Ekvivalentne nejednačine — kada dve nejednačine imaju isti skup rešenja?

Svojstva nejednakosti realnih brojeva: saglasnost sa sabiranjem (istom broju dodamo isti broj), saglasnost sa množenjem i deljenjem POZITIVNIM brojem, prenosivost (tranzitivnost); ekvivalentne nejednačine (jednaki skupovi rešenja) i kako se ekvivalentnost proverava, a kako opovrgava jednim brojem (npr. različit kraj intervala); rešavanje nejednačine lancem ekvivalentnih nejednačina, sa nepoznatom na strani gde je koeficijent pozitivan; čitanje nejednakosti sa druge strane ($8 > x$ je $x < 8$); linearna nejednačina oblika $ax < b$, $ax > b$, $ax \le b$, $ax \ge b$.

Nikola Stanković

Čas nije dostupan za štampu. Otvori ga na sajtu: https://dopetice.com/cas/286

Video

Nejednačine $x + 3 > 5$ i $2x > 4$ izgledaju različito, ali na brojevnoj pravoj imaju potpuno istu sliku. A $x \ge 2$ izgleda skoro isto — i ipak nije ista. Kada su dve nejednačine „iste“? Pogledaj video, pa nastavi čas.

Pojmovi

Sabiranje čuva nejednakost: Ako istom broju na obe strane tačne nejednakosti dodamo isti broj (ili ga oduzmemo), nejednakost ostaje tačna i znak se ne menja: iz $5 > 2$ sledi $5 + 4 > 2 + 4$ ($9 > 6$) i $5 - 7 > 2 - 7$ ($-2 > -5$). Važi i obrnuto. Zato kažemo da je nejednakost saglasna sa sabiranjem: za sve realne brojeve $a$, $b$, $c$ iz $a < b$ sledi $a + c < b + c$ (isto za $>$, $\le$, $\ge$).
Množenje pozitivnim brojem: Ako obe strane tačne nejednakosti pomnožimo ili podelimo istim POZITIVNIM brojem, znak ostaje isti: iz $5 > 2$ sledi $15 > 6$, a iz $12 < 20$ deljenjem sa $4$ sledi $3 < 5$. Dakle, iz $a < b$ i $c > 0$ sledi $ac < bc$. Šta se dešava pri množenju negativnim brojem, videćemo u sledećem času — zato ga za sada izbegavamo.
Prenosivost: Ako je $a < b$ i $b < c$, onda je $a < c$: ako je prvi broj levo od drugog na brojevnoj pravoj, a drugi levo od trećeg, onda je i prvi levo od trećeg. Na primer, iz $-1 < 0{,}5$ i $0{,}5 < 3$ sledi $-1 < 3$. Isto važi i za ostale znake.
Ekvivalentne nejednačine: Dve nejednačine su ekvivalentne ako imaju isti skup rešenja. Na primer, $x + 4 > 9$ i $x > 5$ su ekvivalentne: obe imaju skup rešenja $(5, \infty)$. Da bismo pokazali da su ekvivalentne, nađemo oba skupa rešenja i uporedimo ih. Da bismo pokazali da NISU ekvivalentne, dovoljan je jedan broj koji je rešenje jedne, a nije rešenje druge; nejednačine $x > 5$ i $x \ge 5$ razlikuje broj $5$.
Rešavanje lancem ekvivalentnih nejednačina: Nejednačinu rešavamo kao jednačinu: korak po korak je pretvaramo u jednostavniju, ekvivalentnu nejednačinu, dok ne dobijemo rešen oblik. Koraci su dodavanje istog broja ili izraza obema stranama i deljenje obe strane istim pozitivnim brojem. Na primer, $4x + 3 \le x + 12$: dodamo $-x - 3$ i dobijemo $3x \le 9$, podelimo sa $3$: $x \le 3$. Svaki korak čuva skup rešenja, pa je i poslednja nejednačina ekvivalentna prvoj.
Nepoznata na strani sa većim koeficijentom: Da bismo izbegli deljenje negativnim brojem, članove sa nepoznatom skupljamo na onu stranu na kojoj je koeficijent uz nepoznatu veći — tako je posle sabiranja pozitivan. Na kraju nejednakost možemo čitati s druge strane: $8 > x$ znači isto što i $x < 8$ (osmica je veća od $x$, odnosno $x$ je manje od osam). Pri tome se okreće i znak, jer smo zamenili strane, a ne zato što smo nešto pomnožili.
Linearna nejednačina: Nejednačina oblika $ax < b$, $ax > b$, $ax \le b$ ili $ax \ge b$, gde je $x$ nepoznata, a $a$ i $b$ dati realni brojevi, zove se linearna nejednačina. Linearnim zovemo i nejednačine koje se dodavanjem istih izraza i sređivanjem svode na takav oblik, npr. $5x - 1 > 2x + 8$ (to je $3x > 9$). Nejednačine $x^2 < 9$ i $\frac{1}{x} > 2$ nisu linearne.

Formule

Sabiranje

a < b \ \Rightarrow\ a + c < b + c

Oznaka	Šta znači	Jedinica
$a$, $b$, $c$	realni brojevi	—

Važi i obrnuto, i za znake $>$, $\le$, $\ge$.

Množenje pozitivnim brojem

a < b,\ c > 0 \ \Rightarrow\ a \cdot c < b \cdot c

Oznaka	Šta znači	Jedinica
$c$	pozitivan broj	—

Isto za deljenje pozitivnim brojem; znak ostaje isti.

Prenosivost

a < b,\ b < c \ \Rightarrow\ a < c

Oznaka	Šta znači	Jedinica
$a$, $b$, $c$	realni brojevi	—

Važi i za $>$, $\le$, $\ge$.

Pitanja

Pitanje 1 od 10

1. Ako je $a > b$, šta važi za $a + 7$ i $b + 7$?

2. Ako je $a < b$ i $c > 0$, šta važi?

3. Ako je $x < y$ i $y < z$, šta sledi?

4. Ako je $a \le b$ i $b \le a$, šta sledi?

5. Koja od ovih nejednačina je linearna?

6. Kako se zapisuje $8 > x$ tako da $x$ bude na levoj strani?

7. Smemo li obe strane nejednačine pomnožiti sa $5$, a da skup rešenja ostane isti?

8. Od obe strane nejednačine $x + 6 < 10$ oduzmemo $6$. Šta dobijamo?

9. Zašto lanac nejednačina koje dobijamo pri rešavanju daje tačan skup rešenja?

10. U nejednačini $2x + 9 > 7x - 1$ gde je zgodno skupiti članove sa $x$?

Rešeni zadaci

Zadatak 1

Da li su nejednačine $N_1:\ 2x + 1 > 7$ i $N_2:\ 3x \ge 9$ ekvivalentne?

$N_1:\ 2x > 6,\ \ x > 3$

Obema stranama dodamo $-1$, pa podelimo pozitivnim brojem $2$.
$N_2:\ x \ge 3$

Obe strane podelimo pozitivnim brojem $3$.
$S_1 = (3, \infty), \ \ S_2 = [3, \infty)$

Skupovi se razlikuju samo u kraju: $3$ pripada drugom, a ne pripada prvom.
$x = 3:\ \ 2 \cdot 3 + 1 = 7 > 7$ netačno, $\ 3 \cdot 3 = 9 \ge 9$ tačno

Jedan broj koji je rešenje jedne, a nije rešenje druge nejednačine dovoljan je da pokaže da nisu ekvivalentne.

Odgovor: nisu ekvivalentne: broj $3$ je rešenje $N_2$, a nije rešenje $N_1$

Zadatak 2

Reši nejednačinu $7 - 2x > x - 8$ tako da nijednom ne deliš negativnim brojem, i zapiši skup rešenja intervalom.

$7 + 8 > x + 2x$

Članove sa $x$ skupimo desno (tamo je koeficijent veći): obema stranama dodamo $2x + 8$.
$15 > 3x$

Saberemo slične članove.
$5 > x$

Obe strane podelimo pozitivnim brojem $3$.
$x < 5$, $\ S = (-\infty, 5)$

Isto čitamo sa druge strane: $x$ je manje od $5$.
$x = 4:\ 7 - 8 = -1 > -4 = 4 - 8$

Provera jednim brojem iz skupa: za $x = 4$ nejednakost je tačna, a za $x = 5$ bi bilo $-3 > -3$, što nije tačno.

Odgovor: $x < 5$, $S = (-\infty, 5)$

Zadatak 3

Zna se da je $a < b$. Bez računanja odluči da li je $3a + 5 < 3b + 5$ i da li je $\frac{a}{2} - 1 < \frac{b}{2} - 1$.

$3a < 3b$

Obe strane nejednakosti $a < b$ pomnožimo pozitivnim brojem $3$: znak ostaje isti.
$3a + 5 < 3b + 5$

Obema stranama dodamo $5$: nejednakost i dalje važi.
$\frac{a}{2} < \frac{b}{2}$, $\ \frac{a}{2} - 1 < \frac{b}{2} - 1$

Isto: deljenje pozitivnim brojem $2$, pa dodavanje broja $-1$.
$a = -4,\ b = 1:\ \ -7 < 8$

Primer za proveru: za $a = -4$ i $b = 1$ je $3a + 5 = -7$ i $3b + 5 = 8$. Zaključak ne zavisi od izbora brojeva, jer smo koristili samo svojstva.

Odgovor: obe nejednakosti važe

Test

Kod računskih zadataka reši u svesci i upiši rezultat (decimalni broj sa zarezom, npr. 2,5), a kod ostalih izaberi tačan odgovor.

Zadatak 1

Nejednačina $N_1:\ x - 3 \ge 3x - 7$ ekvivalentna je nejednačini $N_2:\ x \le k$. Koliki je broj $k$?

Zadatak 2

Za koji broj $m$ su nejednačine $4x + m \ge -1$ i $x \ge 1$ ekvivalentne?

Zadatak 3

Koja od ovih nejednačina je ekvivalentna nejednačini $x \le -1$?

Bravo, čas je završen!

—pitanja iz prve

—zadataka na testu

Želiš sertifikat? Napravi besplatan nalog, pa uradi test još jednom (treba bar 2 od 3 tačno). Rezultati se tada čuvaju, a sertifikat možeš da odštampaš ili podeliš.

Napravi besplatan nalog

Sledeći čas: 28. Ekvivalentne transformacije nejednačina — kada se znak okreće?

Još časova — Nikola Stanković

Matematika 8. razred · 30. čas

Ekvivalentne nejednačine — kada dve nejednačine imaju isti skup rešenja?

🎬 Video

📖 Pojmovi

🧮 Formule

❓ Pitanja

✏️ Rešeni zadaci

📝 Test