Mnogougao i njegove dijagonale — koliko je ukupno kuckanja čašama za okruglim stolom?

Mnogougao (figura ograničena zatvorenom izlomljenom linijom bez samopreseka), temena i stranice, n-tougao; konveksan i nekonveksan mnogougao; dijagonala; broj dijagonala iz jednog temena dₙ = n − 3; ukupan broj dijagonala Dₙ = n(n − 3)/2; iz broja dijagonala do broja stranica.

Nikola Stanković

Čas nije dostupan za štampu. Otvori ga na sajtu: https://dopetice.com/cas/243

Video

Za okruglim stolom sedi trinaest prijatelja. Na zdravici se svako kucne čašom sa svima — osim sa dva suseda, jer bi im laktovi smetali. Koliko je ukupno bilo kuckanja? Pogledaj video, pa nastavi čas.

Pojmovi

Mnogougao: Kad nacrtamo izlomljenu liniju koja se zatvara (kraj se vraća na početak) i nigde ne seče samu sebe, ona zajedno sa delom ravni koji ograničava čini mnogougao. Prelomne tačke su temena, a duži koje spajaju susedna temena su stranice. Mnogougao sa $n$ temena zove se $n$-tougao; ima isto toliko stranica, a najmanje ih je tri ($n \geq 3$): trougao, četvorougao, petougao…
Dijagonala: Duž koja spaja dva temena koja nisu susedna zove se dijagonala. Duž između susednih temena je stranica, a ne dijagonala. U trouglu je svako teme susedno sa ostala dva, pa trougao nema nijednu dijagonalu; četvorougao ih ima dve.
Dijagonale iz jednog temena: Iz jednog temena $n$-tougla dijagonala ne ide u to isto teme ni u dva njemu susedna temena, pa ih ima $d_n = n - 3$. Kod konveksnog mnogougla te dijagonale ga dele na $n - 2$ trougla: konveksan devetnaestougao iz jednog temena ima $16$ dijagonala i deli se na $17$ trouglova.
Ukupan broj dijagonala: Za stolom sa $13$ prijatelja svako se kucne sa $10$ ljudi. Ako saberemo za sve, dobijamo $13 \cdot 10 = 130$, ali tako smo svako kuckanje izbrojali dva puta — jednom za svaku čašu. Zato je kuckanja $\frac{130}{2} = 65$. Isto važi za dijagonale: iz $n$ temena polazi po $n - 3$, a svaka dijagonala ima dva kraja, pa je $D_n = \frac{n(n - 3)}{2}$.
Od dijagonala do stranica: Ako znamo ukupan broj dijagonala, broj stranica nalazimo iz $n(n - 3) = 2D$: tražimo dva prirodna broja koja se razlikuju za $3$ i daju proizvod $2D$. Oni leže oko $\sqrt{2D}$: manji je ispod, a veći iznad njega. Za $D = 119$: $2D = 238$, $\sqrt{238} \approx 15{,}4$, a $238 = 17 \cdot 14$, pa je $n = 17$. Ako takav par ne postoji, nema ni mnogougla sa tim brojem dijagonala.
Konveksan i nekonveksan: Zamisli da kanap razapneš između bilo koje dve tačke mnogougla. Ako kanap nikad ne izlazi iz figure, mnogougao je konveksan — nema „udubljenja“. Drugi znak: prava kroz bilo koju stranicu konveksnog mnogougla ostavlja ceo mnogougao sa jedne strane. Kod nekonveksnog postoji stranica čija prava ima delove mnogougla sa obe strane. U nastavku posmatramo konveksne mnogouglove.

Formule

Dijagonale iz jednog temena

d_n = n - 3

Oznaka	Šta znači	Jedinica
$n$	broj temena (stranica), $n \geq 3$	—

Trougao: $d_3 = 0$.

Ukupan broj dijagonala

D_n = \frac{n(n - 3)}{2}

Oznaka	Šta znači	Jedinica
$n$	broj temena	—
$D_n$	ukupan broj dijagonala $n$-tougla	—

Delimo sa $2$ jer je svaka dijagonala brojana iz oba kraja.

Pitanja

Pitanje 1 od 10

1. Koliko dijagonala polazi iz jednog temena devetnaestougla?

2. Zašto trougao nema dijagonala?

3. Šta je dijagonala mnogougla?

4. Zašto u formuli $\frac{n(n - 3)}{2}$ delimo sa $2$?

5. Koliko dijagonala ima četvorougao?

6. Koliko ukupno dijagonala ima sedmougao?

7. Koji od ovih iskaza važi za svaki mnogougao?

8. Koliki je najmanji mogući broj stranica mnogougla?

9. Koliko dijagonala polazi iz jednog temena trougla?

10. Na koliko trouglova dijagonale iz jednog temena dele konveksan osmougao?

Rešeni zadaci

Zadatak 1

Za okruglim stolom sedi $13$ prijatelja. Svako se kucne čašom sa svima osim sa dva suseda. Koliko je ukupno kuckanja?

$13 - 3 = 10$

Svako se kucne sa $10$ ljudi: ne sa sobom i ne sa dva suseda — kao dijagonale iz jednog temena.
$13 \cdot 10 = 130$

Ako saberemo za sve, svako kuckanje smo izbrojali dva puta (dve čaše).
$\frac{130}{2} = 65$

Isto kao $D_{13} = \frac{13 \cdot 10}{2}$.

Odgovor: $65$ kuckanja

Zadatak 2

Koliko dijagonala ima petnaestougao, a koliko polazi iz jednog njegovog temena?

$d_{15} = 15 - 3 = 12$

Iz jednog temena.
$D_{15} = \frac{15 \cdot 12}{2} = 90$

Ukupno.

Odgovor: $12$ iz jednog temena, ukupno $90$

Zadatak 3

Mnogougao ima ukupno $77$ dijagonala. Koliko ima stranica?

$\frac{n(n - 3)}{2} = 77 \;\Rightarrow\; n(n - 3) = 154$

Pomnožimo sa $2$.
$\sqrt{154} \approx 12{,}4$, $\ 154 = 14 \cdot 11$

Dva broja oko $12{,}4$ koja se razlikuju za $3$.
$n = 14$

Provera: $\frac{14 \cdot 11}{2} = 77$.

Odgovor: $14$ stranica

Zadatak 4

Koliko dijagonala polazi iz jednog temena mnogougla koji ima ukupno $275$ dijagonala?

$n(n - 3) = 550$

Pomnožimo sa $2$.
$\sqrt{550} \approx 23{,}5$, $\ 550 = 25 \cdot 22$

Proizvod $n(n - 3)$ raste kako $n$ raste, pa je rešenje jedno.
$n = 25$, $\ d_{25} = 22$

Iz jednog temena polazi $n - 3$ dijagonala.

Odgovor: $22$ dijagonale

Test

Kod računskih zadataka reši u svesci i upiši rezultat (decimalni broj sa zarezom, npr. 2,5), a kod ostalih izaberi tačan odgovor.

Zadatak 1

Eksere na dasci rasporedili smo u krug, a ima ih $29$. Svaka dva eksera koja nisu susedna spojimo kanapom. Koliko komada kanapa nam treba?

Zadatak 2

Ukupan broj dijagonala nekog mnogougla je $560$. Koliko dijagonala polazi iz jednog njegovog temena?

Zadatak 3

Broj dijagonala koje polaze iz jednog temena mnogougla je $39$. Koliko ukupno dijagonala ima taj mnogougao?

Zadatak 4

Petar tvrdi da u njegovom mnogouglu iz svakog temena polazi $8$ dijagonala i da ih ukupno ima $50$. Šta je tačno?

Zadatak 5

Kanap razapet između dve tačke nekog mnogougla delom izlazi iz figure. Kakav je taj mnogougao?

Bravo, čas je završen!

—pitanja iz prve

—zadataka na testu

Želiš sertifikat? Napravi besplatan nalog, pa uradi test još jednom (treba bar 3 od 5 tačno). Rezultati se tada čuvaju, a sertifikat možeš da odštampaš ili podeliš.

Napravi besplatan nalog

Sledeći čas: 26. Uglovi mnogougla — za koliko se okreneš kad obiđeš park?