Stepeni broja 10 i naučni zapis — koliko je daleko Sunce, a koliko je mala bakterija?

Stepeni broja 10 sa celim izložiocem: 10ⁿ (jedinica i n nula), 10⁰ = 1, 10⁻ⁿ = 1 : 10ⁿ; pomeranje decimalnog zareza; pravila za stepene važe i za cele izložioce; naučni zapis a · 10ⁿ (1 ≤ a < 10); prefiksi mernih jedinica; razvijeni zapis broja.

Nikola Stanković

Čas nije dostupan za štampu. Otvori ga na sajtu: https://dopetice.com/cas/238

Video

Sunce je od Zemlje udaljeno oko 150 000 000 km, a obična bakterija duga je oko 0,000 002 m. U ovakvim brojevima lako je pogrešiti za jednu nulu. Kako da ih zapišemo kratko i bez brojanja nula? Pogledaj video, pa nastavi čas.

Pojmovi

Veliki brojevi: $10^n$ je jedinica iza koje sledi $n$ nula: $10^6 = 1\,000\,000$ (milion), $10^9$ je milijarda. Množenje stepenom $10^n$ pomera decimalni zarez za $n$ mesta udesno: $3{,}7 \cdot 10^4 = 37\,000$.
Izložilac nula: Pravilo $a^m : a^n = a^{m-n}$ učili smo za $m > n$. Ako ga primenimo i kad su izložioci jednaki, dobijamo $10^5 : 10^5 = 10^{5-5} = 10^0$. A svaki broj (osim nule) podeljen samim sobom daje $1$. Da bi pravilo važilo i tada, dogovoreno je: $10^0 = 1$.
Negativni izložilac: Isto pravilo daje $10^2 : 10^5 = 10^{-3}$, a to je $\frac{100}{100\,000} = \frac{1}{1\,000}$. Zato je $10^{-n} = \frac{1}{10^n}$: $10^{-1} = 0{,}1$, $10^{-4} = 0{,}0001$ — iza zareza je $n$ cifara, a poslednja je jedinica. Množenje stepenom $10^{-n}$ pomera zarez za $n$ mesta ulevo: $6 \cdot 10^{-3} = 0{,}006$.
Naučni zapis: Broj zapisujemo kao $a \cdot 10^n$, gde je $1 \le a < 10$, a $n$ ceo broj. Zarez pomerimo tako da ispred njega ostane jedna cifra različita od nule i brojimo mesta: za $150\,000\,000$ zarez ide $8$ mesta ulevo, pa je to $1{,}5 \cdot 10^8$; za $0{,}000\,002$ ide $6$ mesta udesno, pa je to $2 \cdot 10^{-6}$. Veliki brojevi imaju pozitivan, a mali (između $0$ i $1$) negativan izložilac; brojevi od $1$ do $10$ (bez $10$) imaju izložilac $0$, npr. $7{,}5 = 7{,}5 \cdot 10^0$.
Prefiksi mernih jedinica: Prefiks ispred jedinice zamenjuje stepen broja $10$. Za veće jedinice: deka (da) $= 10^1$, hekto (h) $= 10^2$, kilo (k) $= 10^3$, mega (M) $= 10^6$, giga (G) $= 10^9$, tera (T) $= 10^{12}$. Za manje jedinice: deci (d) $= 10^{-1}$, centi (c) $= 10^{-2}$, mili (m) $= 10^{-3}$, mikro (μ) $= 10^{-6}$, nano (n) $= 10^{-9}$, piko (p) $= 10^{-12}$. Tako je $2$ μm $= 2 \cdot 10^{-6}$ m, $5$ GW $= 5 \cdot 10^9$ W, a $3$ hl $= 300$ l.
Pravila važe i za cele izložioce: Pri množenju stepena broja $10$ izložioci se sabiraju, pri deljenju oduzimaju, a pri stepenovanju stepena množe — i kad su negativni: $10^8 \cdot 10^{-5} = 10^3$, $10^{-4} : 10^2 = 10^{-6}$, $(10^{-3})^2 = 10^{-6}$. Pazi na oduzimanje negativnog izložioca: $10^4 : 10^{-2} = 10^{4-(-2)} = 10^6$.
Razvijeni zapis: Svaka cifra decimalnog broja množi neki stepen broja $10$: $306{,}25 = 3 \cdot 10^2 + 0 \cdot 10^1 + 6 \cdot 10^0 + 2 \cdot 10^{-1} + 5 \cdot 10^{-2}$. Cifre levo od zareza idu uz nenegativne, a desno od zareza uz negativne izložioce.

Formule

Stepeni broja 10

10^n = 1\underbrace{0\ldots0}_{n}, \qquad 10^0 = 1, \qquad 10^{-n} = \frac{1}{10^n}

Oznaka	Šta znači	Jedinica
$n$	prirodan broj	—

$10^{-n} = 0{,}0\ldots01$, sa $n$ cifara iza zareza.

Naučni zapis

x = a \cdot 10^n, \qquad 1 \le a < 10

Oznaka	Šta znači	Jedinica
$a$	broj od $1$ do $10$ (bez $10$)	—
$n$	ceo broj	—

Veliki brojevi: $n > 0$; brojevi od $1$ do $10$: $n = 0$; brojevi između $0$ i $1$: $n < 0$.

Pitanja

Pitanje 1 od 10

1. Koliko nula ima broj $10^9$ zapisan ciframa?

2. Koji prefiks znači $10^{-3}$?

3. Koliko je $10^{-2}$?

4. Koji je od ovih zapisa naučni zapis?

5. Šta znači prefiks mega?

6. Kako množenje stepenom $10^{-3}$ menja decimalni broj?

7. Zašto je $10^0 = 1$?

8. Koji je broj veći: $3 \cdot 10^{-4}$ ili $2 \cdot 10^{-3}$?

9. Koji je razvijeni zapis broja $40{,}07$?

10. U naučnom zapisu $a \cdot 10^n$ broj $a$ je:

Rešeni zadaci

Zadatak 1

Sunce je od Zemlje udaljeno oko $150\,000\,000$ km, a svetlost pređe $300\,000$ km u sekundi. Za koliko sekundi svetlost stigne od Sunca do Zemlje?

$150\,000\,000 = 1{,}5 \cdot 10^8$, $\ 300\,000 = 3 \cdot 10^5$

Naučni zapis.
$1{,}5 \cdot 10^8 : (3 \cdot 10^5) = (1{,}5 : 3) \cdot 10^{8-5} = 0{,}5 \cdot 10^3 = 500$

Brojeve delimo posebno, a stepene posebno.
$500$ s $= 8$ min $20$ s

$8 \cdot 60 = 480$.

Odgovor: oko $500$ s, tj. $8$ min $20$ s

Zadatak 2

Bakterija je duga $2$ μm. Koliko bakterija, poređanih u nizu kraj uz kraj, staje u $1$ cm?

$2$ μm $= 2 \cdot 10^{-6}$ m, $\ 1$ cm $= 10^{-2}$ m

Prefiksi kao stepeni broja $10$.
$10^{-2} : (2 \cdot 10^{-6}) = 0{,}5 \cdot 10^{-2-(-6)} = 0{,}5 \cdot 10^4 = 5\,000$

Oduzimamo negativan izložilac.

Odgovor: $5\,000$ bakterija

Zadatak 3

Zapiši decimalno: $4{,}05 \cdot 10^5$ i $7{,}2 \cdot 10^{-4}$.

$4{,}05 \cdot 10^5 = 405\,000$

Zarez $5$ mesta udesno; prazna mesta popunjavaju nule.
$7{,}2 \cdot 10^{-4} = 0{,}000\,72$

Zarez $4$ mesta ulevo.

Odgovor: $405\,000$ i $0{,}000\,72$

Zadatak 4

Zapiši u naučnom zapisu $3\,080\,000$ i $0{,}000\,47$.

$3\,080\,000 = 3{,}08 \cdot 10^6$

Zarez se pomera $6$ mesta ulevo.
$0{,}000\,47 = 4{,}7 \cdot 10^{-4}$

Zarez se pomera $4$ mesta udesno.

Odgovor: $3{,}08 \cdot 10^6$ i $4{,}7 \cdot 10^{-4}$

Test

Kod računskih zadataka reši u svesci i upiši rezultat (decimalni broj sa zarezom, npr. 2,5), a kod ostalih izaberi tačan odgovor.

Zadatak 1

Broj $0{,}000\,768$ zapiši u naučnom zapisu $a \cdot 10^n$. Koliki je izložilac $n$?

Zadatak 2

Izraz $10^{-4} \cdot 10^{-4} : 10^{-9}$ zapiši kao jedan stepen broja $10$. Koliki je izložilac?

Zadatak 3

Koliko je $1{,}2$ μg izraženo u mg?

Zadatak 4

Koliko je $(4 \cdot 10^{-3}) \cdot (5 \cdot 10^7)$ u naučnom zapisu?

Bravo, čas je završen!

—pitanja iz prve

—zadataka na testu

Želiš sertifikat? Napravi besplatan nalog, pa uradi test još jednom (treba bar 3 od 4 tačno). Rezultati se tada čuvaju, a sertifikat možeš da odštampaš ili podeliš.

Napravi besplatan nalog

Sledeći čas: 21. Algebarski izrazi i njihova vrednost — koliko košta vožnja taksijem?