Pravilni mnogouglovi — zašto se pod ne može popločati samo pravilnim petouglovima?

Popločavanje (uglovi u temenu daju 360°); pravilni mnogougao (jednake stranice i jednaki uglovi); karakteristični trougao i centralni ugao φ = 360° : n; spoljašnji ugao 360° : n, unutrašnji (n − 2) · 180° : n; opisana i upisana kružnica; R i r za jednakostranični trougao, kvadrat i šestougao; ose simetrije.

Nikola Stanković

Čas nije dostupan za štampu. Otvori ga na sajtu: https://dopetice.com/cas/245

Video

U prodavnici ima pločica oblika kvadrata, jednakostraničnog trougla i pravilnog šestougla. Zašto se pod ne može popločati samo pravilnim petouglovima, bez rupa i preklapanja? Pogledaj video, pa nastavi čas.

Pojmovi

Pločice oko jednog temena: Ako pod popločavamo samo pločicama jedne vrste, ivica uz ivicu, u svakom temenu se sastaje nekoliko jednakih uglova koji zajedno daju pun ugao, $360^\circ$. Kvadrat ima uglove od $90^\circ$ (četiri u temenu), jednakostranični trougao $60^\circ$ (šest), a pravilni šestougao $120^\circ$ (tri). Ugao pravilnog petougla je $(5 - 2) \cdot 180^\circ : 5 = 108^\circ$: tri petougla daju $324^\circ$, a četiri $432^\circ$ — ni tri ni četiri ne daju tačno $360^\circ$.
Pravilni mnogougao: Mnogougao je pravilan kad su mu sve stranice jednake i svi unutrašnji uglovi jednaki. Kod trougla je dovoljan jedan uslov (jednake stranice daju jednake uglove i obrnuto) — pravilni trougao je jednakostranični. Kod četvorouglova nije: romb sa uglom od $60^\circ$ ima jednake stranice, ali ne i uglove, a pravougaonik $3\ \mathrm{cm} \times 5\ \mathrm{cm}$ ima jednake uglove, ali ne i stranice. Pravilni četvorougao je kvadrat.
Kriške oko centra: Pravilni mnogougao možemo da isečemo kao tortu: iz centra $O$ do svih temena. Dobijamo $n$ podudarnih jednakokrakih trouglova — to su karakteristični trouglovi. Kraci su im $R$ (rastojanje centra od temena), osnovica je stranica $a$, a visina na osnovicu je $r$ (rastojanje centra od stranice). Uglovi kod centra zajedno daju pun ugao, pa je centralni ugao $\varphi = \frac{360^\circ}{n}$.
Uglovi pravilnog mnogougla: Spoljašnji uglovi pravilnog mnogougla su jednaki, a zajedno daju $360^\circ$, pa je svaki $\alpha_1 = \frac{360^\circ}{n}$ — jednak centralnom uglu. Unutrašnji je uporedan sa spoljašnjim: $\alpha = 180^\circ - \frac{360^\circ}{n} = \frac{(n - 2) \cdot 180^\circ}{n}$. Za šestougao je $\alpha_1 = 60^\circ$ i $\alpha = 120^\circ$ — baš ugao šestougaone pločice.
Opisana i upisana kružnica: Simetrale stranica pravilnog mnogougla seku se u jednoj tački — centru $O$, koji je jednako udaljen od svih temena; zato kroz sva temena prolazi opisana kružnica poluprečnika $R$. Centar je i presek simetrala uglova, pa je jednako udaljen i od svih stranica: upisana kružnica poluprečnika $r$ dodiruje sve stranice. Zato je kvadrat jedini četvorougao sa obe kružnice: oko romba koji nije kvadrat ne može se opisati kružnica, a u pravougaonik koji nije kvadrat ne može se upisati.
Trougao, kvadrat i šestougao: Kod jednakostraničnog trougla je $r = \frac{h}{3}$ i $R = \frac{2h}{3}$ (čas o jednakostraničnom trouglu), pa je $R = 2r$; sa $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$ dobijamo $r = \frac{a\sqrt{3}}{6}$ i $R = \frac{a\sqrt{3}}{3}$. Kod kvadrata je $r = \frac{a}{2}$, a $R$ je polovina dijagonale: $R = \frac{a\sqrt{2}}{2}$. Kod šestougla je $\varphi = 60^\circ$, karakteristični trougao je jednakostraničan, pa je $R = a$ i $r = \frac{a\sqrt{3}}{2}$; kraća dijagonala šestougla je $a\sqrt{3}$, a duža $2a$.
Ose simetrije: Pravilni $n$-tougao ima tačno $n$ osa simetrije. Kod neparnog $n$ svaka osa ide kroz teme i sredinu naspramne stranice (trougao ima $3$ ose). Kod parnog $n$ polovina osa ide kroz naspramna temena, a polovina kroz sredine naspramnih stranica (kvadrat $4$, šestougao $6$); tada je centar i centar simetrije mnogougla.

Formule

Uglovi pravilnog n-tougla

\alpha = \frac{(n - 2) \cdot 180^\circ}{n}, \qquad \alpha_1 = \varphi = \frac{360^\circ}{n}

Oznaka	Šta znači	Jedinica
$n$	broj stranica	—
$\alpha$	unutrašnji ugao	°
$\alpha_1$	spoljašnji ugao	°
$\varphi$	centralni ugao	°

$\alpha + \varphi = 180^\circ$.

Jednakostranični trougao

r = \frac{a\sqrt{3}}{6}, \qquad R = 2r = \frac{a\sqrt{3}}{3}

Oznaka	Šta znači	Jedinica
$a$	stranica	cm
$r$	poluprečnik upisane kružnice	cm
$R$	poluprečnik opisane kružnice	cm

$r = \frac{h}{3}$, $R = \frac{2h}{3}$.

Kvadrat

r = \frac{a}{2}, \qquad R = \frac{a\sqrt{2}}{2}

Oznaka	Šta znači	Jedinica
$a$	stranica	cm

$R$ je polovina dijagonale.

Pravilni šestougao

R = a, \qquad r = \frac{a\sqrt{3}}{2}

Oznaka	Šta znači	Jedinica
$a$	stranica	cm

Karakteristični trougao je jednakostraničan.

Pitanja

Pitanje 1 od 10

1. Koji četvorougao je pravilan?

2. Koji ugao pravilnog mnogougla je jednak njegovom centralnom uglu?

3. Zašto se pod ne može popločati samo pravilnim petouglovima?

4. Koliko osa simetrije ima pravilni osmougao?

5. Koliki je centralni ugao pravilnog $n$-tougla?

6. Kakav je karakteristični trougao pravilnog mnogougla?

7. Kod kog pravilnog mnogougla je poluprečnik opisane kružnice jednak stranici?

8. Koliko ima pravilnih mnogouglova sa unutrašnjim uglom od $100^\circ$?

9. Šta je centar pravilnog mnogougla?

10. Koliki je poluprečnik kružnice upisane u kvadrat stranice $10$ cm?

Rešeni zadaci

Zadatak 1

Mogu li pravilni osmouglovi sami da popločaju pod bez rupa?

$\alpha = \frac{6 \cdot 180^\circ}{8} = 135^\circ$

Unutrašnji ugao pravilnog osmougla.
$2 \cdot 135^\circ = 270^\circ < 360^\circ < 405^\circ = 3 \cdot 135^\circ$

Ni dva ni tri osmougla ne daju tačno $360^\circ$.

Odgovor: ne mogu (zato se uz osmouglove stavljaju i kvadrati: $135^\circ + 135^\circ + 90^\circ = 360^\circ$)

Zadatak 2

Izračunaj unutrašnji, spoljašnji i centralni ugao pravilnog dvanaestougla.

$\alpha_1 = \varphi = \frac{360^\circ}{12} = 30^\circ$

Spoljašnji i centralni ugao su jednaki.
$\alpha = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ$

Unutrašnji je uporedan sa spoljašnjim.

Odgovor: $\alpha = 150^\circ$, $\alpha_1 = \varphi = 30^\circ$

Zadatak 3

Unutrašnji ugao pravilnog mnogougla je $174^\circ$. Koliko ima stranica i koliko ukupno dijagonala?

$\alpha_1 = 180^\circ - 174^\circ = 6^\circ$

Spoljašnji ugao.
$n = 360 : 6 = 60$

Broj stranica.
$D_{60} = \frac{60 \cdot 57}{2} = 1\,710$

Ukupan broj dijagonala (čas o dijagonalama).

Odgovor: $60$ stranica, $1\,710$ dijagonala

Zadatak 4

Pravilni šestougao je upisan u kružnicu poluprečnika $8$ cm. Kolika mu je stranica, obim i poluprečnik upisane kružnice?

$a = R = 8\ \mathrm{cm}$

Karakteristični trougao je jednakostraničan.
$O = 6 \cdot 8 = 48\ \mathrm{cm}$

Šest jednakih stranica.
$r = \frac{8\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3} \approx 6{,}93\ \mathrm{cm}$

Visina jednakostraničnog trougla stranice $8$ cm.

Odgovor: $a = 8$ cm, $O = 48$ cm, $r = 4\sqrt{3} \approx 6{,}93$ cm

Zadatak 5

Pločica ima oblik jednakostraničnog trougla stranice $9$ cm. Koliki je poluprečnik najvećeg kruga koji se iz nje može iseći?

$h = \frac{9\sqrt{3}}{2}\ \mathrm{cm}$

Visina jednakostraničnog trougla.
$r = \frac{h}{3} = \frac{9\sqrt{3}}{6} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \approx 2{,}6\ \mathrm{cm}$

Najveći krug je upisani krug.

Odgovor: $r = \frac{3\sqrt{3}}{2} \approx 2{,}6$ cm

Test

Kod računskih zadataka reši u svesci i upiši rezultat (decimalni broj sa zarezom, npr. 2,5), a kod ostalih izaberi tačan odgovor.

Zadatak 1

Koliki je centralni ugao pravilnog mnogougla sa $32$ stranica (u stepenima)?

Zadatak 2

U jednom temenu poda sastaju se dve pločice oblika pravilnog petougla i još jedna pločica oblika pravilnog mnogougla, bez rupa i preklapanja. Koliko stranica ima ta treća pločica?

Zadatak 3

Pravilni šestougao je upisan u kružnicu poluprečnika $3$ cm. Koliki je obim šestougla (u cm)?

Zadatak 4

Unutrašnji ugao pravilnog mnogougla je dvaput veći od spoljašnjeg. Koji je to mnogougao?

Bravo, čas je završen!

—pitanja iz prve

—zadataka na testu

Želiš sertifikat? Napravi besplatan nalog, pa uradi test još jednom (treba bar 3 od 4 tačno). Rezultati se tada čuvaju, a sertifikat možeš da odštampaš ili podeliš.

Napravi besplatan nalog

Sledeći čas: 28. Konstrukcija pravilnih mnogouglova — kako nacrtati ružu vetrova sa osam pravaca?