Rešavanje linearnih jednačina — kako član prelazi na drugu stranu?

🎬 Video

📖 Pojmovi

Prebacivanje člana

Rešimo $9x - 2 = 4x + 13$. Po pravilu 1 obema stranama dodamo izraz $-4x$, a zatim broj $2$: dobijamo $9x - 4x = 13 + 2$. Pogledaj šta se desilo: član $4x$ sa desne strane pojavio se levo kao $-4x$, a član $-2$ sa leve strane pojavio se desno kao $+2$. Zato kažemo da se sabirak „prebacuje“ na drugu stranu jednačine sa promenjenim znakom. To nije novo pravilo, nego kratak zapis pravila 1, pa je i prebacivanje ekvivalentna transformacija. Uopšte, ako su $P$ i $Q$ izrazi sa nepoznatom, a $m$ i $n$ brojevi, onda dodavanjem izraza $-Q - m$ obema stranama dobijamo: $P + m = Q + n \Leftrightarrow P - Q = n - m$. Dalje je $5x = 15$, pa je $x = 3$.

Sabirak da, činilac ne

Prebacuje se samo sabirak, tj. član zbira ili razlike na jednoj strani. Broj koji MNOŽI nepoznatu ne prelazi na drugu stranu sa promenjenim znakom — njime se obe strane dele (pravilo 2): iz $6x = 21$ sledi $x = 21 : 6 = \frac{7}{2}$, a ne $x = 21 - 6$. Ni broj u zagradi nije sabirak cele strane: u $2(x + 1) = 9$ jedinicu ne prebacujemo dok se ne oslobodimo zagrade ($2x + 2 = 9$) ili dok obe strane ne podelimo sa $2$.

Zagrade i minus ispred zagrade

Pre prebacivanja oslobodimo se zagrada: broj ispred zagrade množi SVAKI član u njoj, npr. $-3(2x - 5) = -6x + 15$. Sam minus ispred zagrade je isto što i $-1$ ispred zagrade, pa svakom članu u zagradi menja znak: $-(x - 8) = -x + 8$. Česta greška je da se znak promeni samo prvom članu ($-x - 8$) — upravo ta greška se desila Luki u videu.

Razlomci i decimalni brojevi

Ako jednačina ima razlomke sa brojevima u imeniocima, obično je prvo pomnožimo najmanjim zajedničkim sadržaocem (NZS) imenilaca — obe strane, svaki član, i članove bez razlomka. Brojilac kao $x + 2$ je jedna celina, pa ga posle množenja pišemo u zagradi. Na primer, $\frac{x}{6} + \frac{x + 2}{4} = 3$ množimo sa $12$: $2x + 3(x + 2) = 36$, pa $5x + 6 = 36$, $5x = 30$ i $x = 6$. Minus ispred razlomka posle množenja postaje minus ispred zagrade. Decimalnih brojeva se oslobađamo množenjem sa $10$, $100$ … — prema broju koji ima najviše decimala.

Plan rešavanja

Linearnu jednačinu najčešće rešavamo ovim redom: 1) uklonimo razlomke i decimale (množenje sa NZS, sa $10$, $100$ …); 2) oslobodimo se zagrada; 3) prebacimo članove sa nepoznatom na jednu stranu, a brojeve na drugu; 4) saberemo slične članove i dobijemo oblik $ax = b$; 5) obe strane podelimo brojem $a$ uz nepoznatu (u jednačinama ovog časa on nije nula, a šta se dešava kad jeste — videćemo u sledećem času); 6) proverimo rešenje. Neki koraci ponekad nisu potrebni. Ako se ne kaže drugačije, nepoznata je iz skupa realnih brojeva $R$, pa rešenje može biti i negativan broj ili razlomak.

Provera u polaznoj jednačini

Dobijeni broj zamenimo u POLAZNU jednačinu i posebno izračunamo levu i desnu stranu. Ako su vrednosti jednake, rešenje je dobro; ako nisu, negde u lancu je greška — najčešće u znaku. Provera u nekoj kasnijoj jednačini lanca ne bi otkrila grešku napravljenu pre nje, jer je ta jednačina već pogrešna.

Jednačina iz odnosa dva izraza

Kad tražimo broj $x$ za koji izrazi $A$ i $B$ imaju jednake vrednosti, rešavamo jednačinu $A = B$. Ako je vrednost izraza $A$ za $k$ veća od vrednosti izraza $B$, onda je $A = B + k$ (manjoj vrednosti dodamo razliku); ako je za $k$ manja, onda je $A = B - k$. Ako je vrednost $A$ tri puta veća od vrednosti $B$, onda je $A = 3 \cdot B$, i ceo izraz $B$ pišemo u zagradi. Na primer, vrednost izraza $2x + 1$ je za $5$ veća od vrednosti izraza $x - 3$ kad je $2x + 1 = x - 3 + 5$, tj. za $x = 1$ (vrednosti su $3$ i $-2$).

Smena nepoznate

Kad se u jednačini isti izraz pojavljuje više puta, možemo ga zameniti novom nepoznatom — to je smena nepoznate. U $5(x - 1) - 7 = 2(x - 1) + 8$ uvedemo $t = x - 1$: $5t - 7 = 2t + 8$, pa je $3t = 15$ i $t = 5$; vratimo smenu: $x - 1 = 5$, pa je $x = 6$. Smena pomaže i kad je nepoznata u imeniocu: u $\frac{9}{x} - 2 = 1$ mora biti $x \ne 0$ (nulom se ne deli); smenom $t = \frac{1}{x}$ dobijamo $9t - 2 = 1$, $t = \frac{1}{3}$, pa je $x = 3$ (recipročna vrednost broja $t$). Slično, u $2\sqrt{x} + 1 = 13 - \sqrt{x}$ (uz $x \ge 0$) smena $t = \sqrt{x}$ daje $3t = 12$, $t = 4$, pa je $x = 4^2 = 16$.

🧮 Formule

❓ Pitanja

✏️ Rešeni zadaci

📝 Test

Reši zadatke u svesci, pa upiši rezultat. Decimalni broj piši sa zarezom (npr. 2,5).