Nejednačine — kada rešenje nije jedan broj, nego ceo interval?
Nejednakost i znaci $<$, $>$, $\le$, $\ge$; leva i desna strana; brojevna nejednakost (tačna ili netačna) i nejednačina (sadrži nepoznatu); rešenje nejednačine i provera zamenom; skup rešenja (najčešće beskonačan, ponekad $R$ ili $\emptyset$); nejednačina u rešenom obliku; intervali (otvoren, zatvoren, poluotvoren, sa $\infty$) i prikaz na brojevnoj pravoj (prazan i pun kružić); zapis uslova iz života nejednačinom („najviše“, „najmanje“, „manje od“); celi brojevi u skupu rešenja; dva uslova istovremeno.
Video
Pojmovi
- Nejednakost i njene strane
- Kad dva izraza povežemo jednim od znakova $<$ (manje), $>$ (veće), $\le$ (manje ili jednako) ili $\ge$ (veće ili jednako), dobijamo nejednakost. Izraz levo od znaka je leva strana, a desno od znaka desna strana. Znaci $\le$ i $\ge$ dozvoljavaju i jednakost: $6 \le 6$ je tačno, a $6 < 6$ nije.
- Brojevna nejednakost i nejednačina
- Ako su na obe strane samo brojevi, to je brojevna nejednakost i ona je ili tačna ili netačna: $3 \cdot 4 > 10$ je tačna, a $2^3 \le 7$ netačna. Ako bar jedna strana sadrži nepoznatu, to je nejednačina; da li je tačna, zavisi od broja koji stavimo umesto nepoznate. Nejednačina $2x + 1 < 9$ je za $x = 3$ tačna ($7 < 9$), a za $x = 5$ netačna ($11 < 9$ nije tačno).
- Rešenje i skup rešenja
- Broj je rešenje nejednačine ako ona za taj broj postaje tačna brojevna nejednakost; to proveravamo zamenom. Sva rešenja zajedno čine skup rešenja $S$. Za razliku od linearne jednačine, nejednačina obično ima beskonačno mnogo rešenja — ceo „komad“ brojevne prave. Može biti tačna za svaki broj ($S = R$, npr. $x + 2 > x$) ili ni za jedan ($S = \emptyset$, npr. $x - 1 > x$). Ako nije drugačije rečeno, rešenja tražimo u skupu realnih brojeva $R$.
- Rešen oblik
- Nejednačina je u rešenom obliku kad je nepoznata sama, a sa druge strane je broj: $x > -2$, $x \le 3{,}5$, ili sa dve strane, $-1 \le x < 4$ (to znači: $x \ge -1$ i istovremeno $x < 4$). Iz rešenog oblika skup rešenja odmah čitamo i crtamo. Kako se nejednačina dovodi do rešenog oblika, učimo u narednim časovima.
- Intervali
- Skup rešenja zapisujemo intervalom. Uglasta zagrada znači da kraj pripada skupu, a obla da ne pripada: $-1 \le x < 4$ je $[-1, 4)$, a $x > -2$ je $(-2, \infty)$. Znak $\infty$ (beskonačno) znači da skup nema kraj na toj strani; uz $\infty$ i $-\infty$ zagrada je uvek obla, jer to nisu brojevi. Interval sa oba kraja uključena je zatvoren, sa oba isključena otvoren, a ostali su poluotvoreni.
- Brojevna prava
- Na brojevnoj pravoj skup rešenja označimo podebljanim delom prave. Kraj koji pripada skupu crtamo punim kružićem, a kraj koji ne pripada praznim kružićem; ako skup ide u beskonačnost, podebljani deo se završava strelicom. Crtež pomaže da se vidi koji brojevi su u skupu, na primer koji su celi brojevi rešenja.
- Uslovi iz života
- Reči iz svakodnevnog govora prevodimo znacima: „najviše $a$“ i „ne više od $a$“ znače $\le a$; „najmanje $a$“ i „bar $a$“ znače $\ge a$; „manje od $a$“ je $< a$, a „više od $a$“ je $> a$. U priči pazimo i na smisao: masa i dužina nisu negativne, a broj osoba je prirodan broj, pa skup rešenja može biti samo deo intervala.
Formule
| Oznaka | Šta znači | Jedinica |
|---|---|---|
| $\le$, $\ge$ | dozvoljavaju i jednakost | — |
„Najviše $a$“ je $\le a$, „najmanje $a$“ je $\ge a$.
| Oznaka | Šta znači | Jedinica |
|---|---|---|
| $a$, $b$ | krajevi intervala | — |
Uglasta zagrada: kraj pripada skupu (pun kružić); obla: ne pripada (prazan kružić).
| Oznaka | Šta znači | Jedinica |
|---|---|---|
| $\infty$ | beskonačno — skup nema kraj | — |
Uz $\infty$ i $-\infty$ zagrada je uvek obla.
Pitanja
Pitanje 1 od 10
1. Kako se zove nejednakost u kojoj su obe strane samo brojevi?
2. Šta je rešenje nejednačine?
3. Kako se zove izraz levo od znaka nejednakosti?
4. Koja je od ovih brojevnih nejednakosti tačna?
5. Kako se zapisuje skup svih realnih brojeva većih od $-2$?
6. Kako se zove interval kome pripadaju oba kraja?
7. Šta znači znak $\infty$ u zapisu $[3, \infty)$?
8. Koji broj pripada intervalu $(2, 7]$?
9. Koji je skup rešenja nejednačine koja je tačna za svaki realan broj?
10. Može li nejednačina da nema nijedno rešenje?
Rešeni zadaci
Vakcine se čuvaju u frižideru na temperaturi od najmanje $2$ °C do najviše $8$ °C. Zapiši uslov nejednačinom u rešenom obliku i intervalom i proveri koje su od izmerenih temperatura dozvoljene: $1{,}5$ °C, $2$ °C, $7{,}9$ °C i $8{,}4$ °C.
-
$2 \le t \le 8$„Najmanje $2$“ je $t \ge 2$, „najviše $8$“ je $t \le 8$; oba uslova važe istovremeno.
-
$t \in [2, 8]$Oba kraja pripadaju skupu, pa su obe zagrade uglaste — interval je zatvoren.
-
$1{,}5 < 2$Temperatura $1{,}5$ °C je preniska — nije u skupu.
-
$2 \le 2 \le 8$, $\ \ 2 \le 7{,}9 \le 8$Temperature $2$ °C (kraj, uključen) i $7{,}9$ °C su dozvoljene.
-
$8{,}4 > 8$Temperatura $8{,}4$ °C je previsoka. Dozvoljenih temperatura ima beskonačno mnogo — sve iz intervala.
Da li postoji broj $x$ za koji je $x + 1 < x$? A broj za koji je $x - 1 < x$? Odredi skup rešenja obe nejednačine.
-
$x + 1$ je za $1$ veće od $x$Za svaki broj $x$ leva strana prve nejednačine je za $1$ veća od desne, pa ne može biti manja.
-
$S_1 = \emptyset$Prva nejednačina nije tačna ni za jedan broj: nema rešenja.
-
$x - 1$ je za $1$ manje od $x$U drugoj je leva strana uvek za $1$ manja od desne.
-
$S_2 = R$Druga nejednačina je tačna za svaki realan broj. Provera za nekoliko brojeva: za $x = 0$ je $-1 < 0$, za $x = -3$ je $-4 < -3$ — ali zaključak važi za sve brojeve zbog razloga iz prethodnog koraka, a ne zbog proba.
Broj $x$ mora da zadovolji istovremeno uslove $x > -3$ i $x \le 2{,}5$. Zapiši skup rešenja intervalom, opiši ga na brojevnoj pravoj i nabroj cele brojeve u njemu.
-
$-3 < x \le 2{,}5$Oba uslova zapišemo jednom dvostranom nejednakošću.
-
$S = (-3;\ 2{,}5]$Kraj $-3$ ne pripada skupu (obla zagrada, prazan kružić), a kraj $2{,}5$ pripada (uglasta zagrada, pun kružić). Zbog decimalnog zareza krajeve ovde odvajamo znakom $;$.
-
$-2,\ -1,\ 0,\ 1,\ 2$Celi brojevi su između $-3$ (bez njega) i $2{,}5$: najmanji je $-2$, a najveći $2$, jer $3 > 2{,}5$.
Test
Kod računskih zadataka reši u svesci i upiši rezultat (decimalni broj sa zarezom, npr. 2,5), a kod ostalih izaberi tačan odgovor.
Nejednačina u rešenom obliku glasi $-7{,}75 \le x < 1{,}1$. Koliko celih brojeva su njena rešenja?
Koliki je zbir svih celih brojeva koji su rešenja nejednačine $-7{,}5 < x < 4$?
Najveća dozvoljena masa vozila na jednom mostu je $7{,}5$ t. Prazan kamion ima masu $4{,}2$ t. Koja nejednačina opisuje dozvoljenu masu tereta $x$ (u tonama)?
Bravo, čas je završen!
Želiš sertifikat? Napravi besplatan nalog, pa uradi test još jednom (treba bar 2 od 3 tačno). Rezultati se tada čuvaju, a sertifikat možeš da odštampaš ili podeliš.
Napravi besplatan nalogPohvali se i pozovi drugara:
Sledeći čas: 27. Ekvivalentne nejednačine — kada dve nejednačine imaju isti skup rešenja?