Kvadrat binoma i razlika kvadrata — za koliko raste kvadratna bašta?

Kvadrat binoma: kvadrat zbira (A + B)² = A² + 2AB + B² i kvadrat razlike (A − B)² = A² − 2AB + B² (i slika sa površinama); (A + B)² i A² + B² su različiti; razlika kvadrata A² − B² = (A + B)(A − B); monomi i koreni kao A i B; prepoznavanje kvadrata binoma; računanje napamet; primena u Pitagorinoj teoremi.

Nikola Stanković

Čas nije dostupan za štampu. Otvori ga na sajtu: https://dopetice.com/cas/241

Video

Kvadratna bašta ima stranicu x metara. Vlasnica produži svaku stranicu za 4 m. Komšija kaže: „Površina je porasla za 16 m².“ Da li je u pravu? Pogledaj video, pa nastavi čas.

Pojmovi

Najčešća greška: Komšija misli da je $(x + 4)^2 = x^2 + 16$, ali to obično nije tačno — nedostaje dvostruki proizvod. Proveri brojevima: $(5 + 2)^2 = 49$, a $5^2 + 2^2 = 29$; razlika je baš $2 \cdot 5 \cdot 2 = 20$. Jednakost $(A + B)^2 = A^2 + B^2$ važi samo kad je $A \cdot B = 0$. Isto tako $(A - B)^2$ u opštem slučaju nije $A^2 - B^2$.
Kvadrat zbira: Zamisli kvadrat stranice $p + q$: on se deli na kvadrat $p^2$, kvadrat $q^2$ i dva jednaka pravougaonika $p \cdot q$. Zato je $(p + q)^2 = p^2 + 2pq + q^2$ — isto dobijamo i množenjem „svaki sa svakim“. Za baštu: $(x + 4)^2 = x^2 + 8x + 16$ — porasla je za dve trake po $4x$ i kvadratić $16$. Kvadrat zbira ili razlike dva monoma zove se kvadrat binoma.
Računanje napamet: Broj blizu okruglog zapišemo kao zbir ili razliku: $51^2 = (50 + 1)^2 = 2\,500 + 100 + 1 = 2\,601$, a $98^2 = (100 - 2)^2 = 10\,000 - 400 + 4 = 9\,604$. Proizvod brojeva jednako udaljenih od okruglog broja je razlika kvadrata: $49 \cdot 51 = 50^2 - 1^2 = 2\,499$.
Kvadrat razlike: Isto množenje daje $(p - q)^2 = p^2 - 2pq + q^2$: srednji član je negativan, a kvadrati $p^2$ i $q^2$ ostaju sa znakom plus. Pošto suprotni brojevi imaju isti kvadrat, važi i $(q - p)^2 = (p - q)^2$, a $(-p - q)^2 = (p + q)^2$.
Razlika kvadrata: Pomnožimo zbir i razliku ista dva sabirka: $(m + n)(m - n) = m^2 - mn + nm - n^2$; srednji članovi se ponište i ostaje $m^2 - n^2$. Formula se koristi i obrnuto: $25 - x^2 = (5 - x)(5 + x)$. U Pitagorinoj teoremi: ako je hipotenuza $61$, a kateta $11$, druga kateta je $\sqrt{61^2 - 11^2} = \sqrt{(61 - 11)(61 + 11)} = \sqrt{50 \cdot 72} = \sqrt{3\,600} = 60$.
Monomi i koreni umesto A i B: Umesto $A$ i $B$ mogu da stoje monomi, stepeni ili koreni — samo ih stavimo u zagradu: $(2a + 5b)^2 = 4a^2 + 20ab + 25b^2$, $\ (x^2 - 3)^2 = x^4 - 6x^2 + 9$, $\ (\sqrt{6} + 2)(\sqrt{6} - 2) = 6 - 4 = 2$. Obrnuto, trinom je kvadrat binoma kad su prvi i poslednji član kvadrati, a srednji njihov dvostruki proizvod: $y^2 + 10y + 25 = y^2 + 2 \cdot y \cdot 5 + 5^2 = (y + 5)^2$.

Formule

Kvadrat binoma

(A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2, \qquad (A - B)^2 = A^2 - 2AB + B^2

Oznaka	Šta znači	Jedinica
$A$, $B$	monomi (ili brojevi)	—
$2AB$	dvostruki proizvod	—

$(A + B)^2 = A^2 + B^2$ važi samo kad je $AB = 0$.

Razlika kvadrata

A^2 - B^2 = (A + B)(A - B)

Oznaka	Šta znači	Jedinica
$A$, $B$	monomi (ili brojevi)	—

Važi u oba smera: proizvod zbira i razlike, ili rastavljanje razlike kvadrata.

Pitanja

Pitanje 1 od 10

1. Čemu je jednako $(x + 5)^2$?

2. Šta nedostaje u pogrešnoj jednakosti $(A + B)^2 = A^2 + B^2$?

3. Čemu je jednako $(y + 6)(y - 6)$?

4. Mika je napisao $(p - q)^2 = (q - p)^2$. Zašto je to tačno?

5. Koliko članova ima kvadrat binoma posle sređivanja (kad su $A$ i $B$ neslični monomi)?

6. Koliko je $(\sqrt{7} + 2)(\sqrt{7} - 2)$?

7. Koliko je $101 \cdot 99$?

8. Koliko je $30^2 - 29^2$?

9. Čemu je jednako $(-m - 2)^2$?

10. Stranica kvadrata $x$ produži se za $2$. Za koliko se poveća površina?

Rešeni zadaci

Zadatak 1

Kvadratna bašta ima stranicu $x$ m. Svaka stranica se produži za $4$ m. Za koliko se poveća površina? Koliko je to za $x = 12$?

$(x + 4)^2 - x^2 = x^2 + 8x + 16 - x^2 = 8x + 16$

Kvadrat zbira; $x^2$ se poništi.
$x = 12$: $\ 8 \cdot 12 + 16 = 112$ m²

Provera: $16^2 - 12^2 = 256 - 144 = 112$.

Odgovor: za $8x + 16$ m²; za $x = 12$ to je $112$ m²

Zadatak 2

Kvadriraj: $(2a + 5b)^2$ i $(x^2 - 3)^2$.

$(2a + 5b)^2 = (2a)^2 + 2 \cdot 2a \cdot 5b + (5b)^2 = 4a^2 + 20ab + 25b^2$

Monomi u zagradi, pa formula.
$(x^2 - 3)^2 = (x^2)^2 - 2 \cdot x^2 \cdot 3 + 3^2 = x^4 - 6x^2 + 9$

Stepen stepena: $(x^2)^2 = x^4$.

Odgovor: $4a^2 + 20ab + 25b^2$; $\ x^4 - 6x^2 + 9$

Zadatak 3

Izračunaj $(4y - 3)(4y + 3)$ i $(-3m + 1)(-3m - 1)$, pa rastavi na činioce $36 - z^2$.

$(4y - 3)(4y + 3) = (4y)^2 - 3^2 = 16y^2 - 9$

Proizvod razlike i zbira istih monoma.
$(-3m + 1)(-3m - 1) = (-3m)^2 - 1^2 = 9m^2 - 1$

Prvi monom je $-3m$; njegov kvadrat je pozitivan.
$36 - z^2 = 6^2 - z^2 = (6 - z)(6 + z)$

Razlika kvadrata, obrnuto.

Odgovor: $16y^2 - 9$; $\ 9m^2 - 1$; $\ (6 - z)(6 + z)$

Zadatak 4

Izračunaj napamet: $61^2$, $39 \cdot 41$ i $7{,}3^2 - 2{,}7^2$.

$61^2 = (60 + 1)^2 = 3\,600 + 120 + 1 = 3\,721$

Kvadrat zbira.
$39 \cdot 41 = (40 - 1)(40 + 1) = 1\,600 - 1 = 1\,599$

Razlika kvadrata.
$7{,}3^2 - 2{,}7^2 = (7{,}3 + 2{,}7)(7{,}3 - 2{,}7) = 10 \cdot 4{,}6 = 46$

Zbir je okrugao broj.

Odgovor: $3\,721$, $1\,599$, $46$

Test

Kod računskih zadataka reši u svesci i upiši rezultat (decimalni broj sa zarezom, npr. 2,5), a kod ostalih izaberi tačan odgovor.

Zadatak 1

Kvadriraj binom $7a + 2$. Koliki je koeficijent uz $a$ u dobijenom trinomu?

Zadatak 2

Izračunaj napamet $59 \cdot 61$ pomoću razlike kvadrata.

Zadatak 3

Oko kvadratnog cvetnjaka stranice $17$ m napravljena je staza široka $1$ m (sa sve četiri strane). Kolika je površina staze (u m²)?

Zadatak 4

Za koji pozitivan broj $k$ je trinom $x^2 + kx + 36$ kvadrat binoma?

Bravo, čas je završen!

—pitanja iz prve

—zadataka na testu

Želiš sertifikat? Napravi besplatan nalog, pa uradi test još jednom (treba bar 3 od 4 tačno). Rezultati se tada čuvaju, a sertifikat možeš da odštampaš ili podeliš.

Napravi besplatan nalog

Sledeći čas: 24. Rastavljanje polinoma na činioce — koji broj na kvadrat daje devet puta više od sebe?