Još neke primene linearnih jednačina — rad, mešavine, geometrija i pravedna podela
Linearne jednačine u raznim oblastima: zajednički rad (deo posla za jedinicu vremena $\frac{1}{t}$, delovi se sabiraju, ceo posao je $1$, rad jednog pa oba); mešavine i rastvori (količina čiste supstance = procenat · ukupna količina; odlivanje i dolivanje); geometrijski zadaci u kojima se posle Pitagorine teoreme $x^2$ poništi, površina trapeza; jednaka podela troškova (ukupan iznos je isti); pravedna podela srazmerno ulogu; ravnoteža poluge (masa · rastojanje); provera da li su brojevi realni.
Video
Pojmovi
- Zajednički rad
- Ako neko ceo posao završi za $t$ sati, za jedan sat uradi $\frac{1}{t}$ posla, a za $x$ sati $\frac{x}{t}$ posla. Ceo posao zapisujemo brojem $1$. Kad više njih radi istovremeno, delovi posla se SABIRAJU (ne vremena!). Na primer, ako jedna pumpa isprazni bazen za $10$ h, a druga za $15$ h, zajedno za jedan sat isprazne $\frac{1}{10} + \frac{1}{15} = \frac{1}{6}$ bazena, pa im treba $6$ h — manje nego bržoj pumpi samoj. Jednačina obično kaže: zbir urađenih delova $= 1$.
- Mešavine i rastvori
- U rastvoru (soku, sirupu, leguri) pratimo količinu čiste supstance: količina $=$ procenat $\cdot$ ukupna količina. U $200$ g sirupa sa $30\%$ šećera ima $0{,}3 \cdot 200 = 60$ g šećera. Kad se mešaju dve tečnosti, saberu se i ukupne količine i količine čiste supstance. Kad se doliva voda, čiste supstance ostaje isto, a ukupna količina raste; kad se odlije deo tečnosti, odlije se i isti procenat čiste supstance.
- Geometrija: kad se kvadrat poništi
- U geometrijskim zadacima dužine izražavamo preko nepoznate i koristimo formule (obim, površina, Pitagorina teorema). Kad u Pitagorinoj teoremi dve stranice zavise od $x$ tako da se na obe strane pojavi $x^2$, on se poništi i ostaje linearna jednačina: iz $x^2 + a^2 = (x + d)^2$ dobija se $a^2 = 2dx + d^2$. Površina trapeza sa osnovicama $a$, $b$ i visinom $h$ je $\frac{(a + b) h}{2}$.
- Ista ukupna cena
- Kad se poznat ili nepoznat ukupan iznos deli jednako, važi: broj osoba puta iznos po osobi je ukupan iznos. Ako se broj osoba promeni, a ukupan iznos ostane isti, izjednačimo dva zapisa tog iznosa: npr. $n \cdot x = m \cdot y$. Što je više osoba, svako plaća manje.
- Pravedna podela srazmerno ulogu
- Kad se dobitak ili trošak deli srazmerno ulogu, svako dobija isti broj dinara po uloženom dinaru. Ako je taj broj $k$, onaj koji je uložio $u$ dinara dobija $k \cdot u$, a zbir svih delova je ceo dobitak — iz toga je jednačina po $k$.
- Ravnoteža poluge
- Klackalica (poluga) je u ravnoteži kad je proizvod težine i rastojanja od oslonca isti sa obe strane (to znaš iz fizike). Pošto su težine srazmerne masama, možemo pisati $m_1 \cdot r_1 = m_2 \cdot r_2$. Teža osoba zato sedi bliže osloncu. Masu same daske u ovim zadacima zanemarujemo.
Formule
| Oznaka | Šta znači | Jedinica |
|---|---|---|
| $t_1$, $t_2$ | vreme za ceo posao svakog posebno | h |
| $x$ | vreme zajedničkog rada | h |
Delovi posla se sabiraju; ceo posao je $1$.
| Oznaka | Šta znači | Jedinica |
|---|---|---|
| $m$ | ukupna količina | g ili l |
| $p$ | procenat supstance | % |
| $m_s$ | količina čiste supstance | g ili l |
Pri mešanju se sabiraju i $m$ i $m_s$.
| Oznaka | Šta znači | Jedinica |
|---|---|---|
| $m_1$, $m_2$ | mase | kg |
| $r_1$, $r_2$ | rastojanja od oslonca | m |
Masa daske se zanemaruje; teža strana je bliže osloncu.
Pitanja
Pitanje 1 od 10
1. Ako radnik završi posao za $5$ dana, koji deo posla uradi za jedan dan?
2. Kako ceo posao zapisujemo u jednačini o zajedničkom radu?
3. Dve mašine rade zajedno. Kako dobijamo deo posla koji urade za jedan sat?
4. Prvi kombajn požanje njivu za $10$ h. Koji deo njive požanje za $4$ h?
5. Rešenje kaže da dve mašine zajedno rade duže nego brža mašina sama. Šta zaključujemo?
6. Koliko grama šećera ima u $200$ g sirupa sa $30\%$ šećera?
7. Kad u sok dolijemo vodu, šta ostaje isto?
8. Koliki je udeo soka u mešavini $2$ l čistog soka i $3$ l vode?
9. U jednačini iz Pitagorine teoreme kateta je $x$, a hipotenuza $x + 1$. Šta se dešava sa $x^2$?
10. Dvoje su uložili $200$ i $600$ dinara, a dobitak od $1600$ dinara dele srazmerno ulogu. Koliko dobija prvi?
Rešeni zadaci
Dve kuće su sa iste strane pravog puta: kuća $A$ je $30$ m od puta, a kuća $B$ $20$ m. Podnožja normala iz kuća na put udaljena su $100$ m. Gde na putu, između podnožja, treba postaviti kontejner da bude jednako udaljen od obe kuće?
-
$x$ — rastojanje kontejnera od podnožja ispod $A$ (m), $\ 100 - x$ — od podnožja ispod $B$Kontejner je na putu između podnožja.
-
$x^2 + 30^2 \quad \text{i} \quad (100 - x)^2 + 20^2$Kvadrati rastojanja do kuća po Pitagorinoj teoremi: kateta duž puta i kateta do kuće.
-
$x^2 + 900 = 10\,000 - 200x + x^2 + 400$Rastojanja su jednaka, pa su jednaki i njihovi kvadrati; razvijemo kvadrat binoma.
-
$200x = 10\,400 - 900 = 9500$Članovi $x^2$ se poništavaju; $-200x$ prebacimo levo, a $900$ desno.
-
$x = 9500 : 200 = 47{,}5$Obe strane podelimo sa $200$.
-
$47{,}5^2 + 900 = 3156{,}25 = 52{,}5^2 + 400$Provera u priči: oba kvadrata rastojanja su $3156{,}25$, pa su rastojanja jednaka (oko $56$ m). Kontejner je bliže podnožju ispod kuće $A$, koja je dalje od puta.
Prvi kombajn sam požanje njivu za $12$ h, a drugi za $18$ h. Prvi je radio sam $2$ h, a zatim mu se pridružio drugi. Koliko su sati još radili zajedno dok nisu završili?
-
$x$ — vreme zajedničkog rada (h)Prvi ukupno radi $2 + x$ sati, a drugi $x$ sati.
-
$\frac{2 + x}{12} + \frac{x}{18} = 1$Deo njive koji požanje svaki kombajn je vreme njegovog rada kroz njegovo vreme za celu njivu; zajedno su požnjeli celu njivu.
-
$3(2 + x) + 2x = 36$Obe strane pomnožimo sa NZS$(12, 18) = 36$.
-
$6 + 3x + 2x = 36$, $\ 5x = 30$, $\ x = 6$Oslobodimo se zagrade, prebacimo $6$ desno i podelimo sa $5$.
-
$\frac{8}{12} + \frac{6}{18} = \frac{2}{3} + \frac{1}{3} = 1$Provera u priči: prvi je radio $8$ h i požnjeo $\frac{2}{3}$ njive, drugi $6$ h i $\frac{1}{3}$.
U buretu je $50$ l voćnog napitka sa $20\%$ voćnog soka. Koliko litara napitka treba odliti i umesto njega doliti isto toliko čistog voćnog soka da bi u buretu bilo $36\%$ soka?
-
$x$ — odliveno, a zatim doliveno (l)Ukupna količina na kraju je opet $50$ l.
-
$0{,}2(50 - x)$Posle odlivanja ostaje $50 - x$ litara napitka, a u njemu $20\%$ soka.
-
$0{,}2(50 - x) + x = 0{,}36 \cdot 50$Doliveno je $x$ litara čistog soka; ukupan sok na kraju je $36\%$ od $50$ l.
-
$10 - 0{,}2x + x = 18$, $\ 0{,}8x = 8$, $\ x = 10$Oslobodimo se zagrade, saberemo članove sa $x$, prebacimo $10$ i podelimo sa $0{,}8$.
-
$0{,}2 \cdot 40 + 10 = 18 = 0{,}36 \cdot 50$Provera u priči: posle odlivanja $8$ l soka, dolije se $10$ l, ukupno $18$ l soka u $50$ l napitka.
Test
Reši zadatke u svesci, pa upiši rezultat. Decimalni broj piši sa zarezom (npr. 2,5).
Odeljenja su zakupila autobus za izlet, a cenu zakupa dele jednako. Kad bi išlo $38$ učenika, svaki bi platio određen iznos. Pošto se prijavilo još $7$ učenika, svaki plaća po $140$ dinara manje. Kolika je cena zakupa autobusa (u dinarima)?
Dete mase $22$ kg i odrasla osoba mase $44$ kg sede na suprotnim krajevima daske duge $3{,}9$ m. Na kom rastojanju od deteta treba postaviti oslonac da bi daska bila u ravnoteži (u metrima)? (Masu daske zanemarujemo; poluga je u ravnoteži kad je proizvod težine i rastojanja od oslonca isti na obe strane, a težina je srazmerna masi, pa možemo računati sa masama.)
Cvetna leja ima oblik trapeza čija je površina $45$ m², a visina $5$ m. Jedna osnovica je za $2$ m duža od druge. Kolika je kraća osnovica (u metrima)?
Bravo, čas je završen!
Želiš sertifikat? Napravi besplatan nalog, pa uradi test još jednom (treba bar 2 od 3 tačno). Rezultati se tada čuvaju, a sertifikat možeš da odštampaš ili podeliš.
Napravi besplatan nalogPohvali se i pozovi drugara:
Sledeći čas: 26. Nejednačine — kada rešenje nije jedan broj, nego ceo interval?