Konstrukcija pravilnih mnogouglova — kako nacrtati ružu vetrova sa osam pravaca?

🎬 Video

📖 Pojmovi

Šta znači konstruisati

Konstruisati znači nacrtati figuru samo lenjirom bez podeoka i šestarom. Lenjirom povlačimo prave kroz dve tačke, a šestarom crtamo kružnice i prenosimo dužine — zadatu dužinu (npr. $4$ cm) samo jednom uzmemo u šestar. Uglomer se ne koristi: prav ugao dobijamo kao normalu, a polovinu ugla kao simetralu ugla.

Pravilni šestougao

Karakteristični trougao šestougla ima ugao od $60^\circ$ kod centra i dva jednaka kraka, pa je jednakostraničan — zato je stranica šestougla jednaka poluprečniku, $a = R$. Nacrtamo kružnicu poluprečnika $R$ i na njoj tačku $A$. Šestar otvora $R$ zabodemo u $A$ i presečemo kružnicu — to je $B$; zabodemo ga u $B$ i dobijemo $C$, pa tako redom $D$, $E$ i $F$. Šesti luk se vraća tačno u $A$.

Trougao iz šestougla

Kad šest tačaka $A, B, C, D, E, F$ podele kružnicu, spajanjem svake druge tačke ($A$, $C$, $E$) dobijamo jednakostranični trougao upisan u kružnicu. Ostale tri tačke daju drugi takav trougao $BDF$; zajedno ta dva trougla čine šestokraku zvezdu.

Kvadrat i osmougao

Povučemo jedan prečnik, a drugi, normalan na njega, dobijemo kao simetralu prvog: lukovima iz krajeva prečnika. Dva normalna prečnika seku kružnicu u četiri temena kvadrata (centralni ugao $90^\circ$). Simetrale pravih uglova između prečnika daju još četiri tačke, pa dobijamo pravilni osmougao (centralni ugao $45^\circ$) — baš osam pravaca ruže vetrova.

Udvostručavanje broja temena

Iz pravilnog $n$-tougla upisanog u kružnicu dobijamo pravilni $2n$-tougao: konstruišemo simetrale svih centralnih uglova i nove presečne tačke sa kružnicom dodamo starim. Od šestougla tako nastaje dvanaestougao, pa dvadesetčetvorougao, a od kvadrata osmougao, pa šesnaestougao. Zato lako konstruišemo pravilne mnogouglove sa $3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, \ldots$ temena.

Kad je data stranica

Ako je data stranica $a$, prvo konstruišemo karakteristični trougao $ABO$: duž $AB = a$ i u njenim krajevima jednake uglove $\frac{180^\circ - \varphi}{2}$. Za šestougao to je $60^\circ$, za kvadrat $45^\circ$ (polovina pravog ugla), za osmougao $67{,}5^\circ$ ($45^\circ$ i još polovina od $45^\circ$), za dvanaestougao $75^\circ$ ($60^\circ$ i polovina od $30^\circ$). Presek krakova je centar $O$; nacrtamo kružnicu $k(O, OA)$ i na nju nanosimo stranicu $a$.

Šta se ne može konstruisati

Pravilni petougao i desetougao mogu se konstruisati, ali složenijim postupkom. Pravilni sedmougao, devetougao i jedanaestougao ne mogu se tačno konstruisati lenjirom i šestarom. Njih crtamo uglomerom: npr. kod sedmougla nanosimo centralni ugao $360^\circ : 7 \approx 51{,}4^\circ$, pa je crtež samo približan.

🧮 Formule

❓ Pitanja

✏️ Rešeni zadaci

📝 Test

Kod računskih zadataka reši u svesci i upiši rezultat (decimalni broj sa zarezom, npr. 2,5), a kod ostalih izaberi tačan odgovor.