezom, npr. 2,5), a kod ostalih izaberi tačan odgovor.

Zadatak 1

Koliko celih brojeva od $-20$ do $20$ (uključujući i njih) je rešenje nejednačine $x(x + 2) - (x - 2)^2 < 30$?

Zadatak 2

Skup rešenja nejednačine $\frac{-5x + 5}{4} - 4(x - 4) \ge 5$ je interval sa samo jednim krajem. Koji broj je taj kraj? (Razlomak upiši kao a/b.)

Zadatak 3

Koja od ovih nejednačina nema nijedno rešenje?

Bravo, čas je završen!

—pitanja iz prve

—zadataka na testu

Želiš sertifikat? Napravi besplatan nalog, pa uradi test još jednom (treba bar 2 od 3 tačno). Rezultati se tada čuvaju, a sertifikat možeš da odštampaš ili podeliš.

Napravi besplatan nalog

Sledeći čas: 30. Primena linearnih nejednačina — kada se šta isplati?