Operacije sa stepenima — koliko filmova staje u telefon?

Množenje i deljenje stepena iste osnove (aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ, aᵐ : aⁿ = aᵐ⁻ⁿ), stepen stepena (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ, svođenje na istu osnovu, stepen proizvoda (ab)ⁿ = aⁿbⁿ i količnika (a : b)ⁿ = aⁿ : bⁿ (i obrnuto, za brže računanje); šta ne važi za zbir stepena.

Nikola Stanković

Čas nije dostupan za štampu. Otvori ga na sajtu: https://dopetice.com/cas/237

Video

Telefon ima 128 GB memorije, a jedan film zauzima 8 GB. Oba broja su stepeni dvojke: 2⁷ i 2³. Koliko filmova staje u prazan telefon — i može li se to izračunati samo pomoću izložilaca? Pogledaj video, pa nastavi čas.

Pojmovi

Deljenje stepena iste osnove: U telefon od $2^7$ GB staje $2^7 : 2^3$ filmova od $2^3$ GB. Kod deljenja $10^6 : 10^2$ dva činioca $10$ iz delioca skrate se sa dva činioca iz deljenika, pa ostaje $10^4$. Uopšte, $a^m : a^n = a^{m-n}$ za $m > n$ i $a \neq 0$ (nulom se ne deli): izložioci se oduzimaju. Ako je delilac sama osnova, njen izložilac je $1$: $x^{10} : x = x^9$.
Množenje stepena iste osnove: U proizvodu $7^3 \cdot 7^2$ ima $3 + 2 = 5$ činilaca $7$, pa je $7^3 \cdot 7^2 = 7^5$. Uopšte, $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$: osnova ostaje ista, a izložioci se sabiraju. Pravilo važi samo za istu osnovu — $2^3 \cdot 3^2$ se ne može zapisati kao jedan stepen sa sabranim izložiocima. Negativnu osnovu pišemo u zagradi: $(-a)^3 \cdot (-a)^4 = (-a)^7 = -a^7$.
Stepen proizvoda: $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$: stepenuje se svaki činilac, i kad ih je više. Na primer, $(-3y)^3 = (-3)^3 \cdot y^3 = -27y^3$. Pravilo se koristi i obrnuto, za brže računanje: $0{,}2^4 \cdot 50^4 = (0{,}2 \cdot 50)^4 = 10^4 = 10\,000$. Ponekad prvo razložimo veći stepen: $2^5 \cdot 5^3 = 2^2 \cdot 2^3 \cdot 5^3 = 4 \cdot 10^3 = 4\,000$.
Stepen količnika: $(a : b)^n = a^n : b^n$, odnosno $\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}$, za $b \neq 0$. I ovo pravilo često koristimo obrnuto: $15^3 : 5^3 = (15 : 5)^3 = 3^3 = 27$.
Stepen stepena: $(3^2)^4 = 3^2 \cdot 3^2 \cdot 3^2 \cdot 3^2 = 3^{2+2+2+2} = 3^8$. Uopšte, $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$: izložioci se množe. Česta greška je sabiranje: $(3^2)^4$ nije $3^6$.
Svođenje na istu osnovu: Pravila važe samo za istu osnovu, pa različite osnove pokušamo da zapišemo kao stepene istog broja: $4 = 2^2$, $8 = 2^3$, $16 = 2^4$, $32 = 2^5$; $9 = 3^2$, $27 = 3^3$, $81 = 3^4$; $25 = 5^2$, $125 = 5^3$. Na primer, $4^3 \cdot 8^2 = (2^2)^3 \cdot (2^3)^2 = 2^6 \cdot 2^6 = 2^{12}$.
Zbir stepena — oprez: Za sabiranje i oduzimanje stepena nema pravila sa izložiocima: $2^3 + 2^4 = 8 + 16 = 24$, a da su se izložioci sabrali, dobili bismo $2^7 = 128$. Zbir se sređuje samo kad su sabirci isti stepen, kao isti sabirci: $5^4 + 5^4 + 5^4 = 3 \cdot 5^4$, a $2^5 + 2^5 = 2 \cdot 2^5 = 2^1 \cdot 2^5 = 2^6$.

Formule

Stepeni iste osnove

a^m \cdot a^n = a^{m+n}, \qquad a^m : a^n = a^{m-n}, \qquad (a^m)^n = a^{m \cdot n}

Oznaka	Šta znači	Jedinica
$a$	osnova	—
$m$, $n$	izložioci (prirodni brojevi)	—

Kod deljenja $m > n$ i $a \neq 0$.

Stepen proizvoda i količnika

(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n, \qquad \left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}

Oznaka	Šta znači	Jedinica
$a$, $b$	činioci, odnosno deljenik i delilac	—
$n$	izložilac (prirodan broj)	—

Kod količnika $b \neq 0$. Za zbir stepena nema ovakvog pravila.

Pitanja

Pitanje 1 od 10

1. Koliko je $a^5 \cdot a^3$?

2. Koliko je $a^9 : a^3$ ($a \neq 0$)?

3. Koliko je $(a^4)^3$?

4. Koliko je $(3x)^2$?

5. Koliko je $2^3 + 2^3$?

6. Zašto kod deljenja stepena mora biti $a \neq 0$?

7. Koliko je $(-1)^3 \cdot (-1)^5$?

8. Koliko je $\left(\frac{x}{y}\right)^4$ ($y \neq 0$)?

9. Ako je $a^4 = 50$, koliko je $(-a)^4$?

10. Kada se izložioci sabiraju?

Rešeni zadaci

Zadatak 1

Memorijska kartica ima $256$ GB, a jedan snimak zauzima $32$ GB. Koliko snimaka staje na praznu karticu?

$256 = 2^8$, $\ 32 = 2^5$

Oba broja zapišemo kao stepene dvojke.
$2^8 : 2^5 = 2^{8-5} = 2^3 = 8$

Deljenje stepena iste osnove: izložioci se oduzimaju.

Odgovor: $8$ snimaka

Zadatak 2

Uprosti $x^4 \cdot x^9 : x^7$ ($x \neq 0$), $(y^3)^5 \cdot y$ i $(-a)^2 \cdot (-a)^5$.

$x^4 \cdot x^9 : x^7 = x^{4+9-7} = x^6$

Sabiramo pa oduzimamo izložioce.
$(y^3)^5 \cdot y = y^{15} \cdot y^1 = y^{16}$

Prvo stepen stepena, pa množenje; $y = y^1$.
$(-a)^2 \cdot (-a)^5 = (-a)^7 = -a^7$

Neparan izložilac čuva minus.

Odgovor: $x^6$, $y^{16}$, $-a^7$

Zadatak 3

Stepenuj: $(-2x^2)^3$ i $\left(\frac{3}{a}\right)^2$ ($a \neq 0$).

$(-2x^2)^3 = (-2)^3 \cdot (x^2)^3 = -8x^6$

Stepenuje se svaki činilac; neparan izložilac čuva minus.
$\left(\frac{3}{a}\right)^2 = \frac{3^2}{a^2} = \frac{9}{a^2}$

Stepenuju se brojilac i imenilac.

Odgovor: $-8x^6$, $\frac{9}{a^2}$

Zadatak 4

Izračunaj $2{,}5^3 \cdot 4^3$ i $36^4 : 12^4$.

$2{,}5^3 \cdot 4^3 = (2{,}5 \cdot 4)^3 = 10^3 = 1\,000$

Stepen proizvoda, obrnuto.
$36^4 : 12^4 = (36 : 12)^4 = 3^4 = 81$

Stepen količnika, obrnuto.

Odgovor: $1\,000$ i $81$

Zadatak 5

Odredi prirodan broj $n$ ako je $16^n = 2^{20}$.

$16^n = (2^4)^n = 2^{4n}$

Šesnaest zapišemo kao stepen dvojke.
$2^{4n} = 2^{20} \;\Rightarrow\; 4n = 20, \ n = 5$

Stepeni iste osnove (koja nije $0$, $1$ ni $-1$) jednaki su samo kad su im izložioci jednaki.

Odgovor: $n = 5$

Test

Kod računskih zadataka reši u svesci i upiši rezultat (decimalni broj sa zarezom, npr. 2,5), a kod ostalih izaberi tačan odgovor.

Zadatak 1

Izraz $a^{3} \cdot (a^{3})^{2} : a^{8}$ ($a \neq 0$) zapiši kao jedan stepen osnove $a$. Koliki je izložilac?

Zadatak 2

Izraz $25^{7} \cdot 125^{6} : 5^{6}$ zapiši kao stepen broja $5$. Koliki je izložilac?

Zadatak 3

Izračunaj $1{,}2^{6} : 0{,}4^{6}$ (bez računanja svakog stepena posebno).

Zadatak 4

Koliko cifara ima broj $2^{14} \cdot 5^{11}$?

Zadatak 5

Koji je od ovih izraza jednak $5^{14}$?

Bravo, čas je završen!

—pitanja iz prve

—zadataka na testu

Želiš sertifikat? Napravi besplatan nalog, pa uradi test još jednom (treba bar 3 od 5 tačno). Rezultati se tada čuvaju, a sertifikat možeš da odštampaš ili podeliš.

Napravi besplatan nalog

Sledeći čas: 20. Stepeni broja 10 i naučni zapis — koliko je daleko Sunce, a koliko je mala bakterija?