Obim i površina mnogougla — koliko daske treba za šestougaoni pod paviljona?
Obim mnogougla kao zbir stranica (iste jedinice), obim pravilnog mnogougla O = n·a; površina pravilnog šestougla P = 3a²√3/2; karakteristični trouglovi i površina pravilnog mnogougla P = n·a·r/2 = O·r/2; površina nepravilnog mnogougla sabiranjem i oduzimanjem delova; kad se stranica poveća k puta, površina se poveća k² puta.
Video
Pojmovi
- Obim mnogougla
- Obim je dužina cele granice mnogougla: saberemo dužine svih stranica, $O = a_1 + a_2 + \dots + a_n$. Ako su stranice zadate u različitim jedinicama, prvo ih pretvorimo u istu jedinicu. Kod pravilnog $n$-tougla sve stranice su jednake, pa je $O = n \cdot a$; na primer, pravilni osmougao stranice $4{,}5$ cm ima obim $36$ cm.
- Pravilni šestougao
- Spojimo centar šestougla sa temenima: dobijamo šest trouglova sa uglom od $60^\circ$ kod centra i dva jednaka kraka — dakle jednakostraničnih, stranice $a$. Površina jednog je $\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$, pa je $P = 6 \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{3a^2\sqrt{3}}{2}$. Pod paviljona stranice $4$ m ima površinu $6 \cdot 4\sqrt{3} = 24\sqrt{3} \approx 41{,}5\ \mathrm{m^2}$ (za $\sqrt{3} \approx 1{,}73$).
- Karakteristični trouglovi
- Isto radimo sa svakim pravilnim $n$-touglom: iz centra ga isečemo na $n$ podudarnih jednakokrakih trouglova. Osnovica svakog je stranica $a$, a visina iz centra je poluprečnik upisane kružnice $r$ (upisana kružnica dodiruje stranicu baš u podnožju te visine). Ako je $t = \frac{a \cdot r}{2}$ površina jednog trougla, površina mnogougla je $P = n \cdot t = \frac{n \cdot a \cdot r}{2}$.
- Površina preko obima
- Pošto je $n \cdot a$ obim, istu formulu možemo pisati $P = \frac{O \cdot r}{2}$: pravilni mnogougao ima površinu kao trougao čija je osnovica njegov obim, a visina $r$. Provera na šestouglu: $r = \frac{a\sqrt{3}}{2}$ (čas o pravilnim mnogouglovima), pa je $P = \frac{6a \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}}{2} = \frac{3a^2\sqrt{3}}{2}$ — isto kao gore. Provera na kvadratu: $r = \frac{a}{2}$ i $P = \frac{4a \cdot \frac{a}{2}}{2} = a^2$.
- Nepravilni mnogougao
- Složen oblik razlažemo na delove čije površine znamo ili ga dopunimo do poznatog oblika. Kućica (pravougaonik sa trouglom na vrhu) ima površinu zbira pravougaonika i trougla, a pravougaonik sa odsečenim uglom — površinu pravougaonika umanjenu za odsečeni trougao. Kad ništa drugo ne ide, konveksan mnogougao isečemo na trouglove: iz jednog temena ($n - 2$ trougla, kao u času o uglovima) ili iz tačke u unutrašnjosti, koju spojimo sa svim temenima ($n$ trouglova).
- Kad stranica poraste k puta
- Ako sve stranice pravilnog mnogougla povećamo $k$ puta, obim se poveća $k$ puta, a površina $k^2$ puta, jer svaki karakteristični trougao dobije $k$ puta dužu osnovicu i $k$ puta veću visinu. Pod sa dvaput dužom stranicom traži četiri puta više daske, a ne dva puta. Obrnuto: ako je površina $25$ puta veća, stranica je $5$ puta duža.
Formule
| Oznaka | Šta znači | Jedinica |
|---|---|---|
| $O$ | obim | cm |
| $a_1, \dots, a_n$ | dužine stranica | cm |
| $n$ | broj stranica | — |
| $a$ | stranica pravilnog mnogougla | cm |
Drugi oblik važi za pravilni mnogougao.
| Oznaka | Šta znači | Jedinica |
|---|---|---|
| $n$ | broj stranica | — |
| $a$ | stranica | cm |
| $O$ | obim | cm |
| $r$ | poluprečnik upisane kružnice | cm |
| $P$ | površina | cm² |
$n$ karakterističnih trouglova osnovice $a$ i visine $r$.
| Oznaka | Šta znači | Jedinica |
|---|---|---|
| $a$ | stranica | cm |
Šest jednakostraničnih trouglova stranice $a$.
Pitanja
Pitanje 1 od 10
1. Koliki je obim pravilnog petnaestougla stranice $8$ cm?
2. Na koliko trouglova delimo konveksan $n$-tougao kad jednu tačku u njegovoj unutrašnjosti spojimo sa svim temenima?
3. Šta je $r$ u formuli $P = \frac{n \cdot a \cdot r}{2}$?
4. Zašto je površina pravilnog $n$-tougla $n$ puta veća od površine karakterističnog trougla?
5. Kolika je površina pravilnog šestougla stranice $a$?
6. Ako stranicu kvadrata povećamo dva puta, koliko puta se poveća njegova površina?
7. Čemu je jednaka površina pravilnog mnogougla obima $O$ i poluprečnika upisane kružnice $r$?
8. Stranice mnogougla date su u centimetrima i milimetrima. Šta radimo pre sabiranja?
9. Kako računamo površinu nepravilnog mnogougla?
10. Od pravougaonika je pravim rezom odsečen jedan ugao. Kako najlakše računamo površinu preostalog petougla?
Rešeni zadaci
Pod paviljona ima oblik pravilnog šestougla stranice $4$ m. Koliko metara lajsne treba za ivicu poda, a koliko kvadratnih metara daske za pod?
-
$O = 6 \cdot 4\ \mathrm{m} = 24\ \mathrm{m}$Lajsna ide duž svih šest stranica.
-
$t = \frac{4^2\sqrt{3}}{4} = 4\sqrt{3}\ \mathrm{m^2}$Jedan od šest jednakostraničnih trouglova.
-
$P = 6 \cdot 4\sqrt{3} = 24\sqrt{3} \approx 24 \cdot 1{,}73 \approx 41{,}5\ \mathrm{m^2}$Šest takvih trouglova.
Stranice četvorougla su $1{,}2$ dm, $85$ mm, $9$ cm i $0{,}11$ m. Koliki je njegov obim u centimetrima?
-
$1{,}2\ \mathrm{dm} = 12\ \mathrm{cm}, \ 85\ \mathrm{mm} = 8{,}5\ \mathrm{cm}, \ 0{,}11\ \mathrm{m} = 11\ \mathrm{cm}$Sve u centimetre.
-
$O = 12 + 8{,}5 + 9 + 11 = 40{,}5\ \mathrm{cm}$Saberemo stranice.
Od pravougaone ploče dužine $14$ dm i širine $9$ dm odsečen je jedan ugao: rez ide od tačke na dužoj stranici, $8$ dm od temena, do tačke na kraćoj stranici, $6$ dm od istog temena. Izračunaj obim i površinu dobijenog petougla.
-
$c = \sqrt{8^2 + 6^2} = 10\ \mathrm{dm}$Rez je hipotenuza odsečenog pravouglog trougla.
-
$O = 14 + 9 + (14 - 8) + (9 - 6) + 10 = 42\ \mathrm{dm}$Dve cele stranice, dva skraćena dela i rez.
-
$P = 14 \cdot 9 - \frac{8 \cdot 6}{2} = 126 - 24 = 102\ \mathrm{dm^2}$Pravougaonik minus odsečeni trougao.
Zid kućice ima oblik pravougaonika $16\ \mathrm{m} \times 5\ \mathrm{m}$, a na dužoj stranici je krov — jednakokraki trougao osnovice $16$ m i krakova $10$ m. Koliki su obim i površina celog zida?
-
$h = \sqrt{10^2 - 8^2} = 6\ \mathrm{m}$Visina trougla polovi osnovicu.
-
$O = 16 + 5 + 5 + 10 + 10 = 46\ \mathrm{m}$Gornja stranica pravougaonika nije deo granice.
-
$P = 16 \cdot 5 + \frac{16 \cdot 6}{2} = 80 + 48 = 128\ \mathrm{m^2}$Zbir površina pravougaonika i trougla.
Pravilni desetougao ima stranicu $6$ cm, a poluprečnik upisane kružnice mu je, zaokruženo na desetinu, $9{,}2$ cm. Kolika mu je površina?
-
$O = 10 \cdot 6 = 60\ \mathrm{cm}$Obim pravilnog mnogougla.
-
$P = \frac{O \cdot r}{2} \approx \frac{60 \cdot 9{,}2}{2} = 276\ \mathrm{cm^2}$Deset karakterističnih trouglova.
Test
Kod računskih zadataka reši u svesci i upiši rezultat (decimalni broj sa zarezom, npr. 2,5), a kod ostalih izaberi tačan odgovor.
Od pravougaonog kartona dužine $17$ cm i širine $11$ cm makazama smo odsekli jedan ugao pravim rezom. Rez počinje na dužoj stranici, $6$ cm od temena, a završava se na kraćoj stranici, $8$ cm od istog temena. Ostao je karton oblika petougla. Kolika je površina tog petougla (u cm²)?
Poluprečnik upisane kružnice pravilnog dvadesetougla stranice $2$ cm je, zaokruženo na desetinu, $6{,}3$ cm. Kolika je površina tog mnogougla (u cm²)?
Pravilni osmougao stranice $5$ cm ima površinu, zaokruženo na desetinu, $120{,}7\ \mathrm{cm^2}$. Kolika je površina pravilnog osmougla stranice $15$ cm (u cm²)?
Pravilni šestougao i jednakostranični trougao imaju isti obim. Kakav je odnos njihovih površina?
Plac ima oblik slova L: od pravougaonika $10\ \mathrm{m} \times 8\ \mathrm{m}$ nedostaje pravougaoni ugao $4\ \mathrm{m} \times 3\ \mathrm{m}$. Kolika je površina placa?
Bravo, čas je završen!
Želiš sertifikat? Napravi besplatan nalog, pa uradi test još jednom (treba bar 3 od 5 tačno). Rezultati se tada čuvaju, a sertifikat možeš da odštampaš ili podeliš.
Napravi besplatan nalogPohvali se i pozovi drugara:
Sledeći čas: 30. Ortocentar i težište trougla — u kojoj tački kartonski trougao stoji na vrhu olovke?