Kružni isečak i kružni prsten — koliku površinu travnjaka zaliva prskalica?

Kružni isečak (deo kruga između dva poluprečnika i luka); površina isečka Pᵢ = r²πα/360° = l·r/2; polukrug; centralni ugao i poluprečnik iz površine isečka; kružni prsten između koncentričnih kružnica, Pₚ = (r₁² − r₂²)π; prsten između opisane i upisane kružnice pravilnog mnogougla; kružni odsečak (isečak minus trougao).

Nikola Stanković

Čas nije dostupan za štampu. Otvori ga na sajtu: https://dopetice.com/cas/255

Video

Prskalica pored kuće okreće se tamo-amo za dvesta četrdeset stepeni i baca vodu devet metara daleko. Koliku površinu travnjaka zaliva? A kolika je površina staze oko okrugle fontane? Pogledaj video, pa nastavi čas.

Pojmovi

Zaliveni deo travnjaka: Prskalica koja se okreće tamo-amo i baca vodu do daljine $r$ kvasi deo kruga poluprečnika $r$ omeđen dvama poluprečnicima i lukom između njihovih krajeva. Takav deo kruga zove se kružni isečak, a ugao $\alpha$ između ta dva poluprečnika je njegov centralni ugao. Kriška pice ili torte je isečak; isečak sa uglom od $180^\circ$ je polukrug.
Površina isečka: Koliki je deo punog ugla ugao $\alpha$, toliki je deo kruga isečak — površina isečka je direktno proporcionalna centralnom uglu: $P_i = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot r^2\pi = \frac{r^2\pi\alpha}{360^\circ}$. Isečak od $45^\circ$ je osmina kruga, a polukrug ima površinu $\frac{r^2\pi}{2}$. Iz iste formule, ako znamo površinu i poluprečnik, nalazimo ugao: $\alpha = \frac{P_i}{r^2\pi} \cdot 360^\circ$; ako znamo površinu i ugao, nalazimo poluprečnik iz $r^2 = \frac{360^\circ \cdot P_i}{\pi\alpha}$.
Isečak preko dužine luka: Ako znamo dužinu luka $l = \frac{r\pi\alpha}{180^\circ}$, površina isečka je $P_i = \frac{l \cdot r}{2}$ — isečak se ponaša kao „trougao“ čija je osnovica luk, a visina poluprečnik (isto kao kriške složene u pravougaonik kod površine kruga). Odatle je i $l = \frac{2P_i}{r}$ i $r = \frac{2P_i}{l}$. Ako je zadat periferijski ugao nad lukom isečka, centralni ugao je dvaput veći.
Kružni prsten: Kad iz kruga izvadimo manji krug sa istim centrom, ostaje kružni prsten — takav oblik imaju podloška za šraf i staza oko okrugle fontane. Ako je $r_1$ poluprečnik većeg, a $r_2$ manjeg kruga, površina prstena je $P_p = r_1^2\pi - r_2^2\pi = (r_1^2 - r_2^2)\pi$. Račun je često kraći ako zapišemo $r_1^2 - r_2^2 = (r_1 - r_2)(r_1 + r_2)$. Staza široka $s$ oko okrugle leje poluprečnika $r$ je prsten sa $r_1 = r + s$ i $r_2 = r$.
Prsten oko pravilnog mnogougla: Kružnica opisana oko pravilnog mnogougla i kružnica upisana u njega imaju zajednički centar, pa zajedno određuju prsten. Neka su $R$ i $r$ poluprečnici opisane i upisane kružnice, a $a$ stranica mnogougla. Spojimo centar sa jednim temenom i sa sredinom susedne stranice: dobijamo pravougli trougao sa hipotenuzom $R$ i katetama $r$ i $\frac{a}{2}$. Po Pitagorinoj teoremi $R^2 - r^2 = \left(\frac{a}{2}\right)^2$, pa prsten ima površinu $\left(\frac{a}{2}\right)^2\pi$, koliko god stranica mnogougao imao.
Kružni odsečak: Tetiva $MN$ deli krug na dva dela; svaki od njih, omeđen tetivom i lukom, zove se kružni odsečak. Neka je $O$ centar kruga, a centralni ugao luka $MN$ manji od $180^\circ$. Manji odsečak dobijamo kad od isečka $MON$ oduzmemo trougao $MON$. Kad je centralni ugao prav, taj trougao je pravougli sa katetama $r$, pa je površina odsečka $\frac{r^2\pi}{4} - \frac{r^2}{2}$. Veći odsečak je ostatak kruga.

Formule

Površina kružnog isečka

P_i = \frac{r^2\pi\alpha}{360^\circ} = \frac{l \cdot r}{2}

Oznaka	Šta znači	Jedinica
$P_i$	površina isečka	cm²
$r$	poluprečnik	cm
$\alpha$	centralni ugao isečka	°
$l$	dužina luka	cm

Polukrug: $\frac{r^2\pi}{2}$.

Površina kružnog prstena

P_p = (r_1^2 - r_2^2)\pi

Oznaka	Šta znači	Jedinica
$P_p$	površina prstena	cm²
$r_1, r_2$	poluprečnici većeg i manjeg kruga	cm

Pravilni mnogougao stranice $a$: prsten između opisane i upisane kružnice ima $\left(\frac{a}{2}\right)^2\pi$.

Pitanja

Pitanje 1 od 10

1. Kojom formulom računamo površinu kružnog isečka?

2. Kolika je površina polukruga poluprečnika $14$ cm?

3. Šta je kružni isečak?

4. Kolika je površina prstena između krugova poluprečnika $7$ cm i $4$ cm?

5. Kolika je površina isečka sa uglom $72^\circ$ u krugu poluprečnika $10$ cm?

6. Dužina luka isečka je $4\pi$ cm, a poluprečnik $5$ cm. Kolika je površina isečka?

7. Kako se promeni površina isečka ako mu centralni ugao povećamo dva puta (isti krug)?

8. Koji deo kruga je isečak sa centralnim uglom od $60^\circ$?

9. Oba poluprečnika kružnog prstena povećamo za isti broj centimetara. Šta se dešava sa površinom prstena?

10. Kojom formulom računamo površinu kružnog prstena?

Rešeni zadaci

Zadatak 1

Prskalica se okreće za $240^\circ$ i baca vodu $9$ m daleko. Kolika je površina travnjaka koju zaliva?

$\frac{240^\circ}{360^\circ} = \frac{2}{3}$

Isečak je dve trećine kruga.
$P_i = 9^2\pi \cdot \frac{2}{3} = 81\pi \cdot \frac{2}{3} = 54\pi\ \mathrm{m^2}$

Dve trećine površine kruga.
$P_i \approx 54 \cdot 3{,}14 = 169{,}56\ \mathrm{m^2}$

Približna vrednost.

Odgovor: $54\pi \approx 169{,}56\ \mathrm{m^2}$

Zadatak 2

Dužina luka kružnog isečka je $7\pi$ cm, a poluprečnik $11$ cm. Kolika je površina isečka?

$P_i = \frac{l \cdot r}{2} = \frac{7\pi \cdot 11}{2} = 38{,}5\pi\ \mathrm{cm^2}$

Formula preko dužine luka.
$P_i \approx 38{,}5 \cdot 3{,}14 = 120{,}89\ \mathrm{cm^2}$

Približna vrednost.

Odgovor: $38{,}5\pi \approx 120{,}89\ \mathrm{cm^2}$

Zadatak 3

Isečak u krugu poluprečnika $18$ cm ima površinu $135\pi\ \mathrm{cm^2}$. Koliki mu je centralni ugao?

$P = 18^2\pi = 324\pi\ \mathrm{cm^2}$

Površina celog kruga.
$\alpha = \frac{135\pi}{324\pi} \cdot 360^\circ = \frac{5}{12} \cdot 360^\circ = 150^\circ$

Isti deo kruga kao deo punog ugla.

Odgovor: $150^\circ$

Zadatak 4

Oko okrugle fontane poluprečnika $3$ m napravljena je staza široka $1{,}5$ m. Kolika je površina staze?

$r_1 = 3 + 1{,}5 = 4{,}5\ \mathrm{m}, \ r_2 = 3\ \mathrm{m}$

Spoljašnji i unutrašnji poluprečnik.
$r_1^2 - r_2^2 = (4{,}5 - 3)(4{,}5 + 3) = 1{,}5 \cdot 7{,}5 = 11{,}25$

Razlika kvadrata kao proizvod.
$P_p = 11{,}25\pi \approx 11{,}25 \cdot 3{,}14 = 35{,}325\ \mathrm{m^2}$

Površina prstena.

Odgovor: $11{,}25\pi \approx 35{,}3\ \mathrm{m^2}$

Zadatak 5

Kolika je površina prstena između kružnice opisane oko pravilnog šestougla stranice $12$ cm i kružnice upisane u njega?

$R = a = 12, \ r = \frac{12\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$

Karakteristični trougao šestougla je jednakostraničan; $r$ je njegova visina.
$R^2 - r^2 = 144 - 108 = 36$

Razlika kvadrata poluprečnika.
$P_p = 36\pi\ \mathrm{cm^2}$

Isto kao $\left(\frac{12}{2}\right)^2\pi$.

Odgovor: $36\pi \approx 113{,}04\ \mathrm{cm^2}$

Test

Kod računskih zadataka reši u svesci i upiši rezultat (decimalni broj sa zarezom, npr. 2,5), a kod ostalih izaberi tačan odgovor.

Zadatak 1

Kružni isečak ima luk dužine $43{,}2\pi$ cm i površinu $583{,}2\pi\ \mathrm{cm^2}$. Koliki je njegov centralni ugao (u stepenima)?

Zadatak 2

Oko okrugle leje poluprečnika $12$ m napravljena je staza svuda iste širine. Površina staze je $78{,}5\ \mathrm{m^2}$. Kolika je širina staze? Uzmi $\pi \approx 3{,}14$ (rezultat u m).

Zadatak 3

Kružni isečak sa centralnim uglom od $225^\circ$ ima površinu $360\pi\ \mathrm{cm^2}$. Koliki je poluprečnik kruga (u cm)?

Zadatak 4

Kolika je površina prstena između kružnice opisane oko kvadrata stranice $24$ cm i kružnice upisane u njega?

Zadatak 5

Kolika je površina manjeg kružnog odsečka čiji luk ima centralni ugao od $90^\circ$, u krugu poluprečnika $16$ cm? Uzmi $\pi \approx 3{,}14$.

Bravo, čas je završen!

—pitanja iz prve

—zadataka na testu

Želiš sertifikat? Napravi besplatan nalog, pa uradi test još jednom (treba bar 3 od 5 tačno). Rezultati se tada čuvaju, a sertifikat možeš da odštampaš ili podeliš.

Napravi besplatan nalog

Sledeći čas: 38. Rotacija — za koji ugao se okrene panoramski točak dok kabina ne stigne na mesto susedne kabine?