Pojam jednačine — kada je jednakost sa slovom tačna?

🎬 Video

📖 Pojmovi

Brojevna jednakost

Zapis u kome su dva izraza povezana znakom $=$ je jednakost; izraz levo od znaka je leva strana, a izraz desno od njega desna strana. Kada obe strane sadrže samo brojeve (konstante — tu spadaju i slova sa stalnom vrednošću, kao $\pi$), to je brojevna jednakost. Ona je ili tačna, ili netačna: $5 \cdot 6 = 42 - 12$ je tačna, a $5 \cdot 6 = 35$ je netačna. U brojevnoj jednakosti nema šta da se traži — samo izračunamo obe strane i uporedimo ih.

Jednačina i nepoznata

Jednakost u kojoj bar jedna strana sadrži slovo čiju vrednost tražimo — nepoznatu — zove se jednačina, na primer $x + 9 = 4x$. Nepoznata ne mora da se zove $x$: u jednačini $7 - t = 2t + 1$ nepoznata je $t$, a jednačina $2a + b = 11$ ima dve nepoznate, $a$ i $b$. Sama jednačina nije ni tačna ni netačna: kad umesto nepoznate stavimo neki broj, dobijemo brojevnu jednakost, koja za neke brojeve bude tačna, a za druge netačna.

Rešenje i provera

Broj $x_0$ je rešenje jednačine $A(x) = B(x)$ ako za $x = x_0$ obe strane imaju istu vrednost, tj. ako je $A(x_0) = B(x_0)$. Da li je broj rešenje, proveravamo zamenom u obe strane. Za $x + 9 = 4x$ i $x = 2$ leva strana je $11$, a desna $8$, pa $2$ nije rešenje; za $x = 3$ obe strane su $12$, pa $3$ jeste rešenje. Zapis $x = 3$ zovemo jednačina u rešenom obliku. Ako znamo rešenje, a u jednačini je nepoznat neki drugi broj, zamenom rešenja dobijamo jednačinu po tom broju.

Skup rešenja

Sva rešenja jednačine zajedno čine njen skup rešenja, koji obično označavamo sa $S$. Jednačina može da nema nijedno rešenje: $x + 1 = x + 4$ nije tačna ni za jedan broj (leva strana je uvek za $3$ manja), pa je $S = \emptyset$ (prazan skup). Može da ima jedno rešenje ($5x = 35$, $S = \{7\}$), dva rešenja ($|m| = 2{,}5$, $S = \{-2{,}5;\ 2{,}5\}$) ili beskonačno mnogo: $x + x = 2x$ važi za svaki realan broj, pa je $S = R$. Jednakost dva izraza koja je tačna za svaku vrednost slova zove se identitet. Zato provera nekoliko brojeva ne otkriva ceo skup rešenja — treba još objasniti zašto drugih rešenja nema, ili zašto jednakost važi za svaki broj.

Gde tražimo rešenja

Ako nije drugačije rečeno, nepoznata je realan broj i rešenja tražimo u skupu $R$. U zadacima iz života skup određuje smisao priče: broj ljudi, karata ili džakova je prirodan broj (ponekad i nula), a cena i dužina su pozitivni brojevi. Jednačina $3n = 10$ u skupu $R$ ima rešenje $n = \frac{10}{3}$, ali ako je $n$ broj učenika u svakoj od tri jednake grupe sa ukupno $10$ učenika, takvo $n$ ne postoji.

Jednačina sa dve nepoznate

Rešenje jednačine sa dve nepoznate je par brojeva: za $x + y = 5$ par $x = 2$, $y = 3$ je rešenje, a par $x = 1$, $y = 1$ nije. U skupu $R$ takvih parova ima beskonačno mnogo, a ako $x$ i $y$ moraju biti prirodni brojevi, ima ih samo četiri: $(1, 4)$, $(2, 3)$, $(3, 2)$ i $(4, 1)$. Ako je dozvoljena i nula, dodaju se još $(0, 5)$ i $(5, 0)$. Par $(6, -1)$ takođe je rešenje jednačine ($6 + (-1) = 5$), ali ako su $x$ i $y$ brojevi ljudi ili predmeta, takav par nije odgovor na pitanje iz priče.

Jednačina iz priče

Kad priču zapisujemo jednačinom, prvo kažemo šta je nepoznata (i u kojoj jedinici), ostale veličine izrazimo preko nje, pa dve jednake količine povežemo znakom $=$. Rešenje na kraju proverimo i u samoj priči, ne samo u jednačini: da li ima smisla (prirodan broj, pozitivna cena) i da li zaista daje ono što priča kaže.

🧮 Formule

❓ Pitanja

✏️ Rešeni zadaci

📝 Test

Kod računskih zadataka reši u svesci i upiši rezultat (decimalni broj sa zarezom, npr. 2,5), a kod ostalih izaberi tačan odgovor.