Ekvivalentne jednačine. Linearna jednačina — kada dve različite jednačine imaju ista rešenja?
Rešavanje jednačine kao lanac jednačina sa istim skupom rešenja; ekvivalentne jednačine (isti skup rešenja, oznaka $\Leftrightarrow$); zajedničko rešenje nije dovoljno; jednačine bez rešenja su međusobno ekvivalentne; ekvivalentnost zavisi od skupa u kome tražimo rešenja ($R$ ili $N$); kako pokazati da jednačine jesu ili nisu ekvivalentne; linearna jednačina $ax = b$, brojevi $a$ i $b$, rešenje $x = \frac{b}{a}$ kad je $a \ne 0$; jednačine koje se sređivanjem svode na oblik $ax = b$ (i kad se $x^2$ izgubi) i jednačine koje nisu linearne; greška u lancu rešavanja daje jednačinu koja nije ekvivalentna polaznoj.
Video
Pojmovi
- Rešavanje kao lanac jednačina
- Kad rešavamo jednačinu $6x - 5 = 43$, pišemo niz sve jednostavnijih jednačina: $6x = 48$ (nepoznati umanjenik je zbir razlike i umanjioca), pa $x = 8$ (nepoznati činilac). Sve tri jednačine imaju isti skup rešenja, $\{8\}$ — svaka nova jednačina samo jednostavnije kaže isto što i prethodna. Poslednja, $x = 8$, je jednačina u rešenom obliku: iz nje se rešenje odmah čita. Baš zato što skup rešenja u lancu ostaje isti, rešenje poslednje jednačine je rešenje i prve.
- Ekvivalentne jednačine
- Dve jednačine su ekvivalentne ako imaju jednake skupove rešenja: svako rešenje prve je rešenje druge, i svako rešenje druge je rešenje prve. Pišemo $J_1 \Leftrightarrow J_2$. Na primer, $6x - 5 = 43 \Leftrightarrow x + 3 = 11$, jer obe imaju skup rešenja $\{8\}$. Jedno zajedničko rešenje nije dovoljno: $x + 3 = 11$ i $|x - 2| = 6$ obe imaju rešenje $8$, ali druga ima i rešenje $-4$ ($|-4 - 2| = 6$), pa su skupovi $\{8\}$ i $\{-4;\ 8\}$ različiti i jednačine nisu ekvivalentne. Dve jednačine bez rešenja jesu ekvivalentne (obe imaju $S = \emptyset$), a takva su i dva identiteta (obe imaju $S = R$).
- Ekvivalentnost zavisi od skupa
- Skupove rešenja poredimo u skupu u kome rešenja tražimo; ako nije drugačije rečeno, to je skup $R$. Jednačine $x + 8 = 3$ i $4x = 10$ u skupu $R$ nisu ekvivalentne: prva ima rešenje $-5$, a druga $\frac{5}{2}$. Ako rešenja tražimo samo među prirodnim brojevima, nijedna od njih nema rešenja ($-5$ i $\frac{5}{2}$ nisu prirodni brojevi), pa u skupu $N$ obe imaju $S = \emptyset$ i jesu ekvivalentne.
- Kako proveravamo ekvivalentnost
- Da bismo pokazali da su jednačine ekvivalentne, rešimo obe i uporedimo CELE skupove rešenja. Da bismo pokazali da nisu ekvivalentne, dovoljan je jedan broj koji je rešenje jedne jednačine, a nije rešenje druge — to proveravamo zamenom. Isti izgled nije uslov: jednačine sa različitim brojevima, pa i sa različitim slovom nepoznate, mogu biti ekvivalentne.
- Linearna jednačina
- Jednačina oblika $ax = b$, gde je $x$ nepoznata, a $a$ i $b$ dati realni brojevi, zove se linearna jednačina (po nepoznatoj $x$). Linearne su, na primer, $-2x = 11$ ($a = -2$, $b = 11$), $\frac{3}{4}t = 6$ (nepoznata je $t$) i $x = -1$ (tu je $a = 1$, a broj $1$ se ne piše). Ako je $a \ne 0$, nepoznata je činilac, pa je jedino rešenje $x = b : a = \frac{b}{a}$: za $-2x = 11$ to je $x = -\frac{11}{2}$. Ako je $a = 0$, leva strana je uvek $0$: jednačina $0 \cdot x = 4$ nema rešenja, a $0 \cdot x = 0$ važi za svaki realan broj.
- Jednačine koje se svode na linearnu
- Jednačinu nazivamo linearnom i kad se sređivanjem strana (množenje zagrada, sabiranje članova sa $x$) i računom sa nepoznatim sabirkom ili umanjenikom svodi na ekvivalentnu jednačinu oblika $ax = b$. Na primer, $4(x - 1) + x = 51$ je isto što i $5x - 4 = 51$, pa je ekvivalentna sa $5x = 55$. Čak i $(x + 2)^2 = x^2 + 16$ je linearna: levo je $x^2 + 4x + 4$, a dva jednaka zbira sa istim sabirkom $x^2$ imaju jednake i ostale delove, pa je jednačina ekvivalentna sa $4x + 4 = 16$, a ova (nepoznati sabirak: $4x = 16 - 4$) sa $4x = 12$. Nije linearna jednačina u kojoj posle sređivanja ostaje $x^2$, $x^3$ ili $|x|$, na primer $x^2 + 1 = 10$.
- Greška u lancu
- Ako u nekom koraku rešavanja pogrešimo (na primer pogrešimo znak), dobijamo jednačinu koja NIJE ekvivalentna polaznoj — i sve dalje jednačine u lancu imaju pogrešan skup rešenja. Zato rešenje uvek proveravamo zamenom u POLAZNU jednačinu, a ne u neku jednačinu iz sredine lanca. U sledećem času upoznaćemo pravila po kojima se jednačina menja tako da uvek ostane ekvivalentna polaznoj.
Formule
| Oznaka | Šta znači | Jedinica |
|---|---|---|
| $J_1$, $J_2$ | jednačine | — |
| $S_1$, $S_2$ | njihovi skupovi rešenja | — |
Skupove rešenja poredimo u istom skupu brojeva — ako nije drugačije rečeno, u $R$.
| Oznaka | Šta znači | Jedinica |
|---|---|---|
| $x$ | nepoznata | — |
| $a$ | broj uz nepoznatu | — |
| $b$ | broj na desnoj strani | — |
Linearna je i svaka jednačina koja se sređivanjem svodi na ekvivalentnu jednačinu ovog oblika.
| Oznaka | Šta znači | Jedinica |
|---|---|---|
| $S$ | skup rešenja | — |
Za $a = 0$ i $b \ne 0$ rešenja nema ($S = \emptyset$), a za $a = 0$ i $b = 0$ rešenje je svaki realan broj ($S = R$).
Pitanja
Pitanje 1 od 10
1. Kada su dve jednačine ekvivalentne?
2. Da li su jednačine $x + 4 = 13$ i $3x = 27$ ekvivalentne?
3. Zašto jednačine $x - 1 = 9$ i $|x| = 10$ nisu ekvivalentne?
4. Koja od ovih jednačina je linearna?
5. Koliki su $a$ i $b$ kad jednačinu $-x = 9$ zapišemo u obliku $ax = b$?
6. Šta važi za jednačinu $x(x - 5) = x^2 - 15$?
7. U skupu prirodnih brojeva $N$ jednačina $2x = 9$ je ekvivalentna jednačini:
8. Koliko rešenja ima linearna jednačina $ax = b$ kada je $a \ne 0$?
9. Šta važi za jednačine $0 \cdot x = 3$ i $x + 1 = x$?
10. Kojim znakom zapisujemo da su jednačine $J_1$ i $J_2$ ekvivalentne?
Rešeni zadaci
Tri drugara idu na izlet vozom. Svako plaća kartu i još $60$ dinara za sladoled, a zajedno su platili $1260$ dinara. Cenu karte označili su sa $x$ i postavili jednačine: Ana $3(x + 60) = 1260$, Boris $3x + 180 = 1260$, a Ceca $x + 180 = 1260$. Čije su jednačine ekvivalentne i koliko košta karta?
-
Ana: $\ x + 60 = 1260 : 3 = 420$, $\ x = 420 - 60 = 360$Nepoznati činilac, pa nepoznati sabirak: $S = \{360\}$.
-
Boris: $\ 3x = 1260 - 180 = 1080$, $\ x = 1080 : 3 = 360$Nepoznati sabirak, pa nepoznati činilac: $S = \{360\}$.
-
Ceca: $\ x = 1260 - 180 = 1080$Cecina jednačina ima $S = \{1080\}$ — nije ekvivalentna ostalima. Ona je $180$ dinara za sladoled dodala samo jednoj karti, a karte su tri.
-
$3(x + 60) = 1260 \ \Leftrightarrow\ 3x + 180 = 1260$Ana i Boris su istu priču zapisali na dva načina: jednačine izgledaju različito, ali imaju isti skup rešenja. Provera u priči: $3 \cdot (360 + 60) = 3 \cdot 420 = 1260$.
Uporedi jednačine $J_1$: $5x = 8$, $J_2$: $10x = 16$ i $J_3$: $x + 7 = 2$ u skupu $R$, pa u skupu prirodnih brojeva $N$. Koje su ekvivalentne?
-
$J_1:\ x = \frac{8}{5}, \quad J_2:\ x = \frac{16}{10} = \frac{8}{5}, \quad J_3:\ x = 2 - 7 = -5$U skupu $R$ svaka jednačina ima po jedno rešenje.
-
$R$: $\ S_1 = S_2 = \left\{\frac{8}{5}\right\}$, $\ S_3 = \{-5\}$U skupu $R$ je $J_1 \Leftrightarrow J_2$, a $J_3$ nije ekvivalentna ni sa jednom od njih.
-
$N$: $\ S_1 = S_2 = S_3 = \emptyset$Ni $\frac{8}{5}$ ni $-5$ nisu prirodni brojevi, pa u skupu $N$ nijedna jednačina nema rešenja — sve tri imaju prazan skup rešenja i međusobno su ekvivalentne.
Leja u bašti je kvadrat stranice $x$ metara. Kad se jedna njena stranica produži za $3$ m, a druga ostane ista, leja postane pravougaonik čija je površina za $21$ m² veća. Postavi jednačinu, pokaži da je linearna i nađi $x$.
-
$x(x + 3) = x^2 + 21$Površina pravougaonika ($x$ puta $x + 3$) jednaka je površini kvadrata uvećanoj za $21$ m².
-
$x^2 + 3x = x^2 + 21$Leva strana posle množenja zagrade.
-
$3x = 21$Oba zbira imaju isti sabirak $x^2$, pa su jednaki i drugi sabirci: jednačina je ekvivalentna linearnoj jednačini $3x = 21$, iako je u njoj bilo $x^2$.
-
$x = 21 : 3 = 7$Provera: pravougaonik $7 \cdot 10 = 70$ m², kvadrat $49$ m², razlika $21$ m².
Test
Kod računskih zadataka reši u svesci i upiši rezultat (decimalni broj sa zarezom, npr. 2,5), a kod ostalih izaberi tačan odgovor.
Učenik je rešavao jednačinu $J_1$ i napisao lanac jednačina: $J_1:\ 5(6x - 1) + 18 = 163,\quad J_2:\ 5(6x - 1) = 145,\quad J_3:\ 6x - 1 = 29,\quad J_4:\ 6x = 30,\quad J_5:\ x = 24$. Koja je prva jednačina u lancu koja NIJE ekvivalentna jednačini $J_1$? Upiši broj $k$ iz njene oznake $J_k$; ako su sve ekvivalentne sa $J_1$, upiši $0$.
Na šest kartica su jednačine: $K_1:\ 18x + 9 = -48,\quad K_2:\ 18x - 2 = -59,\quad K_3:\ 18x - 4 = -61,\quad K_4:\ 6x + 2 = -17,\quad K_5:\ 12(x + 3) = -35,\quad K_6:\ 18(x + 2) = -21$. Koliko je od tih jednačina ekvivalentno jednačini $6x = -19$?
Kojoj od ovih jednačina je ekvivalentna jednačina $2(3x - 1) - 4x = 10$?
Bravo, čas je završen!
Želiš sertifikat? Napravi besplatan nalog, pa uradi test još jednom (treba bar 2 od 3 tačno). Rezultati se tada čuvaju, a sertifikat možeš da odštampaš ili podeliš.
Napravi besplatan nalogPohvali se i pozovi drugara:
Sledeći čas: 19. Ekvivalentne transformacije jednačina — šta smemo da uradimo sa obe strane?