Algebarski izrazi i njihova vrednost — koliko košta vožnja taksijem?
Brojevni i algebarski izraz, promenljiva; zapisivanje izraza zadatog rečima; racionalni algebarski izrazi; brojevna vrednost izraza (zamena promenljivih, negativni brojevi u zagradi, redosled računanja); izraz sa deljenjem nema vrednost kad je delilac nula.
Video
Pojmovi
- Promenljiva
- Cena vožnje zavisi od broja kilometara, a taj broj je svaki put drugi. Zato ga označimo slovom, npr. $k$, pa je cena $250 + 90k$ dinara. Slovo koje može da označava različite brojeve zove se promenljiva. Jedan zapis tako važi za sve vožnje odjednom.
- Brojevna vrednost izraza
- Kad svaku promenljivu zamenimo nekim brojem i izračunamo, dobijamo brojevnu vrednost izraza. Negativan broj i razlomak pišemo u zagradi: za $x = -2$ izraz $x^2 - 3x$ postaje $(-2)^2 - 3 \cdot (-2) = 4 + 6 = 10$. Bez zagrade bi $-2^2$ značilo $-(2^2) = -4$, a to nije kvadrat broja $-2$. Računamo redom: zagrade, stepeni, množenje i deljenje (sleva nadesno), pa sabiranje i oduzimanje (sleva nadesno).
- Od reči do izraza
- Opis rečima prevodimo deo po deo. „Zbir kvadrata brojeva $m$ i $n$“ je $m^2 + n^2$, a „kvadrat zbira“ je $(m + n)^2$ — redosled reči kaže šta se radi poslednje. „Broj za $3$ veći od $t$“ je $t + 3$, „dvostruki proizvod brojeva $p$ i $q$“ je $2pq$, a „trećina razlike brojeva $u$ i $v$“ je $\frac{u - v}{3}$.
- Kada izraz nema vrednost
- Nulom se ne deli. Zato izraz sa deljenjem nema vrednost za brojeve za koje je delilac jednak nuli: $\frac{x + 5}{x - 3}$ nema vrednost za $x = 3$, a za svaki drugi broj ima. Racionalni izraz u kome se ne deli promenljivom ima vrednost za svaki broj.
- Brojevni i algebarski izraz
- Brojevi povezani znacima računskih operacija čine brojevni izraz, npr. $(-3)^2 \cdot 2 - 7 : 0{,}5$. Kad se u izrazu, pored brojeva, javljaju i promenljive, to je algebarski izraz: $250 + 90k$, $\ a(a + 3)$, $\ x^2 - 2xy$. Zagrade određuju šta se računa prvo, kao i kod brojeva.
- Racionalni algebarski izrazi
- Brojevi i promenljive su racionalni algebarski izrazi, a ako su $A$ i $B$ racionalni izrazi, onda su to i $A + B$, $A - B$, $A \cdot B$ i $A : B$. Dakle, u njima se koriste samo sabiranje, oduzimanje, množenje i deljenje (pa i stepenovanje prirodnim brojem, jer je to množenje): $3x - 1$, $\ \frac{x + 1}{x - 4}$, $\ 0{,}5ab^2$. Izrazi u kojima je promenljiva pod korenom ili u apsolutnoj vrednosti, kao $\sqrt{x} + 1$ ili $|t| + 4$, nisu racionalni.
Formule
| Oznaka | Šta znači | Jedinica |
|---|---|---|
| $(\;)$ | zagrade | — |
| $a^n$ | stepeni | — |
| $\cdot$, $:$ | množenje i deljenje, sleva nadesno | — |
| $+$, $-$ | sabiranje i oduzimanje, sleva nadesno | — |
Negativan broj koji uvrštavamo pišemo u zagradi: $(-2)^2 = 4$, a $-2^2 = -4$.
| Oznaka | Šta znači | Jedinica |
|---|---|---|
| $A$, $B$ | algebarski izrazi | — |
Npr. $\frac{x + 5}{x - 3}$ nema vrednost za $x = 3$.
Pitanja
Pitanje 1 od 10
1. Koji od ovih izraza je algebarski, a nije brojevni?
2. Kako se zapisuje „kvadrat razlike brojeva $c$ i $d$“?
3. Kako se zapisuje „broj za $4$ manji od trostrukog broja $x$“?
4. Koji izraz NIJE racionalan algebarski izraz?
5. Kako izgleda ispravna zamena $x = -4$ u izrazu $x^2 - x$?
6. Koliko je $-x^2$ za $x = -3$?
7. Šta je $k$ u izrazu $250 + 90k$ za cenu vožnje taksijem?
8. Koliko je $2 + 3 \cdot 4^2$?
9. Kako se zapisuje „polovina zbira broja $k$ i broja $6$“?
10. Koji izrazi su racionalni algebarski izrazi?
Rešeni zadaci
Taksi naplaćuje $250$ dinara na polasku i $90$ dinara po kilometru. Napiši izraz za cenu vožnje od $k$ kilometara i izračunaj cenu vožnje od $7{,}5$ km i od $12$ km.
-
$250 + 90k$Početna cena plus $90$ dinara za svaki kilometar.
-
$k = 7{,}5$: $\ 250 + 90 \cdot 7{,}5 = 250 + 675 = 925$ dinPrvo množenje, pa sabiranje.
-
$k = 12$: $\ 250 + 90 \cdot 12 = 250 + 1\,080 = 1\,330$ dinIsti izraz, druga vrednost promenljive.
Zapiši izraz: „razlika kuba broja $a$ i dvostrukog broja $b$, podeljena zbirom brojeva $a$ i $b$“. Kada taj izraz nema vrednost?
-
$a^3 - 2b$Razlika kuba broja $a$ i dvostrukog broja $b$.
-
$\frac{a^3 - 2b}{a + b}$Cela razlika se deli zbirom, pa razlomačka crta obuhvata oba dela.
-
$a + b = 0$Nema vrednost kad je delilac nula, npr. za $a = 2$, $b = -2$.
Izračunaj vrednost izraza $2a^2 - 3ab + b^3$ za $a = -3$ i $b = 2$.
-
$2 \cdot (-3)^2 - 3 \cdot (-3) \cdot 2 + 2^3$Zamena; negativan broj u zagradi.
-
$= 2 \cdot 9 - (-18) + 8$Stepeni i proizvodi: $3 \cdot (-3) \cdot 2 = -18$.
-
$= 18 + 18 + 8 = 44$Oduzeti $-18$ znači dodati $18$.
Izračunaj vrednost izraza $\frac{x^2 - 1}{2x + 3}$ za $x = \frac{1}{2}$ i odredi za koje $x$ izraz nema vrednost.
-
$\frac{\left(\frac{1}{2}\right)^2 - 1}{2 \cdot \frac{1}{2} + 3} = \frac{\frac{1}{4} - 1}{1 + 3} = \frac{-\frac{3}{4}}{4} = -\frac{3}{16}$Brojilac i imenilac posebno.
-
$2x + 3 = 0 \;\Rightarrow\; x = -\frac{3}{2}$Imenilac ne sme biti nula.
Test
Kod računskih zadataka reši u svesci i upiši rezultat (decimalni broj sa zarezom, npr. 2,5), a kod ostalih izaberi tačan odgovor.
Izračunaj brojevnu vrednost izraza $5x^2 + 2xy - 4y^2$ za $x = -2$ i $y = 5$.
Izraz je zadat rečima: broj za $5$ manji od proizvoda brojeva $x$ i $y$. Kolika je njegova vrednost za $x = -3$ i $y = 5$?
Izračunaj vrednost izraza $\frac{x^2 + 2}{2x - 4}$ za $x = \frac{2}{3}$. Odgovor upiši kao skraćen razlomak.
Za koji broj $x$ izraz $\frac{x + 1}{2x - 8}$ nema vrednost?
Bravo, čas je završen!
Želiš sertifikat? Napravi besplatan nalog, pa uradi test još jednom (treba bar 3 od 4 tačno). Rezultati se tada čuvaju, a sertifikat možeš da odštampaš ili podeliš.
Napravi besplatan nalogPohvali se i pozovi drugara:
Sledeći čas: 22. Polinomi i računanje sa njima — kolika je ograda, a kolika površina bašte?