Centralni i periferijski ugao — sa kojih mesta se gol vidi pod istim uglom?
Centralni i periferijski ugao nad istim lukom; periferijski ugao je pola centralnog; svi periferijski uglovi nad istim lukom su jednaki, nad jednakim tetivama jednaki ili suplementni; periferijski uglovi sa različitih strana tetive daju 180°, tetivni četvorougao; ugao nad prečnikom je prav (unutar kruga tup, van kruga oštar); luk kao deo kružnice; stranica i dijagonala pravilnog mnogougla viđene iz temena.
Video
Pojmovi
- Ugao pod kojim se vidi gol
- Neka su stative $P$ i $Q$, a igrač u tački $T$. Gol vidi pod uglom $\angle PTQ$. Ako su $P$, $Q$ i $T$ na kružnici sa centrom $O$, ugao $\angle PTQ$ je periferijski ugao nad lukom $PQ$ koji ne sadrži $T$, a $\angle POQ$ je centralni ugao nad istim lukom. Teme periferijskog ugla može biti bilo koja tačka drugog luka, pa nad jednim lukom ima beskonačno mnogo periferijskih uglova i samo jedan centralni.
- Periferijski je pola centralnog
- Povucimo iz igrača $T$ prečnik $TE$. Trouglovi $OTP$ i $OTQ$ su jednakokraki ($OT = OP = OQ = r$), pa su im uglovi uz osnovicu jednaki. Ugao $\angle POE$ je spoljašnji ugao trougla $OTP$, pa je jednak zbiru dva jednaka ugla — dvostrukom uglu $\angle PTO$; isto tako $\angle QOE = 2 \cdot \angle QTO$. Sabiranjem dobijamo $\angle POQ = 2 \cdot \angle PTQ$: periferijski ugao je pola centralnog, $\beta = \frac{\alpha}{2}$. (Kad centar nije unutar ugla, isto dobijamo oduzimanjem.)
- Isti luk, isti ugao
- Svaki periferijski ugao nad lukom $PQ$ je pola istog centralnog ugla, pa su svi jednaki: igrači na luku kroz stative vide gol pod istim uglom, gde god da stoje. Nad jednakim lukovima istog kruga periferijski uglovi su jednaki. Nad dve jednake tetive periferijski uglovi su jednaki ili daju zbir $180^\circ$ — zavisi od toga da li su temena na kraćim ili na dužim lukovima.
- Sa dve strane tetive
- Neka su $E$ i $F$ na kružnici, sa različitih strana tetive $KL$. Uglovi $\angle KEL$ i $\angle KFL$ su periferijski nad dva luka koja zajedno čine celu kružnicu, a centralni uglovi nad ta dva luka zajedno daju $360^\circ$. Zato je $\angle KEL + \angle KFL = 180^\circ$. U četvorouglu upisanom u kružnicu (tetivnom četvorouglu) dva naspramna temena su sa različitih strana dijagonale, pa naspramni uglovi daju $180^\circ$.
- Ugao nad prečnikom
- Kad je $KL$ prečnik, centralni ugao je opružen ($180^\circ$), pa je svaki periferijski ugao $\angle KEL$ prav (Talesova teorema o uglu nad prečnikom). Ako je tačka $E$ unutar kruga (a nije na duži $KL$), ugao $\angle KEL$ je tup, a ako je van kruga (a nije na pravoj $KL$) — oštar. Dakle, prav ugao nad $KL$ dobijamo samo kad je teme na kružnici; zato je hipotenuza pravouglog trougla prečnik opisane kružnice.
- Deo kružnice i pravilni mnogougao
- Luk koji je trećina kružnice ima centralni ugao $120^\circ$ i periferijski $60^\circ$; luk koji je četvrtina — $90^\circ$ i $45^\circ$. Temena pravilnog $n$-tougla dele opisanu kružnicu na $n$ jednakih lukova sa centralnim uglom $\frac{360^\circ}{n}$. Zato se stranica iz temena koje joj ne pripada vidi pod uglom $\frac{180^\circ}{n}$, a duž $A_1A_{k+1}$, čiji luk obuhvata $k$ stranica, iz temena sa drugog luka pod uglom $k \cdot \frac{180^\circ}{n}$.
Formule
| Oznaka | Šta znači | Jedinica |
|---|---|---|
| $\alpha$ | centralni ugao nad lukom | ° |
| $\beta$ | periferijski ugao nad istim lukom | ° |
Svi periferijski uglovi nad istim lukom su jednaki.
| Oznaka | Šta znači | Jedinica |
|---|---|---|
| $A, B, C, D$ | temena četvorougla upisanog u kružnicu | — |
Periferijski uglovi sa dve strane iste tetive.
| Oznaka | Šta znači | Jedinica |
|---|---|---|
| $KL$ | prečnik | cm |
| $E$ | tačka kružnice, različita od $K$ i $L$ | — |
Hipotenuza je prečnik opisane kružnice.
Pitanja
Pitanje 1 od 10
1. Centralni ugao nad lukom je $114^\circ$. Koliki je periferijski ugao nad istim lukom?
2. Koliko tačaka kružnice može biti teme periferijskog ugla nad lukom $PQ$?
3. Kakav je periferijski ugao nad prečnikom?
4. Šta uvek važi za periferijske uglove nad istim lukom?
5. Koliki je zbir naspramnih uglova četvorougla upisanog u kružnicu?
6. Luk $PQ$ je trećina kružnice. Koliki je periferijski ugao nad njim?
7. Tačka $E$ je van kruga čiji je prečnik $KL$ i nije na pravoj $KL$. Kakav je ugao $KEL$?
8. Periferijski ugao je $47^\circ$. Koliki je centralni ugao nad istim lukom?
9. Šta je hipotenuza pravouglog trougla u odnosu na njegovu opisanu kružnicu?
10. Pod kojim uglom se stranica pravilnog osmougla vidi iz temena koje joj ne pripada?
Rešeni zadaci
Stative gola $P$ i $Q$ i centar $O$ kružnice kroz njih određuju centralni ugao $\angle POQ = 74^\circ$. Pod kojim uglom vide gol igrači na dužem luku te kružnice?
-
$\angle PTQ = \frac{74^\circ}{2} = 37^\circ$Ugao gledanja je periferijski ugao nad lukom $PQ$.
-
isti za sve igrače na lukuSvi periferijski uglovi nad istim lukom su jednaki.
Centralni ugao nad kraćim lukom $PQ$ je $116^\circ$. Koliki je periferijski ugao čije je teme na dužem luku, a koliki onaj čije je teme na kraćem luku?
-
$\frac{116^\circ}{2} = 58^\circ$Teme na dužem luku: ugao je nad kraćim lukom.
-
$\frac{360^\circ - 116^\circ}{2} = 122^\circ$Teme na kraćem luku: ugao je nad dužim lukom.
-
$58^\circ + 122^\circ = 180^\circ$Provera: dve strane iste tetive.
U tetivnom četvorouglu jedan ugao je za $26^\circ$ veći od naspramnog. Koliki su ti uglovi?
-
$x + (x + 26^\circ) = 180^\circ$Naspramni uglovi tetivnog četvorougla daju $180^\circ$.
-
$2x = 154^\circ, \ x = 77^\circ$Rešimo jednačinu.
Stranica pravilnog mnogougla vidi se iz temena koje joj ne pripada pod uglom od $10^\circ$. Koliko stranica ima mnogougao?
-
$\frac{180^\circ}{n} = 10^\circ$Periferijski ugao nad jednom stranicom je pola centralnog $\frac{360^\circ}{n}$.
-
$n = 180 : 10 = 18$Broj stranica.
Tačka $E$ je na kružnici čiji je prečnik $KL = 8{,}5$ cm, a $KE = 3{,}6$ cm. Koliko je $EL$?
-
$\angle KEL = 90^\circ$Ugao nad prečnikom je prav.
-
$EL = \sqrt{8{,}5^2 - 3{,}6^2} = \sqrt{59{,}29} = 7{,}7\ \mathrm{cm}$Pitagorina teorema.
Test
Kod računskih zadataka reši u svesci i upiši rezultat (decimalni broj sa zarezom, npr. 2,5), a kod ostalih izaberi tačan odgovor.
Centralni ugao $\angle POQ$ nad kraćim lukom $PQ$ je $96^\circ$. Koliki je periferijski ugao $\angle PTQ$, ako je tačka $T$ na dužem luku (u stepenima)?
U tetivnom četvorouglu jedan ugao je za $8^\circ$ veći od njemu naspramnog ugla. Koliki je veći od ta dva ugla (u stepenima)?
Stranica pravilnog mnogougla vidi se iz temena koje joj ne pripada pod uglom od $15^\circ$. Koliko stranica ima taj mnogougao?
Tetiva $KL$ jednaka je poluprečniku kruga. Pod kojim uglovima se vidi iz tačaka kružnice sa jedne i sa druge strane tetive?
Tačka $E$ je na kružnici čiji je prečnik $KL = 9{,}7$ cm, a $KE = 6{,}5$ cm. Koliko je $EL$?
Bravo, čas je završen!
Želiš sertifikat? Napravi besplatan nalog, pa uradi test još jednom (treba bar 3 od 5 tačno). Rezultati se tada čuvaju, a sertifikat možeš da odštampaš ili podeliš.
Napravi besplatan nalogPohvali se i pozovi drugara:
Sledeći čas: 34. Obim kruga i broj π — koliko puta se okrene točak bicikla do škole?