Probni period: svi časovi su besplatni — video, pitanja, rešeni zadaci i test, i bez naloga.

Ekvivalentne transformacije jednačina — šta smemo da uradimo sa obe strane?

Ekvivalentna transformacija jednačine (korak posle kog se skup rešenja ne menja); pravilo 1: dodavanje istog broja ili istog izraza sa nepoznatom obema stranama (i oduzimanje); pravilo 2: množenje i deljenje obe strane istim brojem različitim od nule — svakog člana; zašto ne nulom (0 = 0 dobija nova rešenja) i zašto ne izrazom sa nepoznatom (deljenjem se može izgubiti rešenje); sabirak se uklanja pravilom 1, a činilac pravilom 2; zamena strana i množenje sa $-1$; prenosivost (tranzitivnost) jednakosti i ekvivalentnosti — zašto je lanac ekvivalentnih jednačina ispravan.

Nikola Stanković
Čas nije dostupan za štampu. Otvori ga na sajtu: https://dopetice.com/cas/278

Video

Nikola rešava jednačinu $3x - 6 = 2x - 4$. Zapiše je kao $3(x - 2) = 2(x - 2)$, podeli obe strane zagradom i dobije $3 = 2$ — zaključi da rešenja nema. A ipak, za $x = 2$ obe strane su nula! Šta sme, a šta ne sme da se uradi sa obe strane jednačine? Pogledaj video, pa nastavi čas.

Pojmovi

Ekvivalentna transformacija
Kad rešavamo jednačinu, korak po korak je menjamo u drugu, jednostavniju jednačinu — to je transformacija jednačine. Transformacija je ekvivalentna ako nova jednačina ima isti skup rešenja kao stara, tj. ako su stara i nova jednačina ekvivalentne. Takav korak ne dodaje nova rešenja i ne gubi nijedno. Postoje dva osnovna pravila ekvivalentnih transformacija; sve ostalo što radimo pri rešavanju linearnih jednačina sledi iz njih.
Pravilo 1: isti izraz na obe strane
Ako obema stranama jednačine dodamo isti broj ili isti izraz, dobijamo ekvivalentnu jednačinu: $A = B \Leftrightarrow A + C = B + C$. Izraz $C$ sme da sadrži i nepoznatu. Oduzimanje je isto što i dodavanje suprotnog izraza. Zašto se skup rešenja ne menja: broj koji izjednačava $A$ i $B$ izjednačava i $A + C$ i $B + C$; a korak se uvek može vratiti — oduzmemo $C$ — pa ni novih rešenja nema. Na primer, u $4x - 1 = 2x + 9$ obema stranama dodamo $-2x$: $2x - 1 = 9$; zatim dodamo $1$: $2x = 10$.
Pravilo 2: isti broj različit od nule
Ako obe strane jednačine pomnožimo ili podelimo istim brojem $c \ne 0$, dobijamo ekvivalentnu jednačinu: $A = B \Leftrightarrow c \cdot A = c \cdot B$. I ovaj korak se može vratiti: deljenjem sa $c$ (deljenje sa $c$ je množenje sa $\frac{1}{c}$). Množi se cela strana, dakle SVAKI njen član: $0{,}3x + 1{,}2 = 0{,}9$ pomnožena sa $10$ postaje $3x + 12 = 9$ (a ne $3x + 1{,}2 = 9$). Iz $2x = 10$ deljenjem sa $2$ dobijamo $x = 5$.
Zašto ne nulom
Deljenje nulom nije definisano. Množenje nulom jeste moguće, ali nije ekvivalentna transformacija: iz $2x = 10$ dobili bismo $0 = 0$, što važi za svaki realan broj, pa bi skup rešenja umesto $\{5\}$ postao $R$ — korak se ne može vratiti, jer nulom ne smemo da delimo. Oprez i sa izrazom koji sadrži nepoznatu: izraz $x - 3$ je nula kad je $x = 3$, pa deljenjem obe strane njime možemo izgubiti rešenje (to se desilo Nikoli u videu). Zato jednačine množimo i delimo samo brojem različitim od nule.
Sabirak ili činilac
Sabirak (član) sklanjamo sa jedne strane pravilom 1: obema stranama dodamo suprotan broj ili izraz. U $7x + 4 = 3x - 8$ obema stranama dodamo $-3x - 4$: levo ostaje $7x - 3x$, a desno $-8 - 4$, tj. $4x = -12$. Činilac uz $x$ sklanjamo pravilom 2: obe strane podelimo sa $4$, pa je $x = -3$. Česta greška je da se i činilac „oduzme“: iz $4x = -12$ NE sledi $x = -12 - 4$.
Zamena strana i množenje sa −1
Jednakost možemo čitati s obe strane: $A = B \Leftrightarrow B = A$, pa je $15 = 3x$ isto što i $3x = 15$. To koristimo kad posle dodavanja izraza nepoznata ostane na desnoj strani. Množenje obe strane sa $-1$ (pravilo 2) menja znak SVAKOM članu, levo i desno: $-x = 6$ postaje $x = -6$.
Prenosivost i lanac jednačina
Jednakost je prenosiva (tranzitivna): ako je $A = B$ i $B = C$, onda je i $A = C$. Isto važi i za ekvivalentnost jednačina: ako je $J_1 \Leftrightarrow J_2$ i $J_2 \Leftrightarrow J_3$, onda je $J_1 \Leftrightarrow J_3$. Zato, kad je SVAKI korak ekvivalentna transformacija, poslednja jednačina u lancu (rešen oblik $x = \dots$) ima isti skup rešenja kao prva. Jedan neekvivalentan korak (množenje nulom, deljenje izrazom koji može biti nula, greška u znaku) kvari ceo lanac.

Formule

Pravilo 1 (sabiranje)
A = B \ \Leftrightarrow\ A + C = B + C
OznakaŠta značiJedinica
$A$, $B$leva i desna strana jednačine—
$C$broj ili izraz (sme da sadrži nepoznatu)—

Oduzimanje je dodavanje suprotnog izraza $-C$.

Pravilo 2 (množenje)
A = B \ \Leftrightarrow\ c \cdot A = c \cdot B \qquad (c \ne 0)
OznakaŠta značiJedinica
$c$broj različit od nule—

Deljenje sa $c$ je množenje sa $\frac{1}{c}$. Množi se svaki član obe strane; nulom nikad.

Prenosivost
J_1 \Leftrightarrow J_2 \ \text{ i } \ J_2 \Leftrightarrow J_3 \quad \Rightarrow \quad J_1 \Leftrightarrow J_3
OznakaŠta značiJedinica
$J_1$, $J_2$, $J_3$jednačine u lancu—

Zato poslednja jednačina u lancu ekvivalentnih transformacija ima isti skup rešenja kao prva.

Pitanja

Pitanje 1 od 10

1. Šta smemo da dodamo obema stranama jednačine da bi nova jednačina bila ekvivalentna polaznoj?

2. Kojim brojem NE smemo da pomnožimo obe strane jednačine?

3. Zašto množenje obe strane nulom nije ekvivalentna transformacija?

4. Učenik je iz $3x = 12$ napisao $x = 12 - 3$. Šta je pogrešio?

5. Šta nam dozvoljava da umesto $15 = 3x$ pišemo $3x = 15$?

6. Da li je deljenje obe strane jednačine izrazom $x - 1$ ekvivalentna transformacija?

7. Šta tvrdi prenosivost (tranzitivnost) jednakosti?

8. Zašto poslednja jednačina u lancu ima isti skup rešenja kao prva?

9. Kojim najmanjim prirodnim brojem treba pomnožiti obe strane jednačine $0{,}2x + 1 = 0{,}6$ da svi brojevi u njoj budu celi?

10. Šta se dešava sa skupom rešenja posle ekvivalentne transformacije?

Rešeni zadaci

Zadatak 1

Mina rešava jednačinu $6x + 7 = 2x + 7$. Od obe strane oduzela je $7$ i dobila $6x = 2x$, zatim je obe strane podelila sa $x$ i dobila $6 = 2$. Zaključila je da jednačina nema rešenja. Gde je pogrešila i koje je rešenje?

  1. $6x = 2x$
    Prvi korak je ispravan: od obe strane oduzeli smo isti broj $7$ (pravilo 1).
  2. $6x - 2x = 0$, tj. $4x = 0$
    Umesto deljenja sa $x$, obema stranama dodamo izraz $-2x$ (pravilo 1).
  3. $x = 0 : 4 = 0$
    Obe strane podelimo brojem $4$, koji je različit od nule (pravilo 2).
  4. $6 \cdot 0 + 7 = 7 = 2 \cdot 0 + 7$
    Provera u polaznoj jednačini: $0$ je rešenje. Mina je delila sa $x$, a za $x = 0$ to je deljenje nulom — tim korakom je izgubila jedino rešenje.
Odgovor: pogrešila je kad je delila sa $x$ (za $x = 0$ to je deljenje nulom); rešenje je $x = 0$, $S = \{0\}$
Zadatak 2

Reši jednačinu $5 - 3x = 17$ na dva načina: prvo tako da nepoznata ostane na levoj strani, a zatim tako da obema stranama dodaš izraz sa $x$, pa nepoznata pređe na desnu stranu, gde će ispred nje biti plus.

  1. I način: $\ -3x = 17 - 5 = 12$
    Od obe strane oduzmemo $5$ (pravilo 1).
  2. $x = 12 : (-3) = -4$
    Obe strane podelimo brojem $-3 \ne 0$ (pravilo 2).
  3. II način: $\ 5 = 17 + 3x$
    Obema stranama dodamo izraz $3x$: levo se $-3x$ i $3x$ poništavaju (pravilo 1).
  4. $5 - 17 = 3x$, tj. $-12 = 3x$
    Od obe strane oduzmemo $17$ (pravilo 1).
  5. $-4 = x$, tj. $x = -4$
    Obe strane podelimo sa $3$ (pravilo 2), pa zamenimo strane jednakosti.
  6. $5 - 3 \cdot (-4) = 5 + 12 = 17$
    Provera u polaznoj jednačini. Lanci su različiti, ali je svaki korak ekvivalentna transformacija, pa oba puta dobijamo isti skup rešenja.
Odgovor: $x = -4$ na oba načina, $S = \{-4\}$
Zadatak 3

U rezervoaru automobila je $42$ litra goriva, a automobil troši $6{,}5$ litara na svakih $100$ km. Posle koliko kilometara će u rezervoaru ostati $3$ litra?

  1. $42 - 6{,}5x = 3$
    $x$ je broj pređenih stotina kilometara; levo je gorivo koje ostane posle $x$ stotina kilometara.
  2. $84 - 13x = 6$
    Obe strane pomnožimo sa $2 \ne 0$ — svaki član — da nestanu decimale (pravilo 2).
  3. $84 - 6 = 13x$, tj. $78 = 13x$
    Obema stranama dodamo izraz $13x - 6$: levo nestaje $-13x$, desno nestaje $6$ (pravilo 1).
  4. $x = 78 : 13 = 6$
    Obe strane podelimo sa $13$ i zamenimo strane: $6$ stotina kilometara je $600$ km.
  5. $42 - 6{,}5 \cdot 6 = 42 - 39 = 3$
    Provera u polaznoj jednačini: posle $600$ km potrošeno je $39$ litara, a ostala su $3$ litra.
Odgovor: posle $600$ km

Test

Kod računskih zadataka reši u svesci i upiši rezultat (decimalni broj sa zarezom, npr. 2,5), a kod ostalih izaberi tačan odgovor.

Zadatak 1

Jednačina $J_2$ dobijena je iz jednačine $J_1$ jednim korakom, tako što su obe strane pomnožene istim brojem različitim od nule: $J_1:\ -x + 3 = -5x - 12,\quad J_2:\ -2x + 6 = \square\, x - 24$. Koji broj stoji umesto $\square$?

Zadatak 2

Teodora u kasici ima $100$ dinara i svake nedelje u nju ubaci još $500$ dinara. Lazar u svojoj kasici ima $1000$ dinara i svake nedelje ubaci po $350$ dinara. Posle koliko nedelja će njih dvoje imati jednake sume u kasicama?

Zadatak 3

Obe strane jednačine $-5x + 8 = 3x - 2$ pomnožimo sa $-1$. Koju jednačinu dobijamo?

Bravo, čas je završen!

—pitanja iz prve
—zadataka na testu

Želiš sertifikat? Napravi besplatan nalog, pa uradi test još jednom (treba bar 2 od 3 tačno). Rezultati se tada čuvaju, a sertifikat možeš da odštampaš ili podeliš.

Napravi besplatan nalog

Pohvali se i pozovi drugara:

Sledeći čas: 20. Rešavanje linearnih jednačina — kako član prelazi na drugu stranu?

Još časova — Nikola Stanković

Matematika 8. razred · 22. čas

Jednačine koje se svode na linearnu — kuda nestane kvadrat?

10 pitanja 3 rešena zadatka test
Besplatno Počni
Matematika 8. razred · 21. čas

Još o linearnim jednačinama — jedno rešenje, nijedno ili beskonačno mnogo?

10 pitanja 3 rešena zadatka test
Besplatno Počni
Matematika 8. razred · 20. čas

Rešavanje linearnih jednačina — kako član prelazi na drugu stranu?

10 pitanja 3 rešena zadatka test
Besplatno Počni