Složenije primene podudarnosti — kako izmeriti širinu reke, a ne preći je?

🎬 Video

📖 Pojmovi

Dokaz podudarnošću

Da bismo dokazali da su dve duži (ili dva ugla) jednake, uočimo dva trougla u kojima su one odgovarajući elementi, nađemo tri para jednakih elemenata i stav (SSS, SUS, USU ili SSU), pa zaključimo da su trouglovi podudarni — a podudarni trouglovi imaju jednake sve odgovarajuće stranice i uglove. Na primer, u jednakokrakom trouglu $KLM$ sa osnovicom $LM$ simetrale uglova na osnovici, $LL_1$ i $MM_1$, jednake su: trouglovi $LMM_1$ i $MLL_1$ imaju zajedničku stranicu $LM$, jednake uglove na osnovici i jednake polovine tih uglova, pa su podudarni po stavu USU.

Merenje nedostupne daljine

Neka je obala prava, a drvo $T$ na samoj drugoj obali. Stani na svoju obalu u tačku $A$ tačno preko puta drveta (tako da je $AT$ normalna na obalu). Hodaj duž obale, pobodi štap $S$ posle nekoliko koraka i nastavi isto toliko koraka do tačke $B$. Iz $B$ idi pod pravim uglom, udaljavajući se od reke, dok ti štap i drvo ne budu na istoj pravoj — to je tačka $C$. Trouglovi $ATS$ i $BCS$ imaju $AS = SB$, prave uglove kod $A$ i $B$ i jednake unakrsne uglove kod $S$, pa su podudarni (USU). Zato je širina reke $AT$ jednaka duži $BC$, koju izmeriš na svojoj obali.

Pomoćni trougao u konstrukciji

Kad među datim elementima nisu tri stranice traženog trougla, tražimo neki drugi trougao na slici čija su nam tri elementa poznata, konstruišemo njega, pa dovršimo crtež. Ako su dati $b$, $c$ i visina $h_c$, to je pravougli trougao $ACD$ ($D$ je podnožje visine): hipotenuza $b$ i kateta $h_c$. Teme $B$ je zatim na pravoj $AD$, na rastojanju $c$ od $A$.

Koliko rešenja

U zadacima ovog tipa (dužine stranica i visina) konstrukcija može imati nijedno, jedno ili dva rešenja. U konstrukciji iz prethodnog pojma tačka $B$ može biti sa jedne ili sa druge strane tačke $A$ na pravoj $AD$, pa za $h_c < b$ dobijamo dva nepodudarna trougla. Za $h_c = b$ podnožje $D$ je baš $A$, a dva trougla su podudarna — rešenje je jedno. Ako je $h_c > b$, pomoćni trougao ne postoji (kateta ne može biti duža od hipotenuze), pa nema nijednog rešenja. Zato pre konstrukcije proverimo da li pomoćni trougao postoji (nejednakost trougla; kod pravouglog: kateta kraća od hipotenuze).

Produžena težišna duž

U trouglu $PQR$ neka je $M$ središte stranice $QR$. Težišnu duž $PM$ produžimo preko $M$ za njenu dužinu do tačke $S$. Dijagonale $PS$ i $QR$ četvorougla $PQSR$ se polove, pa je $PQSR$ paralelogram i $QS = PR$. Trougao $PQS$ zato ima stranice $PQ$, $PR$ i $2 \cdot PM$, a nejednakost trougla daje: dvostruka težišna duž je kraća od zbira dve stranice uz njeno teme i duža od njihove razlike. U uobičajenim oznakama: $|b - c| < 2t_a < b + c$.

Četvorougao preko pomoćnog trougla

I četvorougao konstruišemo tako što prvo nađemo trougao čija tri elementa znamo. Kod jednakokrakog trapeza sa osnovicama $a > b$ i krakom $c$ jedan krak pomerimo paralelno do temena kraće osnovice: nastaje trougao sa stranicama $a - b$, $c$ i $c$, a ostatak je paralelogram. Paralelogram iz dve stranice i ugla između njih počinjemo trouglom (SUS) i dopunimo četvrtim temenom. Deltoid dijagonala na osi simetrije deli na dva podudarna trougla (SSS), pa ta dijagonala polovi uglove deltoida u svojim krajevima.

🧮 Formule

❓ Pitanja

✏️ Rešeni zadaci

📝 Test

Kod računskih zadataka reši u svesci i upiši rezultat (decimalni broj sa zarezom, npr. 2,5), a kod ostalih izaberi tačan odgovor.