Uglovi mnogougla — za koliko se okreneš kad obiđeš park?
Unutrašnji i spoljašnji ugao mnogougla (α + α₁ = 180°); zbir unutrašnjih uglova Sₙ = (n − 2) · 180° (podela na trouglove); zbir spoljašnjih uglova 360°; nepoznat ugao; postoji li mnogougao sa datim zbirom; mnogougao sa jednakim uglovima.
Video
Pojmovi
- Unutrašnji i spoljašnji ugao
- Produžimo stranicu mnogougla preko temena: produžetak i sledeća stranica grade spoljašnji ugao $\alpha_1$ — baš ugao za koji skreneš kad, idući duž stranice, stigneš do temena i nastaviš duž sledeće. Ugao između dve susedne stranice, okrenut ka unutrašnjosti, je unutrašnji ugao $\alpha$. Ta dva ugla su uporedna, pa je $\alpha + \alpha_1 = 180^\circ$. Svejedno je koju od dve stranice produžimo: dobijamo dva unakrsna, jednaka ugla. Kod konveksnog mnogougla svaki unutrašnji ugao je manji od $180^\circ$, pa je spoljašnji veći od $0^\circ$.
- Zbir spoljašnjih uglova
- Kad obiđeš ceo konveksan mnogougao i vratiš se na početak, gledaš na istu stranu kao na startu, a sve vreme skrećeš na istu stranu — napraviš tačno jedan pun obrt. Zato je zbir svih spoljašnjih uglova (po jedan kod svakog temena) uvek $360^\circ$, bez obzira na broj stranica: $S'_n = 360^\circ$.
- Zbir unutrašnjih uglova
- Dijagonale iz jednog temena konveksnog $n$-tougla dele ga na $n - 2$ trougla, a uglovi tih trouglova zajedno čine sve unutrašnje uglove mnogougla. Zato je $S_n = (n - 2) \cdot 180^\circ$. Na primer, sedmougao se deli na $5$ trouglova, pa je $S_7 = 5 \cdot 180^\circ = 900^\circ$. Isto dobijamo i iz spoljašnjih uglova: $n \cdot 180^\circ - 360^\circ = (n - 2) \cdot 180^\circ$. I nekonveksan mnogougao može da se podeli na $n - 2$ trougla, pa formula važi i za njega.
- Nepoznat ugao
- Ako znamo sve unutrašnje uglove osim jednog, poslednji je ostatak do zbira $S_n$. Kod četvorougla su to $360^\circ$, kod petougla $540^\circ$. Ako je dat spoljašnji ugao, unutrašnji je $180^\circ$ minus on.
- Postoji li takav mnogougao?
- Zbir unutrašnjih uglova je uvek deljiv sa $180$ (i najmanje je $180^\circ$). Ako je dati zbir deljiv sa $180$, broj stranica je $n = S : 180 + 2$; ako nije, takav mnogougao ne postoji.
- Jednaki uglovi
- Ako su svi uglovi mnogougla jednaki, jednaki su i svi spoljašnji, pa je svaki $\frac{360^\circ}{n}$, a unutrašnji $180^\circ - \frac{360^\circ}{n}$. Obrnuto, iz spoljašnjeg ugla dobijamo broj stranica: ako je spoljašnji ugao $9^\circ$, onda je $n = 360 : 9 = 40$.
Formule
| Oznaka | Šta znači | Jedinica |
|---|---|---|
| $n$ | broj stranica (temena) | — |
| $S_n$ | zbir unutrašnjih uglova | ° |
Trougao $180^\circ$, četvorougao $360^\circ$, petougao $540^\circ$.
| Oznaka | Šta znači | Jedinica |
|---|---|---|
| $S'_n$ | zbir spoljašnjih uglova (po jedan kod svakog temena) | ° |
| $\alpha$, $\alpha_1$ | unutrašnji i spoljašnji ugao kod istog temena | ° |
Jednaki uglovi: svaki spoljašnji je $\frac{360^\circ}{n}$.
Pitanja
Pitanje 1 od 10
1. Koliki je zbir unutrašnjih uglova jedanaestougla?
2. Koliki je zbir spoljašnjih uglova konveksnog mnogougla?
3. Koliki je zbir unutrašnjeg i spoljašnjeg ugla kod istog temena?
4. Na koliko trouglova dijagonale iz jednog temena dele konveksan petnaestougao?
5. Zašto se spoljašnji uglovi mnogougla uvek sabiraju u isti zbir?
6. Može li zbir unutrašnjih uglova nekog mnogougla biti $1\,000^\circ$?
7. Koliki je unutrašnji ugao ako je spoljašnji ugao kod istog temena $35^\circ$?
8. Kako se menja zbir unutrašnjih uglova kad mnogougao dobije još jednu stranicu?
9. Koji uslov uvek važi za svaki unutrašnji ugao konveksnog mnogougla?
10. Šta je spoljašnji ugao mnogougla?
Rešeni zadaci
Ana trči oko parka oblika nepravilnog sedmougla i na svakom uglu skrene udesno. Za koliko se stepeni ukupno okrenula kad se vratila na početak? Koliki je zbir unutrašnjih uglova parka?
-
$S'_7 = 360^\circ$Na kraju gleda na istu stranu kao na startu, a skretala je uvek na istu stranu: jedan pun obrt.
-
$S_7 = (7 - 2) \cdot 180^\circ = 900^\circ$Pet trouglova iz jednog temena.
-
$7 \cdot 180^\circ - 360^\circ = 900^\circ$Provera: kod svakog temena unutrašnji i spoljašnji ugao daju $180^\circ$.
Koliki je zbir unutrašnjih uglova četrnaestougla?
-
$S_{14} = (14 - 2) \cdot 180^\circ = 12 \cdot 180^\circ = 2\,160^\circ$Dvanaest trouglova.
Četiri unutrašnja ugla petougla su $98^\circ$, $117^\circ$, $104^\circ$ i $126^\circ$. Koliki je peti?
-
$S_5 = 3 \cdot 180^\circ = 540^\circ$Zbir unutrašnjih uglova petougla.
-
$98 + 117 + 104 + 126 = 445$Zbir poznatih uglova.
-
$540^\circ - 445^\circ = 95^\circ$Ostatak.
Svi uglovi nekog mnogougla su jednaki, a svaki spoljašnji je $12^\circ$. Koliko ima stranica i koliki mu je unutrašnji ugao?
-
$n = 360 : 12 = 30$Zbir spoljašnjih uglova je $360^\circ$.
-
$\alpha = 180^\circ - 12^\circ = 168^\circ$Unutrašnji i spoljašnji su uporedni.
Postoji li mnogougao čiji je zbir unutrašnjih uglova $2\,700^\circ$? A $1\,500^\circ$?
-
$2\,700 : 180 = 15$, $\ n = 15 + 2 = 17$Deljivo je sa $180$: takav mnogougao ima $17$ stranica.
-
$1\,500 : 180 = 8{,}33\ldots$Nije deljivo sa $180$, pa takav mnogougao ne postoji.
Test
Kod računskih zadataka reši u svesci i upiši rezultat (decimalni broj sa zarezom, npr. 2,5), a kod ostalih izaberi tačan odgovor.
Zbir unutrašnjih uglova nekog mnogougla je $3\,780^\circ$. Koliko stranica ima taj mnogougao?
Unutrašnji uglovi konveksnog šestougla su $95^\circ, 118^\circ, 103^\circ, 138^\circ, 148^\circ$ i još jedan ugao. Koliki je taj ugao (u stepenima)?
Svi unutrašnji uglovi nekog mnogougla jednaki su i svaki je $172^\circ$. Koliko stranica ima taj mnogougao?
Robot-kosačica obilazi ivicu travnjaka oblika konveksnog petougla i na svakom temenu skreće na istu stranu. Na prva četiri temena skrenula je redom za $75^\circ$, $74^\circ$, $51^\circ$ i $94^\circ$. Za koliko stepeni skreće na poslednjem temenu da bi opet gledala kao na startu?
Svi spoljašnji uglovi nekog konveksnog mnogougla su tupi. Koji je to mnogougao?
Bravo, čas je završen!
Želiš sertifikat? Napravi besplatan nalog, pa uradi test još jednom (treba bar 3 od 5 tačno). Rezultati se tada čuvaju, a sertifikat možeš da odštampaš ili podeliš.
Napravi besplatan nalogPohvali se i pozovi drugara:
Sledeći čas: 27. Pravilni mnogouglovi — zašto se pod ne može popločati samo pravilnim petouglovima?