Površina kruga — koliko više trave pase koza na dvaput dužem konopcu?
Površina kruga P = r²π (krug isečen na kriške i složen u „pravougaonik“ rπ × r); površina iz prečnika i iz obima; poluprečnik iz površine, r = √(P : π); računanje sa π ≈ 22/7; površina raste sa kvadratom poluprečnika; krug upisan u kvadrat i kvadrat upisan u krug.
Video
Pojmovi
- Krug od mnogo kriški
- Isečemo krug na mnogo jednakih kriški i složimo ih jednu uz drugu, naizmenično vrhom gore pa vrhom dole. Kriške smo samo premestili, pa nova figura ima istu površinu kao krug. Što je kriški više, figura sve više liči na pravougaonik: visina mu je poluprečnik $r$, gornju ivicu čine lukovi jedne polovine kriški, a donju lukovi druge polovine — svaka ivica je pola obima, $\frac{2r\pi}{2} = r\pi$. Zato je površina kruga $P = r\pi \cdot r = r^2\pi$.
- Površina kruga
- Površina kruga poluprečnika $r$ je $P = r^2\pi$. Ako je dat prečnik, prvo ga prepolovimo: krug prečnika $16$ cm ima $r = 8$ cm i $P = 64\pi\ \mathrm{cm^2} \approx 200{,}96\ \mathrm{cm^2}$. Tačna vrednost sadrži $\pi$, a približnu dobijamo za $\pi \approx 3{,}14$; kad je poluprečnik deljiv sa $7$, zgodno je uzeti $\pi \approx \frac{22}{7}$: krug poluprečnika $42$ cm ima $P \approx 42 \cdot 42 \cdot \frac{22}{7} = 5\,544\ \mathrm{cm^2}$. Površina se izražava u kvadratnim jedinicama ($\mathrm{cm^2}$, $\mathrm{m^2}$).
- Dvaput širi — četiri puta veći
- Površina raste sa kvadratom poluprečnika. Krug sa dvaput većim poluprečnikom ima četiri puta veću površinu, jer je $(2r)^2\pi = 4r^2\pi$, a krug sa triput većim poluprečnikom devet puta veću, jer je $(3r)^2\pi = 9r^2\pi$. Zato dvaput duži konopac ne daje kozi dvaput, nego četiri puta više trave.
- Iz obima ili površine do poluprečnika
- Ako je poznat obim, poluprečnik je $r = \frac{O}{2\pi}$, pa onda računamo površinu. Ako je poznata površina, iz $r^2 = \frac{P}{\pi}$ dobijamo $r = \sqrt{\frac{P}{\pi}}$: krug površine $196\pi\ \mathrm{cm^2}$ ima $r^2 = 196$, tj. $r = 14$ cm.
- Krug i kvadrat
- Najveći krug koji se može iseći iz kvadrata stranice $a$ je upisani krug: prečnik mu je $a$, a poluprečnik $\frac{a}{2}$. Kvadrat upisan u krug ima dijagonalu jednaku prečniku, pa je $d^2 = 2a^2$ i $r^2 = \frac{a^2}{2}$. Površinu dela jedne figure van druge dobijamo oduzimanjem površina.
Formule
| Oznaka | Šta znači | Jedinica |
|---|---|---|
| $r$ | poluprečnik | cm |
| $d$ | prečnik | cm |
| $P$ | površina kruga | cm² |
Krug sa $k$ puta većim poluprečnikom ima $k^2$ puta veću površinu.
| Oznaka | Šta znači | Jedinica |
|---|---|---|
| $O$ | obim kruga | cm |
Prvo nađemo poluprečnik, pa onda ono što se traži.
Pitanja
Pitanje 1 od 10
1. Kolika je površina kruga poluprečnika $r$?
2. Krug isečen na mnogo kriški složimo u figuru koja liči na pravougaonik. Kolike su mu stranice?
3. Kolika je površina kruga prečnika $22$ cm?
4. Ako poluprečnik kruga udvostručimo, kako se promeni površina?
5. Površina kruga je $169\pi\ \mathrm{cm^2}$. Koliki mu je poluprečnik?
6. U kojim jedinicama se izražava površina kruga?
7. Koliki je poluprečnik najvećeg kruga koji se može iseći iz kvadrata stranice $12$ cm?
8. Kolika je površina kruga poluprečnika $\sqrt{7}$ cm?
9. Koliko puta je površina kruga veća od površine kvadrata stranice $r$?
10. Krug ima obim $34\pi$ cm. Kolika mu je površina?
Rešeni zadaci
Koza je vezana konopcem od $3$ m, a zatim konopcem od $6$ m. Koliko puta je veća površina livade koju može da pase?
-
$P_1 = 3^2\pi = 9\pi\ \mathrm{m^2}$Konopac je poluprečnik kruga.
-
$P_2 = 6^2\pi = 36\pi\ \mathrm{m^2}$Dvaput duži konopac.
-
$36\pi : 9\pi = 4$Dvaput duži konopac daje četiri puta veću površinu.
Kolika je površina kruga prečnika $30$ cm? Uzmi $\pi \approx 3{,}14$.
-
$r = 30 : 2 = 15\ \mathrm{cm}$U formulu ide poluprečnik, ne prečnik.
-
$P = 15^2\pi = 225\pi\ \mathrm{cm^2}$Tačna vrednost.
-
$P \approx 225 \cdot 3{,}14 = 706{,}5\ \mathrm{cm^2}$Približna vrednost.
Obim kruga je $119{,}32$ cm. Kolika mu je površina? Uzmi $\pi \approx 3{,}14$.
-
$r = 119{,}32 : 6{,}28 = 19\ \mathrm{cm}$Iz $O = 2r\pi$, a $2\pi \approx 6{,}28$.
-
$P \approx 19^2 \cdot 3{,}14 = 361 \cdot 3{,}14 = 1\,133{,}54\ \mathrm{cm^2}$Površina kruga.
Iz kvadratnog kartona stranice $18$ cm isečen je najveći mogući krug. Koliko kartona ostaje? Uzmi $\pi \approx 3{,}14$.
-
$r = 18 : 2 = 9\ \mathrm{cm}$Najveći krug ima prečnik jednak stranici kvadrata.
-
$P_\circ \approx 9^2 \cdot 3{,}14 = 254{,}34\ \mathrm{cm^2}$Površina kruga.
-
$18^2 - 254{,}34 = 324 - 254{,}34 = 69{,}66\ \mathrm{cm^2}$Kvadrat minus krug.
Test
Kod računskih zadataka reši u svesci i upiši rezultat (decimalni broj sa zarezom, npr. 2,5), a kod ostalih izaberi tačan odgovor.
Okrugli travnjak u parku ima prečnik $64$ m. Za svaki kvadratni metar treba $30$ g semena trave. Koliko grama semena treba za ceo travnjak? Uzmi $\pi \approx 3{,}14$.
Okrugla bašta ima površinu $1661{,}06\ \mathrm{m^2}$. Koliko je duga ograda oko nje? Uzmi $\pi \approx 3{,}14$ (rezultat u metrima).
U krug je upisan kvadrat stranice $30$ cm. Kolika je površina dela kruga van kvadrata? Uzmi $\pi \approx 3{,}14$ (rezultat u cm²).
Jedan kvadrat je opisan oko kruga poluprečnika $r$, a drugi je upisan u isti krug. Koliko puta je površina većeg kvadrata veća od površine manjeg?
Od kanapa dugog $125{,}6$ cm napravimo jednom krug, a drugi put kvadrat. Koja figura ima veću površinu? Uzmi $\pi \approx 3{,}14$.
Bravo, čas je završen!
Želiš sertifikat? Napravi besplatan nalog, pa uradi test još jednom (treba bar 3 od 5 tačno). Rezultati se tada čuvaju, a sertifikat možeš da odštampaš ili podeliš.
Napravi besplatan nalogPohvali se i pozovi drugara:
Sledeći čas: 37. Kružni isečak i kružni prsten — koliku površinu travnjaka zaliva prskalica?