Jednačine koje se svode na linearnu — kuda nestane kvadrat?
Jednačine koje na prvi pogled nisu linearne, a ekvivalentnim transformacijama se svode na linearnu ili na nekoliko linearnih: kvadrati koji se poništavaju posle razvijanja; proizvod jednak nuli ($A \cdot B = 0$ tačno kad je $A = 0$ ili $B = 0$) i izvlačenje zajedničkog činioca umesto deljenja izrazom; razlomak jednak nuli ($\frac{A}{B} = 0$ tačno kad je $A = 0$ i $B \ne 0$); jednačine sa nepoznatom u imeniocu (uslovi, proporcija, provera prema uslovima); jednačine sa apsolutnom vrednošću ($|A| = c$: dva, jedno ili nijedno rešenje; provera kad je i desna strana izraz sa nepoznatom).
Video
Pojmovi
- Jednačina koja se svodi na linearnu
- Neke jednačine nisu linearne kako su napisane — imaju $x^2$, proizvod zagrada, nepoznatu u imeniocu ili apsolutnu vrednost — ali se ekvivalentnim transformacijama mogu zameniti jednom linearnom jednačinom ili sa nekoliko linearnih jednačina povezanih rečju „ili“. Tada kažemo da se svode na linearnu. Rešavamo ih onim što već znamo, uz dve nove stvari: pravila o proizvodu i razlomku jednakom nuli i uslove za imenioce.
- Kad se kvadrati ponište
- Ako posle razvijanja kvadrata i množenja zagrada na obe strane stoji isti član $x^2$, on se poništi (obema stranama dodamo $-x^2$, pravilo 1) i ostane linearna jednačina. Na primer, $(x + 3)^2 = x(x + 4) + 1$ postaje $x^2 + 6x + 9 = x^2 + 4x + 1$, pa je $6x - 4x = 1 - 9$, $2x = -8$ i $x = -4$. Provera: $(-1)^2 = 1$ i $-4 \cdot 0 + 1 = 1$. Pazi na minus ispred proizvoda: proizvod prvo izračunaj u zagradi, pa tek onda promeni znakove.
- Proizvod jednak nuli
- Proizvod dva broja je nula ako i samo ako je bar jedan od njih nula (to znamo iz 7. razreda). Zato je jednačina $A \cdot B = 0$ ekvivalentna sa „$A = 0$ ili $B = 0$“, a skup rešenja čine rešenja obe jednačine zajedno. Na primer, $(2x - 7)(x + 5) = 0$ daje $2x - 7 = 0$ ili $x + 5 = 0$, pa je $S = \{-5;\ \frac{7}{2}\}$. Isto važi i za više činilaca.
- Izvuci činilac, ne deli njime
- Ako se isti izraz sa nepoznatom pojavljuje kao činilac na obe strane, ne smemo njime da podelimo (on može biti nula — videli smo u 8.19). Umesto toga sve prebacimo na jednu stranu i izvučemo zajednički činilac: $(x - 4)(3x + 2) = (x - 4)(x + 8)$ postaje $(x - 4)(3x + 2) - (x - 4)(x + 8) = 0$, tj. $(x - 4)(3x + 2 - x - 8) = 0$, odnosno $(x - 4)(2x - 6) = 0$. Rešenja su $4$ i $3$ — deljenjem bismo izgubili rešenje $4$.
- Razlomak jednak nuli
- Razlomak je nula kad mu je brojilac nula, a imenilac nije (nulom se ne deli): $\frac{A}{B} = 0$ je ekvivalentno sa „$A = 0$ i $B \ne 0$“. Na primer, $\frac{3x - 6}{x + 5} = 0$ daje $3x - 6 = 0$, $x = 2$, a za $x = 2$ imenilac je $7 \ne 0$. Broj koji poništava brojilac, a i imenilac, nije rešenje: u $\frac{(x - 1)(x + 6)}{x - 1} = 0$ brojilac je nula za $1$ i za $-6$, ali za $x = 1$ ni razlomak ne postoji, pa je jedino rešenje $-6$.
- Nepoznata u imeniocu: uslovi
- Kad se nepoznata pojavljuje u imeniocu, prvo napišemo uslove: svaki imenilac mora biti različit od nule. Zatim jednačinu pomnožimo imeniocima (to smemo, jer uz uslove oni nisu nula) — kod proporcije $\frac{A}{B} = \frac{C}{D}$ to je „unakrsno“ množenje $A \cdot D = B \cdot C$. Na kraju dobijeni broj uporedimo sa uslovima. Na primer, u $\frac{x}{x - 2} = \frac{2}{x - 2}$ uslov je $x \ne 2$; množenjem sa $x - 2$ dobijamo $x = 2$, a taj broj ne zadovoljava uslov — jednačina nema rešenja.
- Apsolutna vrednost
- Apsolutna vrednost broja je njegovo rastojanje od nule na brojevnoj pravoj. Zato za $c > 0$ jednačina $|A| = c$ znači „$A = c$ ili $A = -c$“ — dve linearne jednačine. Na primer, $|3x + 1| = 8$ daje $3x + 1 = 8$ ili $3x + 1 = -8$, pa je $x = \frac{7}{3}$ ili $x = -3$. Ako je $c = 0$, ostaje samo $A = 0$ (jedno rešenje), a ako je $c < 0$, rešenja nema, jer rastojanje nije negativno. Kad je i desna strana izraz sa nepoznatom, oba dobijena broja obavezno proverimo u polaznoj jednačini.
Formule
| Oznaka | Šta znači | Jedinica |
|---|---|---|
| $A$, $B$ | izrazi (činioci) | — |
Skup rešenja čine rešenja obe jednačine zajedno.
| Oznaka | Šta znači | Jedinica |
|---|---|---|
| $A$ | brojilac | — |
| $B$ | imenilac | — |
Broj koji poništava imenilac nikad nije rešenje.
| Oznaka | Šta znači | Jedinica |
|---|---|---|
| $c$ | dati pozitivan broj | — |
Za $c = 0$ je $A = 0$; za $c < 0$ rešenja nema.
Pitanja
Pitanje 1 od 10
1. Kada kažemo da se jednačina svodi na linearnu?
2. Koje je rešenje jednačine $x(x + 3) = x^2 + 12$?
3. Kada je proizvod $A \cdot B$ jednak nuli?
4. Koja su rešenja jednačine $(x - 6)(x + 2) = 0$?
5. Učenik je jednačinu $(x - 2)(x + 7) = 3(x - 2)$ podelio sa $x - 2$ i dobio samo $x = -4$. Šta je propustio?
6. Šta važi za rešenje jednačine $\frac{A}{B} = 0$?
7. Koje uslove pišemo pre rešavanja jednačine $\frac{x + 1}{x - 4} = \frac{x}{x + 2}$?
8. Rešavanjem jednačine sa uslovom $x \ne -1$ dobijen je broj $-1$. Šta zaključujemo?
9. Koliko rešenja ima jednačina $|x - 5| = 0$?
10. Šta je ekvivalentno jednačini $|x + 3| = 7$?
Rešeni zadaci
Reši jednačinu $(2x - 3)^2 - (2x + 1)(2x - 1) = 14$.
-
$4x^2 - 12x + 9 - (4x^2 - 1) = 14$Razvijemo kvadrat binoma: $(2x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot 3 + 3^2$; proizvod je razlika kvadrata $(2x)^2 - 1^2$ — ostaje u zagradi zbog minusa.
-
$4x^2 - 12x + 9 - 4x^2 + 1 = 14$Oslobodimo se zagrade: minus menja znak oba člana.
-
$-12x + 10 = 14$Članovi $4x^2$ i $-4x^2$ se poništavaju: jednačina je linearna.
-
$-12x = 4$, $\ x = 4 : (-12) = -\frac{1}{3}$Broj $10$ prebacimo desno, pa obe strane podelimo sa $-12$.
-
$\left(-\frac{11}{3}\right)^2 - \frac{1}{3} \cdot \left(-\frac{5}{3}\right) = \frac{121}{9} + \frac{5}{9} = 14$Provera: za $x = -\frac{1}{3}$ je $2x - 3 = -\frac{11}{3}$, $2x + 1 = \frac{1}{3}$ i $2x - 1 = -\frac{5}{3}$; leva strana je $\frac{126}{9} = 14$.
Reši jednačinu $\frac{2x + 1}{x - 1} = \frac{2x - 3}{x - 2}$.
-
$x \ne 1, \ \ x \ne 2$Uslovi: imenioci $x - 1$ i $x - 2$ ne smeju biti nula.
-
$(2x + 1)(x - 2) = (2x - 3)(x - 1)$Uz uslove smemo da pomnožimo obe strane sa $(x - 1)(x - 2)$ — to je unakrsno množenje proporcije.
-
$2x^2 - 3x - 2 = 2x^2 - 5x + 3$Pomnožimo binome na obe strane.
-
$-3x + 5x = 3 + 2$Članovi $2x^2$ se poništavaju; članove sa $x$ prebacimo levo, a brojeve desno.
-
$2x = 5$, $\ x = \frac{5}{2}$Obe strane podelimo sa $2$. Broj $\frac{5}{2}$ nije ni $1$ ni $2$, pa zadovoljava uslove.
-
$\frac{6}{\frac{3}{2}} = 4 \quad \text{i} \quad \frac{2}{\frac{1}{2}} = 4$Provera: za $x = \frac{5}{2}$ brojioci su $6$ i $2$, a imenioci $\frac{3}{2}$ i $\frac{1}{2}$; obe strane su $4$.
Reši jednačinu $|x - 1| = 2x - 5$.
-
$x - 1 = 2x - 5 \ \ \text{ili} \ \ x - 1 = -(2x - 5)$Izraz pod apsolutnom vrednošću je jednak desnoj strani ili njenom suprotnom broju.
-
$x - 2x = -5 + 1$, $\ -x = -4$, $\ x = 4$Prva jednačina: prebacimo članove i pomnožimo sa $-1$.
-
$x - 1 = -2x + 5$, $\ 3x = 6$, $\ x = 2$Druga jednačina: oslobodimo se zagrade, prebacimo članove i podelimo sa $3$.
-
$x = 4:\ \ |3| = 3 = 2 \cdot 4 - 5$Provera za $4$: obe strane su $3$ — to je rešenje.
-
$x = 2:\ \ |1| = 1, \ \ 2 \cdot 2 - 5 = -1$Provera za $2$: levo $1$, desno $-1$. Apsolutna vrednost ne može biti negativna, pa $2$ nije rešenje — zato je provera ovde obavezna.
Test
Reši zadatke u svesci, pa upiši rezultat. Decimalni broj piši sa zarezom (npr. 2,5).
Reši jednačinu $(x + 2)^2 - (x - 4)(x + 6) = 44$.
Reši jednačinu $|x + 15| - 1 = 12$. Ako ima više rešenja, upiši sva, odvojena znakom ; (npr. −2; 3); ako je rešenje jedno, upiši samo njega.
Reši jednačinu $\frac{(2x + 16)(x - 5)}{(x - 5)(x + 2)} = 0$.
Bravo, čas je završen!
Želiš sertifikat? Napravi besplatan nalog, pa uradi test još jednom (treba bar 2 od 3 tačno). Rezultati se tada čuvaju, a sertifikat možeš da odštampaš ili podeliš.
Napravi besplatan nalogPohvali se i pozovi drugara:
Još časova: Još o linearnim jednačinama — jedno rešenje, nijedno ili beskonačno mnogo? · Rešavanje linearnih jednačina — kako član prelazi na drugu stranu?