Rastojanje dve tačke u koordinatnoj ravni — koliko daleko leti dron?
Kosa duž kao hipotenuza pravouglog trougla čije su katete razlike koordinata; rastojanje je koren iz zbira kvadrata razlika koordinata; tačke sa istom x- ili y-koordinatom; znakovi pri oduzimanju; rastojanje od koordinatnog početka √(x² + y²); obim i vrsta trougla iz koordinata temena.
Video
Pojmovi
- Kosa duž kao hipotenuza
- Dron leti pravo, koso u odnosu na ulice. Njegov put od $A(x_A, y_A)$ do $B(x_B, y_B)$ možemo zameniti putem u dva dela: prvo vodoravno do pomoćne tačke $S(x_B, y_A)$, pa uspravno do $B$. Trougao $ASB$ ima prav ugao kod $S$, njegove katete su razlike koordinata, $|x_B - x_A|$ i $|y_B - y_A|$, a let drona $AB$ je hipotenuza.
- Formula za rastojanje
- Po Pitagorinoj teoremi je $AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$. Apsolutne vrednosti nisu potrebne, jer broj i njemu suprotan broj imaju isti kvadrat: $(-7)^2 = 7^2$. Zato nije važno ni da li računamo $x_B - x_A$ ili $x_A - x_B$.
- Kad je jedna razlika nula
- Formula važi i kad tačke imaju istu $y$-koordinatu: tada je $(y_B - y_A)^2 = 0$, pa ostaje $AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2} = |x_B - x_A|$. Za $(-6, 4)$ i $(9, 4)$ to je $|9 - (-6)| = 15$. Isto tako, za tačke sa istom $x$-koordinatom, kao $(2, -7)$ i $(2, 5)$, rastojanje je $|5 - (-7)| = 12$.
- Pazi na znakove
- Negativnu koordinatu koju oduzimamo stavimo u zagradu. Za $A(-4, 6)$ i $B(2, -3)$: $x_B - x_A = 2 - (-4) = 6$, $\ y_B - y_A = -3 - 6 = -9$, pa je $AB = \sqrt{36 + 81} = \sqrt{117} = 3\sqrt{13}$. Najčešća greška je $2 - 4 = -2$ umesto $2 - (-4) = 6$.
- Rastojanje od koordinatnog početka
- Koordinatni početak je $O(0, 0)$, pa za tačku $T(x, y)$ formula postaje $OT = \sqrt{x^2 + y^2}$. Na primer, tačka $(20, -99)$ je od početka udaljena $\sqrt{400 + 9\,801} = \sqrt{10\,201} = 101$. Promena znaka koordinate ne menja njen kvadrat, pa su tačke $(a, b)$, $(-a, b)$, $(a, -b)$ i $(-a, -b)$ jednako daleko od početka.
- Trougao zadat temenima
- Kad su data tri temena, formulom izračunamo sve tri stranice. Tada znamo obim i vidimo da li je trougao jednakokraki. Vrstu po uglovima određujemo poređenjem kvadrata: ako je kvadrat najduže stranice jednak zbiru kvadrata druge dve, trougao je pravougli; ako je veći, tupougli; ako je manji, oštrougli.
Formule
| Oznaka | Šta znači | Jedinica |
|---|---|---|
| $x_A$, $y_A$ | koordinate tačke $A$ | — |
| $x_B$, $y_B$ | koordinate tačke $B$ | — |
Ista $y$-koordinata: $AB = |x_B - x_A|$; ista $x$-koordinata: $AB = |y_B - y_A|$.
| Oznaka | Šta znači | Jedinica |
|---|---|---|
| $x$, $y$ | koordinate tačke $T$ | — |
$O(0, 0)$ je koordinatni početak.
Pitanja
Pitanje 1 od 10
1. Koliko je rastojanje između tačaka $(-5, 3)$ i $(7, 3)$?
2. Koja formula daje rastojanje tačaka $A(x_A, y_A)$ i $B(x_B, y_B)$?
3. Koliko je tačka $T(x, y)$ udaljena od koordinatnog početka?
4. Zašto u formuli smemo da računamo i $x_A - x_B$ umesto $x_B - x_A$?
5. U trouglu $ASB$, gde je $S(x_B, y_A)$, šta je duž $AB$?
6. U kom temenu je prav ugao trougla $ASB$, ako je $S(x_B, y_A)$?
7. Koliko su udaljene tačke $(0, -8)$ i $(0, 7)$?
8. Kada je trougao zadat temenima pravougli?
9. Koja od ovih tačaka je najbliža koordinatnom početku?
10. Rastojanje tačaka je $\sqrt{50}$. Kako se to kraće zapisuje?
Rešeni zadaci
Na mapi grada jedan podeok je $100$ m. Apoteka je u tački $A(-5, -8)$, a bolnica u tački $B(28, 48)$. Koliko je dug let drona pravo od apoteke do bolnice, a koliko put ulicama (samo vodoravno i uspravno)?
-
$x_B - x_A = 28 - (-5) = 33$, $\ y_B - y_A = 48 - (-8) = 56$Katete pravouglog trougla.
-
$AB = \sqrt{33^2 + 56^2} = \sqrt{1\,089 + 3\,136} = \sqrt{4\,225} = 65$Let drona je hipotenuza: $65$ podeoka.
-
$65 \cdot 100$ m $= 6\,500$ m $= 6{,}5$ kmJedan podeok je $100$ m.
-
$(33 + 56) \cdot 100$ m $= 8\,900$ m $= 8{,}9$ kmUlicama se ide po obe katete.
Izračunaj rastojanje između tačaka $A(-2, 7)$ i $B(5, -4)$.
-
$x_B - x_A = 5 - (-2) = 7$, $\ y_B - y_A = -4 - 7 = -11$Pazi na znakove.
-
$AB = \sqrt{7^2 + (-11)^2} = \sqrt{49 + 121} = \sqrt{170}$Kvadrat negativnog broja je pozitivan.
-
$\sqrt{170} \approx 13{,}04$$170 = 2 \cdot 5 \cdot 17$ nema činilac koji je kvadrat, pa se koren ne može uprostiti.
Trougao ima temena $P(-3, -1)$, $Q(5, -1)$ i $R(1, 6)$. Da li je jednakokraki? Koliki mu je obim?
-
$PQ = |5 - (-3)| = 8$$P$ i $Q$ imaju istu $y$-koordinatu.
-
$PR = \sqrt{4^2 + 7^2} = \sqrt{65}$, $\ QR = \sqrt{(-4)^2 + 7^2} = \sqrt{65}$Razlike koordinata su katete.
-
$O = 8 + 2\sqrt{65} \approx 24{,}12$$PR = QR$, pa je trougao jednakokraki sa osnovicom $PQ$.
Da li je trougao sa temenima $A(-2, -1)$, $B(2, 1)$ i $C(-1, 7)$ pravougli?
-
$AB^2 = 4^2 + 2^2 = 20$, $\ BC^2 = (-3)^2 + 6^2 = 45$, $\ AC^2 = 1^2 + 8^2 = 65$Kvadrati stranica (bez korena je lakše).
-
$20 + 45 = 65$Kvadrat najduže stranice jednak je zbiru kvadrata druge dve.
-
prav ugao je kod temena $B$Naspram najduže stranice $AC$ je prav ugao.
Test
Kod računskih zadataka reši u svesci i upiši rezultat (decimalni broj sa zarezom, npr. 2,5), a kod ostalih izaberi tačan odgovor.
Koliko je rastojanje između tačaka $A(-7, 10)$ i $B(38, -18)$?
Duž $AB$, gde je $A(-4, 4)$ i $B(-7, -1)$, stranica je kvadrata. Kolika je površina tog kvadrata?
Izračunaj obim trougla sa temenima $A(-8, -12)$, $B(-85, -12)$ i $C(-85, -48)$.
Trougao ima temena $K(0, 6)$, $L(-2, 1)$ i $M(-7, 3)$. Kakav je to trougao?
Bravo, čas je završen!
Želiš sertifikat? Napravi besplatan nalog, pa uradi test još jednom (treba bar 3 od 4 tačno). Rezultati se tada čuvaju, a sertifikat možeš da odštampaš ili podeliš.
Napravi besplatan nalogPohvali se i pozovi drugara:
Sledeći čas: 18. Stepenovanje prirodnim brojem — koliko je debeo presavijen papir?