Dužina kružnog luka — koliki put pređe vrh kazaljke za 25 minuta?

🎬 Video

📖 Pojmovi

Kazaljke sata

Vrh kazaljke se kreće po kružnici čiji je poluprečnik dužina kazaljke. Velika kazaljka obiđe pun krug ($360^\circ$) za $60$ minuta, pa se svakog minuta okrene za $6^\circ$; mala obiđe pun krug za $12$ sati, pa se svakog sata okrene za $30^\circ$. Od $12$ do $6$ vrh velike kazaljke pređe polukružnicu ($180^\circ$, pola obima), a od $12$ do $3$ četvrtinu kružnice ($90^\circ$). Obrnuto, ako znamo za koliko stepeni se velika kazaljka okrenula, broj minuta je taj ugao podeljen sa $6^\circ$.

Luk i centralni ugao

Dve tačke $M$ i $N$ kružnice dele je na dva luka. Kraćem luku odgovara centralni ugao $\alpha$ manji od $180^\circ$, a dužem ugao $360^\circ - \alpha$; zato centralni ugao luka može biti i veći od $180^\circ$, sve do $360^\circ$ za celu kružnicu. Ako dva luka istog kruga imaju isti centralni ugao, jedan možemo pomeriti po kružnici tako da tačno prekrije drugi — oni su jednako dugi.

Dužina luka

Dužina luka je direktno proporcionalna centralnom uglu: dvaput veći ugao — dvaput duži luk. Cela kružnica ($360^\circ$) dugačka je $2r\pi$, pa luk od $1^\circ$ ima dužinu $\frac{2r\pi}{360^\circ}$, a luk od $\alpha$ stepeni $l = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot 2r\pi = \frac{r\pi\alpha}{180^\circ}$. Za isti ugao luk je direktno proporcionalan i poluprečniku. Tačnu vrednost zapisujemo sa $\pi$ (npr. $10\pi$ cm), a približnu dobijamo za $\pi \approx 3{,}14$.

Stepeni i minuti

Ugao može biti zadat u stepenima i minutima: jedan stepen ima šezdeset ugaonih minuta, $1^\circ = 60'$. Pre računanja minute pretvorimo u deo stepena, npr. $40^\circ 30' = 40{,}5^\circ$, jer je $30'$ pola stepena.

Ugao iz dužine luka

Ako su poznati dužina luka i poluprečnik, centralni ugao dobijamo iz iste formule: $\alpha = \frac{180^\circ \cdot l}{r\pi}$. Ako je dat periferijski ugao nad lukom, centralni je dvaput veći, pa prvo njega izračunamo, a zatim dužinu luka.

Figure od lukova i duži

Obim figure koja se sastoji od duži i kružnih lukova je zbir dužina svih delova. Atletska staza sa dve prave deonice dužine $a$ i dve polukružnice prečnika $d$ ima dužinu $2a + d\pi$, jer dve polukružnice zajedno čine jednu celu kružnicu. Prozor u obliku pravougaonika širine $b$ i visine $h$ sa polukrugom na vrhu ima okvir dug $2h + b + \frac{b\pi}{2}$.

🧮 Formule

❓ Pitanja

✏️ Rešeni zadaci

📝 Test

Kod računskih zadataka reši u svesci i upiši rezultat (decimalni broj sa zarezom, npr. 2,5), a kod ostalih izaberi tačan odgovor.