Stepenovanje prirodnim brojem — koliko je debeo presavijen papir?
Stepen aⁿ kao proizvod n jednakih činilaca: osnova, izložilac, čitanje, a¹ = a, aⁿ⁺¹ = aⁿ · a; 0ⁿ = 0, 1ⁿ = 1, (−1)ⁿ; znak stepena (paran i neparan izložilac); −aⁿ i (−a)ⁿ; stepen razlomka, decimalnog broja i korena; upoređivanje stepena (|a| < 1, |a| > 1, |a| < |b|).
Video
Pojmovi
- Stepen — kraći zapis proizvoda
- Kvadrat broja već znaš: $a^2 = a \cdot a$. Sada izložilac može biti bilo koji prirodan broj: proizvod $n$ jednakih činilaca $a$ zapisujemo kao $a^n$. Na primer, sedam presavijanja papira daje $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^7 = 128$ slojeva. Broj $a$ je osnova, prirodan broj $n$ je izložilac (eksponent), a $a^n$ je stepen; čitamo „$a$ na $n$-ti“, a $a^3$ je i kub broja $a$. Računanje stepena zove se stepenovanje. Kad je $n = 1$, nema množenja: $a^1 = a$.
- Stepen nije proizvod osnove i izložioca
- $2^6 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 64$, a $2 \cdot 6 = 12$. Kad osnova i izložilac zamene mesta, obično se dobije drugi broj: $6^2 = 36$, a $2^6 = 64$. Svaki sledeći stepen je prethodni pomnožen osnovom: $a^{n+1} = a^n \cdot a$, pa je $2^7 = 64 \cdot 2 = 128$.
- Nula, jedan i minus jedan
- Koliko god puta množili nulu, dobijamo nulu, a jedinicu — jedinicu: $0^n = 0$ i $1^n = 1$ za svaki prirodan broj $n$. Stepeni broja $-1$ se smenjuju: $-1, 1, -1, 1, \ldots$ Kad je izložilac paran, $(-1)^n = 1$, a kad je neparan, $(-1)^n = -1$; na primer $(-1)^{40} = 1$ i $(-1)^{41} = -1$.
- Znak stepena i zagrada
- Paran broj negativnih činilaca daje pozitivan proizvod, a neparan negativan. Zato stepen sa parnim izložiocem nikad nije negativan, a stepen sa neparnim izložiocem ima znak osnove: $(-2)^6 = 64$, a $(-2)^7 = -128$. U zapisu $-4^2$ stepenuje se samo četvorka: $-4^2 = -16$, a u $(-4)^2$ ceo broj $-4$: $(-4)^2 = 16$. Stepen se računa pre množenja, deljenja, sabiranja i oduzimanja: $3 \cdot 2^3 = 24$, a ne $6^3$.
- Razlomci, decimalni brojevi i koreni
- Kod razlomka se stepenuju i brojilac i imenilac: $\left(\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{9}{16}$. Stepen decimalnog broja ima onoliko decimala koliko ih ima osnova, pomnoženo izložiocem: $0{,}2$ ima jednu decimalu, pa $0{,}2^3$ ima $1 \cdot 3 = 3$ decimale ($0{,}008$). I koren se stepenuje: $(\sqrt{3})^4 = \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 3 \cdot 3 = 9$, a $(\sqrt{5})^3 = 5\sqrt{5}$.
- Upoređivanje stepena
- Neka je $n > 1$. Ako je $0 < |a| < 1$, onda je $|a^n| < |a|$: množenje brojem manjim od $1$ smanjuje ($0{,}5^2 = 0{,}25$). Ako je $|a| > 1$, onda je $|a^n| > |a|$ ($1{,}1^2 = 1{,}21$). Za dve osnove sa istim izložiocem: ako je $|a| < |b|$, onda je $|a^n| < |b^n|$, na primer $2{,}5^3 < 3^3$, jer je $2{,}5 < 3$. Jedan primer ne dokazuje tvrdnju, ali jedan kontraprimer je obara: $a^2 = a$ ne važi za svako $a$, jer je $3^2 = 9$.
Formule
| Oznaka | Šta znači | Jedinica |
|---|---|---|
| $a$ | osnova | — |
| $n$ | izložilac (prirodan broj) | — |
$0^n = 0$, $\ 1^n = 1$.
| Oznaka | Šta znači | Jedinica |
|---|---|---|
| $n$ | izložilac | — |
$-a^n$ znači $-(a^n)$: stepenuje se samo $a$.
| Oznaka | Šta znači | Jedinica |
|---|---|---|
| $n$ | prirodan broj | — |
Za $n > 1$: ako je $0 < |a| < 1$, onda $|a^n| < |a|$; ako je $|a| > 1$, onda $|a^n| > |a|$.
Pitanja
Pitanje 1 od 10
1. Šta je osnova stepena $9^4$?
2. Koliko je $6^3$?
3. Koliko je $(-1)^{17}$?
4. Kakav je znak broja $(-7)^{12}$?
5. Koliko je $-3^2$?
6. Koliko decimala ima broj $0{,}3^5$?
7. Koliko je $0^9$?
8. Kada je $|a^n| < |a|$ (za $n > 1$)?
9. Ako je $7^3 = 343$, koliko je $7^4$?
10. Kako se kraće zapisuje proizvod $(-3) \cdot (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) \cdot (-3)$?
Rešeni zadaci
Zamisli list papira debeo $0{,}1$ mm koji presavijemo na pola sedam puta zaredom. Koliko slojeva ima i koliko je debeo (pregibe ne računamo)?
-
$2, \ 4, \ 8, \ 16, \ 32, \ 64, \ 128$Svako presavijanje udvostruči broj slojeva.
-
$2^7 = 128$ slojevaSedam presavijanja: sedam činilaca $2$.
-
$128 \cdot 0{,}1 = 12{,}8$ mmSvaki sloj je debeo $0{,}1$ mm.
Izračunaj $(-5)^4$, $-5^4$ i $(-5)^3$.
-
$(-5)^4 = (-5) \cdot (-5) \cdot (-5) \cdot (-5) = 625$Četiri negativna činioca: proizvod je pozitivan.
-
$-5^4 = -(5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5) = -625$Bez zagrade se stepenuje samo $5$.
-
$(-5)^3 = (-5) \cdot (-5) \cdot (-5) = -125$Tri negativna činioca: proizvod je negativan.
Izračunaj $\left(-\frac{2}{5}\right)^3$, $0{,}3^4$ i $(\sqrt{2})^6$.
-
$\left(-\frac{2}{5}\right)^3 = -\frac{2^3}{5^3} = -\frac{8}{125}$Neparan izložilac čuva minus; stepenuju se brojilac i imenilac.
-
$0{,}3^4 = 0{,}0081$$3^4 = 81$, a decimala ima $1 \cdot 4 = 4$.
-
$(\sqrt{2})^6 = (\sqrt{2} \cdot \sqrt{2})^3 = 2^3 = 8$Svaka dva činioca $\sqrt{2}$ daju $2$; šest činilaca su tri para.
Izračunaj $2 \cdot (-3)^3 - (-4)^2 + (-1)^{20} \cdot 5$.
-
$(-3)^3 = -27$, $\ (-4)^2 = 16$, $\ (-1)^{20} = 1$Prvo stepeni.
-
$2 \cdot (-27) - 16 + 1 \cdot 5 = -54 - 16 + 5$Zatim množenje.
-
$-54 - 16 + 5 = -65$Na kraju sabiranje i oduzimanje.
Uporedi $0{,}9^5$ i $0{,}9^4$, zatim $(-3)^6$ i $(-3)^5$, pa $2{,}5^3$ i $3^3$.
-
$0{,}9^5 = 0{,}9^4 \cdot 0{,}9 < 0{,}9^4$Množenjem brojem između $0$ i $1$ pozitivan broj se smanjuje.
-
$(-3)^6 > 0 > (-3)^5$Paran izložilac daje pozitivan, a neparan negativan broj.
-
$2{,}5^3 < 3^3$Isti izložilac, a $2{,}5 < 3$; provera: $15{,}625 < 27$.
Test
Kod računskih zadataka reši u svesci i upiši rezultat (decimalni broj sa zarezom, npr. 2,5), a kod ostalih izaberi tačan odgovor.
Izračunaj vrednost izraza $8^{2} - (-4)^{3} + (-1)^{16}$.
Izračunaj $1{,}3^{3}$.
Za koji prirodan broj $n$ važi $2^{n} = 1\,024$?
Svaka bakterija se na svakih $30$ minuta podeli na tri. Koliko bakterija nastane od dve bakterije za $3$ sata?
Koji je od brojeva $0{,}8^3$, $0{,}8^2$, $0{,}8$ i $1$ najmanji?
Bravo, čas je završen!
Želiš sertifikat? Napravi besplatan nalog, pa uradi test još jednom (treba bar 3 od 5 tačno). Rezultati se tada čuvaju, a sertifikat možeš da odštampaš ili podeliš.
Napravi besplatan nalogPohvali se i pozovi drugara:
Sledeći čas: 19. Operacije sa stepenima — koliko filmova staje u telefon?