Ekvivalentne transformacije nejednačina — kada se znak okreće?
Ekvivalentne transformacije nejednačina sa izrazima: dodavanje istog izraza obema stranama (i sa nepoznatom), množenje i deljenje obe strane pozitivnim brojem (znak ostaje; množenje sa NZS kod razlomaka), množenje i deljenje negativnim brojem (znak se okreće) i zašto; množenje nulom nije ekvivalentna transformacija; dva puta do istog rešenja (deljenje negativnim brojem ili skupljanje nepoznate na drugu stranu); česte greške: zaboravljen okrenut znak, okretanje znaka pri dodavanju negativnog broja, množenje samo nekih članova.
Video
Pojmovi
- Dodavanje istog izraza
- Ako je $A$ leva, a $B$ desna strana nejednačine, a $C$ bilo koji izraz (može da sadrži i nepoznatu), onda je $A < B$ ekvivalentno sa $A + C < B + C$; isto za $>$, $\le$, $\ge$. Dodavanjem negativnog broja ili izraza (tj. oduzimanjem) znak se NE okreće: $x + 7 > 2$ postaje $x > -5$ kad dodamo $-7$.
- Množenje pozitivnim brojem
- Ako obe strane pomnožimo ili podelimo istim pozitivnim brojem, znak ostaje isti — i množi se SVAKI član. Tako uklanjamo razlomke: $\frac{x}{4} - 1 > \frac{x}{6}$ pomnožimo sa NZS$(4, 6) = 12$ i dobijamo $3x - 12 > 2x$, pa je $x > 12$.
- Množenje negativnim brojem
- Ako obe strane pomnožimo ili podelimo istim NEGATIVNIM brojem, znak se okreće: $<$ postaje $>$, a $\le$ postaje $\ge$ (i obrnuto). Na primer, iz $-3 < 5$ množenjem sa $-2$ dobijamo $6 > -10$. Zašto: iz $a < b$, dodavanjem izraza $-a - b$ obema stranama, sledi $-b < -a$, tj. $-a > -b$ — množenje sa $-1$ okreće znak, a množenje bilo kojim negativnim brojem je množenje sa $-1$ pa pozitivnim brojem.
- Deljenje negativnim brojem u rešavanju
- Kad posle sređivanja uz nepoznatu ostane negativan broj, delimo njime i okrećemo znak: $-4x \ge 12$ deljenjem sa $-4$ postaje $x \le -3$. Provera: za $x = -5$ (rešenje) je $20 \ge 12$, a za $x = 0$ (nije rešenje) je $0 \ge 12$, što nije tačno.
- Množenje nulom nije dozvoljeno
- Množenje obe strane nulom nije ekvivalentna transformacija: od svake nejednačine dobili bismo $0 < 0$ (netačno za svaki broj) ili $0 \le 0$ (tačno za svaki broj), pa bi se skup rešenja promenio. Zato množimo i delimo samo brojem različitim od nule, a pre toga pogledamo njegov znak.
- Dva puta, isti skup
- Isti skup rešenja možemo dobiti i bez deljenja negativnim brojem: nepoznatu skupimo na stranu na kojoj je koeficijent veći, pa delimo pozitivnim brojem i na kraju čitamo nejednakost s druge strane. Oba puta su ispravna jer je svaki korak ekvivalentna transformacija; razlika je samo u tome gde moramo da pazimo na znak.
- Česte greške
- Najčešće greške su: deljenje negativnim brojem bez okretanja znaka; okretanje znaka kad se doda (ili oduzme) negativan broj, iako se tada znak ne menja; množenje samo nekih članova (kod razlomaka svaki član, i onaj bez razlomka, mora biti pomnožen); okretanje znaka kad je broj kojim delimo pozitivan, samo zato što je desna strana negativna ($3x < -6$ daje $x < -2$).
Formule
| Oznaka | Šta znači | Jedinica |
|---|---|---|
| $A$, $B$ | leva i desna strana | — |
| $C$ | bilo koji izraz | — |
Znak se ne menja ni kad je $C$ negativan.
| Oznaka | Šta znači | Jedinica |
|---|---|---|
| $c$ | pozitivan broj | — |
Isto za deljenje; znak ostaje.
| Oznaka | Šta znači | Jedinica |
|---|---|---|
| $c$ | negativan broj | — |
Znak se okreće: $<$ u $>$, $\le$ u $\ge$. Nulom ne množimo.
Pitanja
Pitanje 1 od 10
1. Iz $-4x > 8$ deljenjem sa $-4$ dobijamo:
2. Da li dodavanje negativnog broja obema stranama okreće znak?
3. Zašto množenje nulom nije ekvivalentna transformacija nejednačine?
4. Kojim brojem pomnožimo obe strane $-\frac{x}{5} \ge 1$ da bismo dobili $x$ sa leve strane?
5. Koji je skup rešenja nejednačine $-x \le 3$?
6. Obema stranama nejednačine $x^2 + 2x > x^2 - 4$ dodamo izraz $-x^2$. Šta dobijamo?
7. Obe strane nejednačine $x - 1 > 2x$ pomnožimo sa $-1$. Šta dobijamo?
8. Šta smemo da dodamo obema stranama nejednačine?
9. Pri rešavanju obe strane množimo sa NZS imenilaca, $12$. Šta je sa znakom?
10. Koji je skup rešenja nejednačine $-2x > 0$?
Rešeni zadaci
Reši nejednačinu $\frac{2 - 3x}{4} \ge \frac{x}{2} - 1$ i zapiši skup rešenja intervalom.
-
$2 - 3x \ge 2x - 4$Obe strane pomnožimo pozitivnim brojem NZS$(4, 2) = 4$ — svaki član, i broj $-1$: znak ostaje.
-
$-3x - 2x \ge -4 - 2$Obema stranama dodamo $-2x - 2$: članovi sa $x$ su levo, brojevi desno.
-
$-5x \ge -6$Saberemo slične članove.
-
$x \le \frac{6}{5}$Obe strane podelimo NEGATIVNIM brojem $-5$: znak $\ge$ postaje $\le$.
-
$S = \left(-\infty, \frac{6}{5}\right]$Provera: za $x = 0$ (rešenje) levo je $\frac{1}{2}$, desno $-1$, i $\frac{1}{2} \ge -1$ je tačno; za $x = 2$ (nije rešenje) levo je $-1$, desno $0$, a $-1 \ge 0$ nije tačno.
Reši nejednačinu $5 - 2x < 11$ na dva načina: deljenjem negativnim brojem i bez njega.
-
I način: $\ -2x < 6$Obema stranama dodamo $-5$ (znak ostaje).
-
$x > -3$Podelimo negativnim brojem $-2$: znak se okreće.
-
II način: $\ 5 - 11 < 2x$Obema stranama dodamo $2x - 11$: nepoznata prelazi na desnu stranu, gde je koeficijent pozitivan.
-
$-6 < 2x$, $\ -3 < x$Podelimo pozitivnim brojem $2$ (znak ostaje).
-
$x > -3$Čitamo s druge strane — isti skup $(-3, \infty)$ oba puta, jer je svaki korak ekvivalentna transformacija.
Da li su nejednačine $-\frac{x}{3} > 2$ i $x < -6$ ekvivalentne?
-
$(-3) \cdot \left(-\frac{x}{3}\right) < (-3) \cdot 2$Obe strane prve nejednačine pomnožimo negativnim brojem $-3$ i okrenemo znak.
-
$x < -6$Izračunamo: dobija se upravo druga nejednačina.
-
$x = -9:\ \ 3 > 2$; $\ x = 0:\ \ 0 > 2$ netačnoProvera sa po jednim brojem sa svake strane granice $-6$.
Test
Kod računskih zadataka reši u svesci i upiši rezultat (decimalni broj sa zarezom, npr. 2,5), a kod ostalih izaberi tačan odgovor.
Skup rešenja nejednačine $\frac{-5x - 8}{3} < \frac{2x - 3}{5}$ ograničen je samo sa jedne strane. Koji je ceo broj, među rešenjima, najbliži tom kraju?
Koji je najveći ceo broj koji je rešenje obe nejednačine: $-6x + 5 > -4$ i $-5 - 3x < -3$?
Koji je skup rešenja nejednačine $-0{,}25x < 2$?
Bravo, čas je završen!
Želiš sertifikat? Napravi besplatan nalog, pa uradi test još jednom (treba bar 2 od 3 tačno). Rezultati se tada čuvaju, a sertifikat možeš da odštampaš ili podeliš.
Napravi besplatan nalogPohvali se i pozovi drugara:
Sledeći čas: 29. Rešavanje linearnih nejednačina — prebacivanje člana i rešavanje do kraja