Još o linearnim jednačinama — jedno rešenje, nijedno ili beskonačno mnogo?
Linearna jednačina $ax = b$ sa $a \ne 0$ ima tačno jedno (jedinstveno) rešenje $x = \frac{b}{a}$ — i zašto drugog nema; kad posle sređivanja nepoznata nestane ($a = 0$): neodređena jednačina (identitet, $0 \cdot x = 0$, $S = R$) i nemoguća jednačina ($0 \cdot x = b$, $b \ne 0$, $S = \emptyset$); „nestalo $x$“ nije isto što i $x = 0$, a $ax = 0$ ima rešenje $0$; odluka o broju rešenja tek posle sređivanja do oblika $ax = b$; šta nemoguća i neodređena jednačina znače u priči; jednačina sa parametrom i diskusija (za koje vrednosti parametra jedno rešenje, nijedno ili beskonačno mnogo).
Video
Pojmovi
- Tačno jedno rešenje
- Svaku linearnu jednačinu sređivanjem dovodimo do oblika $ax = b$. Ako je $a \ne 0$, obe strane smemo da podelimo sa $a$ i dobijamo $x = \frac{b}{a}$ — rešenje postoji. Drugog rešenja nema: kad bi i $x_1$ i $x_2$ bili rešenja, bilo bi $a x_1 = b = a x_2$, tj. $a(x_1 - x_2) = 0$; proizvod je nula, a $a \ne 0$, pa je $x_1 - x_2 = 0$, odnosno $x_1 = x_2$. Zato kažemo da je $\frac{b}{a}$ jedinstveno (jedino) rešenje. Na primer, $-4x = 10$ ima jedino rešenje $x = -\frac{5}{2}$. I kad je $b = 0$, rešenje postoji: $7x = 0$ ima rešenje $x = 0$.
- Kad nepoznata nestane
- Ponekad se posle prebacivanja i sabiranja članovi sa $x$ potpuno ponište, pa ostane $0 \cdot x = b$. Leva strana je tada nula za SVAKI broj $x$, pa sve zavisi od broja $b$ na desnoj strani. Moguća su samo dva slučaja: $b = 0$ ili $b \ne 0$.
- Neodređena jednačina (identitet)
- Ako jednačina sređivanjem postane $0 \cdot x = 0$, tačna je za svaki realan broj: $S = R$, rešenja ima beskonačno mnogo. Takva jednačina se zove neodređena jednačina ili identitet — njene strane su zapravo isti izraz napisan na dva načina. Na primer, $2(3x - 1) + 5 = 6x + 3$: leva strana je $6x - 2 + 5 = 6x + 3$, pa prebacivanjem dobijamo $6x - 6x = 3 - 3$, tj. $0 \cdot x = 0$.
- Nemoguća jednačina
- Ako jednačina sređivanjem postane $0 \cdot x = b$ sa $b \ne 0$, nijedan broj je ne zadovoljava (levo je uvek $0$, a desno nije): $S = \emptyset$. Takva jednačina se zove nemoguća jednačina. Na primer, $5x - (x - 2) = 4x - 1$: levo je $4x + 2$, pa je $4x - 4x = -1 - 2$, tj. $0 \cdot x = -3$. Leva strana je uvek za $3$ veća od desne.
- Kako odlučujemo koliko rešenja ima
- O broju rešenja odlučujemo tek kad jednačinu sredimo do oblika $ax = b$, a ne probanjem nekoliko brojeva (probom ne možemo isprobati sve brojeve). Pazi na dve zamke: kad $x$ „nestane“, to NE znači da je rešenje $0$ — to znači da je $a = 0$, pa gledamo $b$; a kad dobijemo $ax = 0$ sa $a \ne 0$, jednačina nije nemoguća, nego ima rešenje $x = 0$.
- Jednačina sa parametrom
- U jednačini $(m + 2)x = 6$ nepoznata je $x$, a slovo $m$ označava neki dati broj — zove se parametar. Za svaku vrednost parametra dobijamo drugu jednačinu, pa broj rešenja može da zavisi od $m$. Ispitati sve slučajeve zove se diskusija jednačine: ako je $m + 2 \ne 0$, tj. $m \ne -2$, jedino rešenje je $x = \frac{6}{m + 2}$ (za $m = 1$ to je $x = 2$); ako je $m = -2$, jednačina glasi $0 \cdot x = 6$ i nemoguća je. Za diskusiju jednačinu prvo sredimo do oblika $ax = b$, gde $a$ i $b$ zavise od parametra, pa posebno ispitamo vrednost parametra za koju je $a = 0$.
- Šta to znači u priči
- Kad priču zapišemo jednačinom, nemoguća jednačina znači da traženo stanje nikad ne nastaje (dve veličine se uvek razlikuju za isti broj), a neodređena da važi uvek (dve veličine su uvek jednake). Tada odgovor nije broj, nego „nikad“ ili „uvek“ — uz ograničenja iz priče (dužina vožnje, broj komada …).
Formule
| Oznaka | Šta znači | Jedinica |
|---|---|---|
| $a$ | broj uz nepoznatu posle sređivanja | — |
| $b$ | broj na drugoj strani | — |
Rešenje je tačno jedno; i za $b = 0$ postoji ($x = 0$).
| Oznaka | Šta znači | Jedinica |
|---|---|---|
| $S$ | skup rešenja | — |
Zove se i identitet: svaki realan broj je rešenje.
| Oznaka | Šta znači | Jedinica |
|---|---|---|
| $\emptyset$ | prazan skup | — |
Nijedan broj nije rešenje.
Pitanja
Pitanje 1 od 10
1. Koliko rešenja ima jednačina $ax = b$ ako je $a \ne 0$?
2. Koje je rešenje jednačine $ax = b$, ako je $a \ne 0$?
3. Zašto jednačina $ax = b$ sa $a \ne 0$ ne može imati dva različita rešenja?
4. Šta je tačno za jednačinu $0 \cdot x = 9$?
5. Koji brojevi su rešenja jednačine $0 \cdot x = 0$?
6. Kako se još zove neodređena jednačina?
7. Učenik je rešavao $4x - 1 = 4x + 3$ i dobio netačnu jednakost $-1 = 3$. Šta je tačno?
8. Kako najsigurnije odlučujemo koliko rešenja ima jednačina?
9. Šta označava slovo $m$ u jednačini $(m - 1)x = 4$, u kojoj je nepoznata $x$?
10. Koja od ovih jednačina je nemoguća?
Rešeni zadaci
Taksi „A“ naplaćuje start $250$ dinara i $90$ dinara po kilometru, a taksi „B“ start $180$ dinara i takođe $90$ dinara po kilometru. Posle koliko kilometara vožnje bi obe vožnje koštale isto? Šta bi bilo da i taksi „B“ ima start $250$ dinara?
-
$250 + 90x = 180 + 90x$$x$ je dužina vožnje u kilometrima; levo je cena vožnje taksijem „A“, desno taksijem „B“ (u dinarima).
-
$90x - 90x = 180 - 250$Član $90x$ prebacimo levo, a broj $250$ desno, sa promenjenim znakom.
-
$0 \cdot x = -70$Članovi sa $x$ su se poništili, a desno je broj različit od nule: jednačina je nemoguća, $S = \emptyset$. Vožnja taksijem „B“ je za svaku dužinu za $70$ dinara jeftinija, pa cene nikad nisu iste.
-
$250 + 90x = 250 + 90x$, $\ 0 \cdot x = 0$Sa startom od $250$ dinara obe strane su isti izraz: jednačina je neodređena. Cene su iste za svaku dužinu vožnje (u priči $x \ge 0$).
Diskutuj jednačinu $a(x - 2) = 3x - 6$, gde je $x$ nepoznata, a $a$ parametar: za koje vrednosti $a$ ima jedno rešenje, za koje nijedno, a za koje beskonačno mnogo?
-
$ax - 2a = 3x - 6$Oslobodimo se zagrade: parametar $a$ množi i $x$ i $-2$.
-
$ax - 3x = 2a - 6$Član $3x$ prebacimo levo, a $-2a$ desno, sa promenjenim znakom.
-
$(a - 3)x = 2(a - 3)$Levo izvučemo zajednički činilac $x$, a desno broj $2$: oblik $ax = b$ sa koeficijentom $a - 3$.
-
$a \ne 3:\ \ x = \frac{2(a - 3)}{a - 3} = 2$Ako je $a - 3 \ne 0$, delimo sa $a - 3$: jedino rešenje je $x = 2$, isto za svako takvo $a$.
-
$a = 3:\ \ 0 \cdot x = 0$Ako je $a = 3$, i levo i desno je nula: jednačina je neodređena, $S = R$ (tada glasi $3(x - 2) = 3x - 6$, a to je identitet).
Data je jednačina $kx + 5 = x + k + 10$, gde je $x$ nepoznata, a $k$ parametar. Za koje $k$ jednačina nema rešenja? Za koje $k$ je njeno rešenje $x = 0$?
-
$kx - x = k + 10 - 5$Član $x$ prebacimo levo, a broj $5$ desno, sa promenjenim znakom.
-
$(k - 1)x = k + 5$Levo izvučemo $x$, desno saberemo brojeve: koeficijent uz $x$ je $k - 1$.
-
$k = 1:\ \ 0 \cdot x = 6$Koeficijent je nula samo za $k = 1$, a tada je desno $6 \ne 0$: jednačina je nemoguća. Za svako $k \ne 1$ ima jedino rešenje $x = \frac{k + 5}{k - 1}$.
-
$\frac{k + 5}{k - 1} = 0 \ \Rightarrow\ k + 5 = 0,\ \ k = -5$Razlomak je nula kad mu je brojilac nula (a imenilac nije): $k = -5$, a $-5 \ne 1$.
-
$-5 \cdot 0 + 5 = 5 = 0 + (-5) + 10$Provera: za $k = -5$ i $x = 0$ obe strane polazne jednačine su $5$.
Test
Kod računskih zadataka reši u svesci i upiši rezultat (decimalni broj sa zarezom, npr. 2,5), a kod ostalih izaberi tačan odgovor.
Za koji broj $m$ jednačina $3x + m(x + 9) = 9x + 18$ (nepoznata je $x$) nema rešenja?
Koja od ovih jednačina ima tačno jedno rešenje?
Koji je skup rešenja jednačine $\frac{x}{2} + \frac{x}{3} = \frac{5x}{6} + 1$?
Bravo, čas je završen!
Želiš sertifikat? Napravi besplatan nalog, pa uradi test još jednom (treba bar 2 od 3 tačno). Rezultati se tada čuvaju, a sertifikat možeš da odštampaš ili podeliš.
Napravi besplatan nalogPohvali se i pozovi drugara:
Sledeći čas: 22. Jednačine koje se svode na linearnu — kuda nestane kvadrat?