Rastavljanje polinoma na činioce — koji broj na kvadrat daje devet puta više od sebe?
Rastavljanje polinoma na činioce: izvlačenje zajedničkog činioca (monoma ili binoma), razlika kvadrata, kvadrat binoma, kombinovanje i grupisanje; proizvod je nula kad je bar jedan činilac nula — rešavanje jednačina rastavljanjem.
Video
Pojmovi
- Proizvod jednak nuli
- Proizvod je jednak nuli onda i samo onda kada je bar jedan činilac nula. Zato jednačinu rešavamo tako što sve prebacimo na jednu stranu, da s druge strane ostane nula, i rastavimo: $x^2 = 9x$ postaje $x^2 - 9x = 0$, pa $x(x - 9) = 0$, a odatle $x = 0$ ili $x = 9$. Ako bismo obe strane podelili sa $x$, izgubili bismo rešenje $0$. Pazi: iz $x(x - 9) = 5$ ništa ne sledi, jer s desne strane nije nula.
- Šta znači rastaviti
- Pravougaonik ima površinu $8x^2 - 12x$. Kolike mogu biti njegove stranice? Ako polinom zapišemo kao proizvod, $8x^2 - 12x = 4x(2x - 3)$, stranice mogu biti $4x$ i $2x - 3$. Zapisivanje polinoma kao proizvoda jednostavnijih polinoma — činilaca — zove se rastavljanje na činioce. To je obrnuto od množenja, pa rastav uvek proveravamo množenjem.
- Izvlačenje zajedničkog činioca
- Ako svi članovi imaju zajednički činilac, izvučemo ga ispred zagrade: $A \cdot B + A \cdot C = A(B + C)$. Uzimamo najveći: najveći zajednički delilac koeficijenata i svaku promenljivu koja se javlja u svim članovima, sa najmanjim izložiocem — $10a^2b - 15ab^3 = 5ab(2a - 3b^2)$, a i iz tri člana: $6x^3 - 9x^2 + 3x = 3x(2x^2 - 3x + 1)$. Zajednički činilac može biti i binom: $a(x - 3) + 4(x - 3) = (x - 3)(a + 4)$. Radi i sa brojevima: $36 \cdot 17 + 36 \cdot 3 = 36 \cdot 20 = 720$. Ponekad prvo promenimo znak: $2 - y = -(y - 2)$.
- Trinom koji je kvadrat binoma
- Ako su prvi i poslednji član kvadrati, a srednji je njihov dvostruki proizvod, trinom je kvadrat binoma: $t^2 - 18t + 81 = t^2 - 2 \cdot t \cdot 9 + 9^2 = (t - 9)^2$, a $9a^2 + 12a + 4 = (3a)^2 + 2 \cdot 3a \cdot 2 + 2^2 = (3a + 2)^2$. Znak srednjeg člana kaže da li je u zagradi zbir ili razlika.
- Razlika kvadrata
- Binom koji je razlika dva kvadrata rastavljamo na proizvod zbira i razlike: $49 - y^2 = (7 - y)(7 + y)$. Ponekad se to ponavlja: $16 - t^4 = (4 - t^2)(4 + t^2) = (2 - t)(2 + t)(4 + t^2)$. Zbir kvadrata, kao $4 + t^2$, ne možemo rastaviti na ovaj način.
- Kombinovanje i grupisanje
- Prvo izvučemo zajednički činilac, pa proverimo šta je ostalo u zagradi: $3y^3 - 12y = 3y(y^2 - 4) = 3y(y - 2)(y + 2)$ — rastav je završen tek kad se nijedan činilac ne može dalje rastaviti. Kad četiri člana nemaju zajednički činilac, grupišemo ih po dva: $mx + my + 2x + 2y = m(x + y) + 2(x + y) = (x + y)(m + 2)$.
Formule
| Oznaka | Šta znači | Jedinica |
|---|---|---|
| $A$, $B$, $C$ | monomi ili polinomi | — |
Rastav proveravamo množenjem.
| Oznaka | Šta znači | Jedinica |
|---|---|---|
| $A$, $B$ | činioci | — |
Jednačinu prvo svedemo na oblik „proizvod $= 0$“, a ne delimo nepoznatom.
Pitanja
Pitanje 1 od 10
1. Kako se rastavlja $x(y + 2) + 3(y + 2)$?
2. Šta znači rastaviti polinom na činioce?
3. Kako se rastavlja $x^2 - 64$?
4. Kako se rastavlja $a^2 + 12a + 36$?
5. Zašto jednačinu $x^2 = 9x$ ne rešavamo deljenjem sa $x$?
6. Koja su rešenja jednačine $(x - 2)(x + 5) = 0$?
7. Koji binom možemo rastaviti kao razliku kvadrata?
8. Šta je prvi korak kad rastavljamo $3x^2 - 27$?
9. Koji je najveći zajednički činilac monoma $15a^2b$ i $10ab^3$?
10. Kako proveravamo da li smo dobro rastavili polinom?
Rešeni zadaci
Kad broj kvadriramo, dobijemo isto kao kad ga pomnožimo sa $9$. Koji je to broj?
-
$x^2 = 9x \;\Rightarrow\; x^2 - 9x = 0$Sve prebacimo na levu stranu, desno ostaje nula.
-
$x(x - 9) = 0$Izvučemo zajednički činilac $x$.
-
$x = 0$ ili $x = 9$Proizvod je nula kad je bar jedan činilac nula. Provera: $0^2 = 9 \cdot 0$ i $9^2 = 9 \cdot 9$.
Rastavi na činioce: $8a^3b - 12a^2b^2$ i $p(q + 3) + 5(q + 3)$.
-
$8a^3b - 12a^2b^2 = 4a^2b(2a - 3b)$NZD koeficijenata je $4$; $a$ sa najmanjim izložiocem $a^2$, $b$ sa $b^1$.
-
$p(q + 3) + 5(q + 3) = (q + 3)(p + 5)$Zajednički činilac je binom $q + 3$.
Rastavi na činioce: $16a^2 - 1$ i $x^2 + 14x + 49$.
-
$16a^2 - 1 = (4a)^2 - 1^2 = (4a - 1)(4a + 1)$Razlika kvadrata.
-
$x^2 + 14x + 49 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 7 + 7^2 = (x + 7)^2$Srednji član je $2 \cdot x \cdot 7$.
Rastavi do kraja: $5x^3 - 45x$ i $ab + 2a + 5b + 10$.
-
$5x^3 - 45x = 5x(x^2 - 9) = 5x(x - 3)(x + 3)$Prvo zajednički činilac, pa razlika kvadrata.
-
$ab + 2a + 5b + 10 = a(b + 2) + 5(b + 2) = (b + 2)(a + 5)$Grupisanje po dva člana.
Reši jednačine $4z^2 - 25 = 0$, $\ x^2 - 8x + 16 = 0$ i $y^3 - 4y = 0$.
-
$(2z - 5)(2z + 5) = 0 \;\Rightarrow\; z = \frac{5}{2}$ ili $z = -\frac{5}{2}$Razlika kvadrata, pa proizvod jednak nuli.
-
$(x - 4)^2 = 0 \;\Rightarrow\; x = 4$Kvadrat binoma: jedno rešenje.
-
$y(y - 2)(y + 2) = 0 \;\Rightarrow\; y = 0, \ y = 2$ ili $y = -2$Tri činioca, pa tri rešenja.
Test
Kod računskih zadataka reši u svesci i upiši rezultat (decimalni broj sa zarezom, npr. 2,5), a kod ostalih izaberi tačan odgovor.
Izvuci najveći zajednički činilac polinoma $24b^{5} + 30b^{3}$ ispred zagrade (neka mu je koeficijent pozitivan). Koliki je slobodan član binoma koji ostaje u zagradi?
Reši jednačinu $16x^2 - 49 = 0$. Ako ima više rešenja, upiši sva, odvojena znakom ; (npr. −2; 3); ako je rešenje jedno, upiši samo njega.
Izračunaj napamet $17 \cdot 66 + 17 \cdot 34$.
Broj kvadratnih centimetara površine nekog kvadrata $10$ puta je veći od broja centimetara njegovog obima. Kolika je stranica tog kvadrata (u cm)?
Kako se rastavlja polinom $ab - 3a + 2b - 6$?
Bravo, čas je završen!
Želiš sertifikat? Napravi besplatan nalog, pa uradi test još jednom (treba bar 3 od 5 tačno). Rezultati se tada čuvaju, a sertifikat možeš da odštampaš ili podeliš.
Napravi besplatan nalogPohvali se i pozovi drugara:
Sledeći čas: 25. Mnogougao i njegove dijagonale — koliko je ukupno kuckanja čašama za okruglim stolom?