Polinomi i računanje sa njima — kolika je ograda, a kolika površina bašte?

Polinom (binom, trinom), monom (koeficijent, stepen), slični i suprotni monomi; sređen polinom, stepen polinoma, slobodan član; množenje monoma, monoma i polinoma, dva polinoma (svaki sa svakim); sabiranje i oduzimanje polinoma (suprotan polinom, minus ispred zagrade).

Nikola Stanković

Čas nije dostupan za štampu. Otvori ga na sajtu: https://dopetice.com/cas/240

Video

Bašta ima oblik pravougaonika sa stranicama (x + 3) m i (2x − 1) m, a x još nije odlučeno. Koliko ograde treba oko bašte i kolika je njena površina — zapisano jednom formulom za svako x? Pogledaj video, pa nastavi čas.

Pojmovi

Polinomi iz bašte: Ograda bašte je $6x + 4$, a površina $2x^2 + 5x - 3$. Oba izraza su zbirovi sabiraka oblika „broj puta stepen promenljive“ — takvi sabirci su monomi, a njihov zbir je polinom (ceo algebarski izraz: nema deljenja izrazom koji sadrži promenljivu). Zbir dva neslična monoma je binom ($6x + 4$), a zbir tri neslična monoma trinom ($2x^2 + 5x - 3$).
Monom: Monom je proizvod broja i promenljivih sa prirodnim izložiocima, kao $-3x^2y$, $\ \frac{1}{2}ab$ ili samo broj $7$. Broj ispred promenljivih je koeficijent; ako ga ne vidimo, on je $1$: $x$ ima koeficijent $1$, a $-x$ koeficijent $-1$. Zbir izložilaca svih promenljivih je stepen monoma: $-3x^2y$ ima stepen $2 + 1 = 3$. Broj različit od nule je monom stepena $0$.
Sređen polinom: Monomi su slični kad imaju iste promenljive sa istim izložiocima i mogu da se razlikuju samo u koeficijentu; slični su i svi brojevi. Slične monome sabiramo tako što saberemo koeficijente, a izložilac ostaje: $x^2 + x^2 = 2x^2$, $\ \frac{1}{2}xy + \frac{1}{3}xy = \frac{5}{6}xy$. Polinom je sređen kad u njemu nema sličnih monoma; članove obično pišemo po opadajućim stepenima, npr. $2x^3 - x + 5$. Najveći stepen člana sređenog polinoma je stepen polinoma (ovde $3$), a član bez promenljive je slobodan član (ovde $5$).
Množenje monoma: Koeficijenti se množe, a izložioci iste promenljive se sabiraju, kao kod stepena iste osnove: $(-2x^2y) \cdot (5xy^3) = -10x^3y^4$. Pazi na razliku: pri sabiranju $x^2 + x^2 = 2x^2$ izložilac ostaje, a pri množenju $x^2 \cdot x^2 = x^4$ izložioci se sabiraju.
Množenje polinoma: Monom množi svaki član polinoma (distributivnost): $3x(2x - 5) = 6x^2 - 15x$. Dva polinoma množimo „svaki sa svakim“: svaki član prvog množi svaki član drugog, pa saberemo slične: $(x + 4)(3x - 2) = 3x^2 - 2x + 12x - 8 = 3x^2 + 10x - 8$. Binom puta binom daje četiri proizvoda pre sređivanja.
Sabiranje i oduzimanje polinoma: Polinome sabiramo tako što izostavimo zagrade i saberemo slične monome. Oduzeti polinom znači dodati polinom koji mu je suprotan — onaj kome je svaki član promenio znak: $(5x^2 - 2x) - (x^2 - 4x + 1) = 5x^2 - 2x - x^2 + 4x - 1 = 4x^2 + 2x - 1$. Isto važi i za minus ispred proizvoda: prvo pomnožimo, pa promenimo znak svakom dobijenom članu. Kad ima više zagrada, oslobađamo se prvo unutrašnjih.

Formule

Slični monomi

a x^n + b x^n = (a + b) x^n, \qquad a x^m \cdot b x^n = ab \, x^{m+n}

Oznaka	Šta znači	Jedinica
$a$, $b$	koeficijenti	—
$m$, $n$	izložioci	—

Pri sabiranju izložilac ostaje, pri množenju se izložioci sabiraju.

Množenje polinoma

A(B + C) = AB + AC, \qquad (A + B)(C + D) = AC + AD + BC + BD

Oznaka	Šta znači	Jedinica
$A$, $B$, $C$, $D$	monomi ili polinomi	—

Svaki član prve zagrade množi svaki član druge.

Oduzimanje

P - Q = P + (-Q)

Oznaka	Šta znači	Jedinica
$P$, $Q$	polinomi	—
$-Q$	suprotan polinom: svaki član promeni znak	—

Sabiramo samo slične monome.

Pitanja

Pitanje 1 od 10

1. Koliki je koeficijent monoma $-7a^3b$?

2. Koliki je stepen monoma $5p^2q^4$?

3. Koji je monom sličan monomu $3ab^2$?

4. Šta je binom?

5. Koji je polinom suprotan polinomu $2x - 5$?

6. Koliko je $x^2 + x^2$?

7. Šta se dešava sa izložiocima iste promenljive kad množimo monome?

8. Koliko proizvoda dobijamo pre sređivanja kad množimo $(a + b)(c + d + e)$?

9. Koliki je stepen polinoma $3x^4 - x^6 + 2x + 7$?

10. Koji je slobodan član polinoma $x^3 - 5x + 8$?

Rešeni zadaci

Zadatak 1

Bašta ima stranice $(x + 3)$ m i $(2x - 1)$ m. Zapiši obim i površinu kao sređene polinome i izračunaj ih za $x = 5$.

$O = 2(x + 3) + 2(2x - 1) = 2x + 6 + 4x - 2 = 6x + 4$

Monom $2$ množi svaki član zagrade, pa saberemo slične.
$P = (x + 3)(2x - 1) = 2x^2 - x + 6x - 3 = 2x^2 + 5x - 3$

Svaki sa svakim, pa sređivanje.
$x = 5$: $\ O = 6 \cdot 5 + 4 = 34$ m, $\ P = 2 \cdot 25 + 25 - 3 = 72$ m²

Provera: stranice su $8$ m i $9$ m, $8 \cdot 9 = 72$.

Odgovor: $O = 6x + 4$, $P = 2x^2 + 5x - 3$; za $x = 5$: $34$ m i $72$ m²

Zadatak 2

Sredi polinom $4a^2 - 3a + 2 - a^2 + 7a - 9$ i odredi mu stepen i slobodan član.

$(4a^2 - a^2) + (-3a + 7a) + (2 - 9)$

Grupišemo slične monome; brojevi su međusobno slični.
$= 3a^2 + 4a - 7$

Saberemo koeficijente.

Odgovor: $3a^2 + 4a - 7$; stepen $2$, slobodan član $-7$

Zadatak 3

Izračunaj $(a^2 + ab) - (3ab - b^2)$ i $3x(x - 2) - 2(x^2 - 5)$.

$a^2 + ab - 3ab + b^2 = a^2 - 2ab + b^2$

Svaki član druge zagrade menja znak; $ab$ i $-3ab$ su slični.
$3x^2 - 6x - 2x^2 + 10 = x^2 - 6x + 10$

Prvo množenje; minus ispred drugog proizvoda menja znak oba njegova člana.

Odgovor: $a^2 - 2ab + b^2$; $\ x^2 - 6x + 10$

Zadatak 4

Pomnoži: $(-4m^2n) \cdot (3mn^3)$ i $(2y - 3)(y^2 + y - 1)$.

$(-4m^2n) \cdot (3mn^3) = -12m^3n^4$

Koeficijenti se množe, izložioci se sabiraju.
$(2y - 3)(y^2 + y - 1) = 2y^3 + 2y^2 - 2y - 3y^2 - 3y + 3$

Svaki od $2$ člana množi svaki od $3$ člana: $6$ proizvoda.
$= 2y^3 - y^2 - 5y + 3$

Sređivanje.

Odgovor: $-12m^3n^4$; $\ 2y^3 - y^2 - 5y + 3$

Test

Kod računskih zadataka reši u svesci i upiši rezultat (decimalni broj sa zarezom, npr. 2,5), a kod ostalih izaberi tačan odgovor.

Zadatak 1

Izračunaj $(-x^{3} + 3x^{2} + 4x + 6) + (-2x^{2} + 2x - 5)$ i sredi rezultat. Koliki je koeficijent uz $x$?

Zadatak 2

Pomnoži monome $(-2p^{2}q) \cdot (-2p^{3}q)$. Koliki je stepen dobijenog monoma?

Zadatak 3

Prva bašta ima stranice $(x + 5)$ m i $(x + 1)$ m, a druga $(x + 3)$ m i $(x + 2)$ m. Razliku njihovih površina (prva minus druga) zapiši kao sređen polinom. Koliki je slobodan član?

Zadatak 4

Koja je od ovih jednakosti tačna za svako $x$?

Bravo, čas je završen!

—pitanja iz prve

—zadataka na testu

Želiš sertifikat? Napravi besplatan nalog, pa uradi test još jednom (treba bar 3 od 4 tačno). Rezultati se tada čuvaju, a sertifikat možeš da odštampaš ili podeliš.

Napravi besplatan nalog

Sledeći čas: 23. Kvadrat binoma i razlika kvadrata — za koliko raste kvadratna bašta?