Ortocentar i težište trougla — u kojoj tački kartonski trougao stoji na vrhu olovke?

Težišna duž (teme — središte naspramne stranice) i težište T kao presek težišnih duži; težište deli težišnu duž u odnosu 2 : 1 od temena; težišna duž polovi površinu trougla; prave određene visinama seku se u ortocentru H — položaj kod oštrouglog, pravouglog i tupouglog trougla; četiri značajne tačke trougla; težišna duž iz temena pravog ugla jednaka je polovini hipotenuze, i obrnuto.

Nikola Stanković

Čas nije dostupan za štampu. Otvori ga na sajtu: https://dopetice.com/cas/248

Video

Iseci trougao od kartona i pokušaj da ga držiš na vrhu olovke. Skoro svuda će ti skliznuti — samo u jednoj tački ostaje u ravnoteži. Kako da je nađeš lenjirom, bez probanja? Pogledaj video, pa nastavi čas.

Pojmovi

Težišna duž: Težišna duž je duž od temena trougla do središta stranice nasuprot tom temenu. Svaki trougao ima tri težišne duži, $t_a$, $t_b$ i $t_c$ — indeks kaže kojoj stranici odgovara. Težišna duž deli trougao na dva trougla jednakih površina: imaju jednake osnovice (dve polovine stranice) i istu visinu iz temena.
Težište: Sve tri težišne duži prolaze kroz istu tačku — težište $T$. Težište uvek leži u unutrašnjosti trougla, a od temena do težišta ima dvaput više nego od težišta do središta stranice: $AT = \frac{2}{3}t_a$ i $TA_1 = \frac{1}{3}t_a$. Trougao od ravnomerno debelog kartona (svuda isti materijal) ostaje u ravnoteži na vrhu olovke tačno kad je olovka ispod težišta. Za crtanje su dovoljne dve težišne duži — treća prolazi kroz njihov presek.
Ortocentar: Visina trougla je duž od temena do prave na kojoj leži naspramna stranica, normalna na tu pravu. Prave na kojima leže tri visine seku se u jednoj tački — ortocentru $H$. Kažemo „prave“, jer se kod tupouglog trougla same visine ne seku: seku se tek njihovi produžeci.
Gde je ortocentar: Kod pravouglog trougla katete su same visine (svaka je normalna na drugu), pa se seku u temenu pravog ugla — tu je ortocentar. Kod oštrouglog trougla sve tri visine padaju na same stranice i seku se u unutrašnjosti. Kod tupouglog trougla visine iz oštrih uglova padaju na produžetke stranica, pa se prave visina seku van trougla, na produžetku visine iz temena tupog ugla, iza tog temena.
Četiri značajne tačke: Trougao ima četiri značajne tačke: centar upisane kružnice (presek simetrala uglova), centar opisane kružnice (presek simetrala stranica), ortocentar i težište. Težište i centar upisane kružnice su uvek unutra; centar opisane kružnice i ortocentar mogu biti unutra, na trouglu (kod pravouglog) ili van (kod tupouglog). Kod jednakokrakog trougla sve četiri leže na visini prema osnovici, jer je ona osa simetrije, a kod jednakostraničnog su to ista tačka.
Težišna duž hipotenuze: U pravouglom trouglu (prav ugao kod $C$) središte hipotenuze je centar opisane kružnice, pa je podjednako udaljeno od sva tri temena: $t_c = \frac{c}{2}$. Važi i obrnuto: ako je $CC_1 = AC_1 = BC_1$, trouglovi $ACC_1$ i $BCC_1$ su jednakokraki, pa je ugao kod $C$ jednak zbiru uglova $\alpha$ i $\beta$; iz $\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$ tada sledi $\gamma = 90^\circ$.

Formule

Težište deli težišnu duž

AT = \frac{2}{3}\,t_a, \qquad TA_1 = \frac{1}{3}\,t_a

Oznaka	Šta znači	Jedinica
$t_a = AA_1$	težišna duž iz temena $A$ ($A_1$ je središte stranice $BC$)	cm
$T$	težište	—

$AT : TA_1 = 2 : 1$; isto važi za $t_b$ i $t_c$.

Pravougli trougao

t_c = \frac{c}{2}

Oznaka	Šta znači	Jedinica
$c$	hipotenuza (prav ugao kod $C$)	cm
$t_c$	težišna duž iz temena pravog ugla	cm

Ortocentar je u temenu pravog ugla.

Pitanja

Pitanje 1 od 10

1. Šta je težišna duž trougla?

2. U kom odnosu težište deli težišnu duž, računajući od temena?

3. Gde je ortocentar pravouglog trougla?

4. Gde je ortocentar tupouglog trougla?

5. Koja od ovih tačaka je uvek u unutrašnjosti trougla (ne na ivici i ne van)?

6. Težišna duž $AA_1$ je $18$ cm, a $T$ je težište. Koliko je $AT$?

7. Ortocentar je presek čega?

8. Hipotenuza pravouglog trougla je $10$ cm. Kolika je težišna duž iz temena pravog ugla?

9. U kom trouglu su težište, ortocentar i centri upisane i opisane kružnice ista tačka?

10. Težišna duž deli trougao na dva trougla. Kakve su njihove površine?

Rešeni zadaci

Zadatak 1

Konstruiši trougao sa stranicama $6$ cm, $9$ cm i $10$ cm, pa nađi tačku u kojoj bi kartonski trougao tog oblika stajao na vrhu olovke.

$AB = 10\ \mathrm{cm}$, kružni lukovi $6$ cm iz $A$ i $9$ cm iz $B$

Treće teme $C$ je u preseku lukova.
simetrale stranica $BC$ i $AC$ $\Rightarrow A_1, B_1$

Simetrala daje središte stranice.
$AA_1 \cap BB_1 = T$

Presek dve težišne duži je težište; treća težišna duž $CC_1$ prolazi kroz istu tačku.

Odgovor: težište $T$ — tačka ravnoteže

Zadatak 2

U trouglu $ABC$ težište je $T$. Poznato je $AT = 16$ cm i $TB_1 = 5$ cm. Kolike su težišne duži $t_a$ i $t_b$?

$TA_1 = \frac{AT}{2} = 8\ \mathrm{cm}$, $\ t_a = 16 + 8 = 24\ \mathrm{cm}$

Deo uz teme je dvaput duži.
$BT = 2 \cdot TB_1 = 10\ \mathrm{cm}$, $\ t_b = 10 + 5 = 15\ \mathrm{cm}$

Isto za težišnu duž iz $B$.

Odgovor: $t_a = 24$ cm, $t_b = 15$ cm

Zadatak 3

Katete pravouglog trougla su $27$ cm i $36$ cm. Koliko je težište udaljeno od temena pravog ugla?

$c = \sqrt{27^2 + 36^2} = \sqrt{2\,025} = 45\ \mathrm{cm}$

Pitagorina teorema.
$t_c = \frac{45}{2} = 22{,}5\ \mathrm{cm}$

Težišna duž hipotenuze je polovina hipotenuze.
$CT = \frac{2}{3} \cdot 22{,}5 = 15\ \mathrm{cm}$

Težište deli težišnu duž $2 : 1$ od temena.

Odgovor: $15$ cm

Zadatak 4

Površina trougla $ABC$ je $60\ \mathrm{cm^2}$, $C_1$ je središte stranice $AB$, a $T$ je težište. Kolika je površina trougla $ABT$?

$P_{ACC_1} = \frac{60}{2} = 30\ \mathrm{cm^2}$

Težišna duž $CC_1$ polovi površinu.
$P_{ATC_1} = \frac{30}{3} = 10\ \mathrm{cm^2}$

U trouglu $ACC_1$: osnovica $TC_1$ je trećina od $CC_1$, a visina iz $A$ je ista.
$P_{ABT} = 2 \cdot 10 = 20\ \mathrm{cm^2}$

Isto toliko ima trougao $BTC_1$.

Odgovor: $20\ \mathrm{cm^2}$ (trećina površine)

Zadatak 5

Uglovi trougla su $28^\circ$ i $47^\circ$. Gde mu je ortocentar?

$180^\circ - 28^\circ - 47^\circ = 105^\circ$

Treći ugao.
$105^\circ > 90^\circ$

Trougao je tupougli.

Odgovor: van trougla, na produžetku visine iz temena tupog ugla, iza tog temena

Test

Kod računskih zadataka reši u svesci i upiši rezultat (decimalni broj sa zarezom, npr. 2,5), a kod ostalih izaberi tačan odgovor.

Zadatak 1

Tačka $T$ je težište trougla $ABC$, a $C_1$ je središte stranice naspramne temenu $C$. Ako je $TC_1 = 13$ cm, koliko je rastojanje $CT$ (u cm)?

Zadatak 2

Katete pravouglog trougla $ABC$ (prav ugao kod $C$) su $56$ cm i $33$ cm. Kolika je težišna duž iz temena $C$ (u cm)?

Zadatak 3

Površina trougla $ABC$ je $24\ \mathrm{cm^2}$, $C_1$ je središte stranice $AB$, a $T$ je težište. Kolika je površina trougla $ABT$ (u cm²)?

Zadatak 4

Dva ugla trougla su $35^\circ$ i $55^\circ$. Gde je ortocentar tog trougla?

Zadatak 5

U trouglu $ABC$ težišna duž $CC_1$ jednaka je polovini stranice $AB$. Koliki je ugao kod temena $C$?

Bravo, čas je završen!

—pitanja iz prve

—zadataka na testu

Želiš sertifikat? Napravi besplatan nalog, pa uradi test još jednom (treba bar 3 od 5 tačno). Rezultati se tada čuvaju, a sertifikat možeš da odštampaš ili podeliš.

Napravi besplatan nalog

Sledeći čas: 31. Složenije primene podudarnosti — kako izmeriti širinu reke, a ne preći je?