Obim kruga i broj π — koliko puta se okrene točak bicikla do škole?

🎬 Video

📖 Pojmovi

Jedan okret točka

Kad se točak okrene tačno jednom i ne proklizava, tačka na njegovom obodu ponovo dodirne zemlju, a točak pređe put jednak dužini svoje kružnice — obimu kruga. Zato obim točka možemo izmeriti i bez kanapa: obeležimo tačku na gumi, okrenemo točak jednom po podu i izmerimo pređeni put.

Broj π

Ako za razne krugove obim podelimo prečnikom, uvek dobijamo isti broj, malo veći od $3$. Taj stalni broj označavamo grčkim slovom $\pi$ (čita se „pi“): $\frac{O}{d} = \pi$. Broj $\pi$ je iracionalan — ima beskonačan decimalni zapis koji se ne ponavlja: $\pi = 3{,}14159\ldots$ Zato u računu koristimo približne vrednosti: $\pi \approx 3{,}14$ ili $\pi \approx \frac{22}{7} = 3{,}142857\ldots$ Kad računamo sa približnom vrednošću broja $\pi$, i dobijeni obim je približna vrednost.

Obim kruga

Iz $\frac{O}{d} = \pi$ sledi $O = d \cdot \pi$, a pošto je prečnik $d = 2r$, obim kruga poluprečnika $r$ je $O = 2r\pi$. Ako tražimo tačnu vrednost, ostavljamo $\pi$ u rezultatu (npr. krug poluprečnika $6$ cm ima obim $12\pi$ cm); ako nam treba broj, zamenimo $\pi$ približnom vrednošću ($12\pi \approx 37{,}68$ cm).

Iz obima do poluprečnika

Ako je poznat obim, prečnik dobijamo deljenjem: $d = \frac{O}{\pi}$, a poluprečnik je $r = \frac{O}{2\pi}$. Na primer, krug obima $20\pi$ cm ima prečnik $20$ cm i poluprečnik $10$ cm. Pošto je obim srazmeran prečniku, krug sa dvaput (triput) većim prečnikom ima dvaput (triput) veći obim.

Krug i mnogougao

Svaki ugao pravougaonika je prav, a prav periferijski ugao stoji samo nad prečnikom. Zato je dijagonala pravougaonika prečnik kruga opisanog oko njega; kod kvadrata stranice $a$ to je $d = a\sqrt{2}$, a kod pravouglog trougla prečnik opisanog kruga je hipotenuza. Krug upisan u kvadrat dodiruje dve naspramne stranice, pa mu je prečnik jednak stranici $a$. Pravilni šestougao se deli na šest jednakostraničnih karakterističnih trouglova, pa je poluprečnik opisanog kruga jednak stranici šestougla. Kad nađemo prečnik, obim je $d \cdot \pi$.

Točak i put

Točak prečnika $d$ za $n$ punih okreta pređe put $s = n \cdot d \cdot \pi$. Obrnuto, broj okreta je put podeljen obimom: $n = \frac{s}{d\pi}$. Pre deljenja put i obim zapišemo u istoj jedinici (npr. oba u metrima). Kad dva točka pređu isti put, veći točak napravi manje okreta: iz $n_1 \cdot d_1\pi = n_2 \cdot d_2\pi$ sledi $n_1 \cdot d_1 = n_2 \cdot d_2$.

🧮 Formule

❓ Pitanja

✏️ Rešeni zadaci

📝 Test

Kod računskih zadataka reši u svesci i upiši rezultat (decimalni broj sa zarezom, npr. 2,5), a kod ostalih izaberi tačan odgovor.