Krug i kružnica — koliki deo staze dosegne koza na kanapu?

🎬 Video

📖 Pojmovi

Staza i kozin krug

Koza na kanapu od $3{,}5$ m stiže do svake tačke kruga sa centrom u kolcu $O$ i poluprečnikom $r = 3{,}5$ m; kad je kanap zategnut, ona je na kružnici. Ravna staza je prava, a njeno rastojanje od kolca $d$ je dužina normale iz $O$ na stazu. Od odnosa $d$ i $r$ zavisi koliko staze koza dosegne: ako je $d > r$ — nimalo, ako je $d = r$ — tačno jednu tačku, a ako je $d < r$ — jedan deo staze.

Sečica i tetiva

Prava koja je bliža centru od poluprečnika ($d < r$) seče kružnicu u dve tačke $P$ i $Q$ — to je sečica, a duž $PQ$ je tetiva. Trougao $OPQ$ je jednakokraki ($OP = OQ = r$), pa je njegova visina iz $O$ ujedno i težišna duž: normala iz centra polovi tetivu. Polovina tetive, rastojanje $d$ i poluprečnik čine pravougli trougao: $\left(\frac{t}{2}\right)^2 + d^2 = r^2$. Za kozu: $\frac{t}{2} = \sqrt{3{,}5^2 - 2{,}1^2} = 2{,}8$ m, pa dosegne $5{,}6$ m staze.

Tangenta i tangentna duž

Prava na rastojanju $d = r$ ima sa kružnicom samo jednu zajedničku tačku $T$ — to je tangenta, a $T$ je dodirna tačka. Poluprečnik $OT$ je tada najkraće rastojanje od centra do prave, pa je tangenta normalna na poluprečnik u dodirnoj tački. Ako iz tačke $M$ van kruga povučemo tangentu, duž $MT$ je tangentna duž; trougao $OTM$ je pravougli sa pravim uglom kod $T$, pa je $MT^2 = OM^2 - r^2$.

Dva kruga

Dve koze na kolcima $O_1$ i $O_2$, sa kanapima $r_1$ i $r_2$, mogu da se sretnu samo ako se njihovi krugovi preklapaju. Za kružnice sa centralnim rastojanjem $d = O_1O_2$ (i $r_1 \neq r_2$): za $d > r_1 + r_2$ nemaju zajedničkih tačaka, za $d = r_1 + r_2$ dodiruju se spolja, za $|r_1 - r_2| < d < r_1 + r_2$ seku se u dve tačke, za $d = |r_1 - r_2|$ dodiruju se iznutra, a za $d < |r_1 - r_2|$ manja je unutar veće (za $d = 0$ su koncentrične). Kad se kružnice dodiruju, centri i dodirna tačka su na istoj pravoj.

Centralni ugao, luk i tetiva

Dve tačke $X$ i $Y$ kružnice dele je na dva luka i određuju dva centralna ugla, $\alpha$ i $360^\circ - \alpha$; svaki ugao odgovara luku koji leži u njemu. Ugao sa temenom na kružnici, čiji kraci prolaze kroz $X$ i $Y$, je periferijski ugao nad lukom koji ne sadrži njegovo teme. Iz centralnog ugla nalazimo tetivu: za $60^\circ$ trougao $OXY$ je jednakostraničan, pa je $XY = r$; za $90^\circ$ je pravougli i jednakokraki, pa je $XY = r\sqrt{2}$; za $180^\circ$ je $XY$ prečnik, $2r$. Jednakim konveksnim centralnim uglovima odgovaraju jednake tetive (SUS).

🧮 Formule

❓ Pitanja

✏️ Rešeni zadaci

📝 Test

Kod računskih zadataka reši u svesci i upiši rezultat (decimalni broj sa zarezom, npr. 2,5), a kod ostalih izaberi tačan odgovor.