Koreni na brojevnoj pravoj — kako kredom obeležiti tačno √10?

Konstrukcija duži dužine √n kao hipotenuze ili katete pravouglog trougla: n = a² + b², n = c² − a², korak po korak od √n i 1 do √(n + 1); a√b = √(a²b); prenošenje šestarom na brojevnu pravu (√n, −√n, k ± √n, iz već konstruisane tačke); provera položaja preko susednih kvadrata.

Nikola Stanković

Čas nije dostupan za štampu. Otvori ga na sajtu: https://dopetice.com/cas/234

Video

Na školskom dvorištu je kredom nacrtana brojevna prava sa korakom od jednog metra. Učenici treba da obeleže tačku √10, a imaju samo kanap, kredu i veliki trougaoni lenjir. Kalkulator kaže 3,1622…, ali te decimale se nikad ne završavaju. Kako da tačku pogode tačno? Pogledaj video, pa nastavi čas.

Pojmovi

Koren kao dužina duži: Broj $\sqrt{10} = 3{,}1622\ldots$ ima beskonačno mnogo decimala koje se ne ponavljaju, pa duž te dužine ne možemo tačno odmeriti lenjirom. Ali možemo je tačno nacrtati: to je hipotenuza pravouglog trougla sa katetama $3$ i $1$, jer je $3^2 + 1^2 = 10$. Treba nam samo lenjir, prav ugao i šestar — bez ijedne decimale.
Zbir dva kvadrata: Ako se $n$ može zapisati kao $a^2 + b^2$, gde su $a$ i $b$ prirodni brojevi, onda je duž dužine $\sqrt{n}$ hipotenuza trougla sa katetama $a$ i $b$. Na primer, $34 = 5^2 + 3^2$, $40 = 6^2 + 2^2$, $45 = 6^2 + 3^2$. Tako konstruišemo i broj oblika $a\sqrt{b}$: $3\sqrt{5} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{45}$. Neki brojevi nemaju takav zapis — $7$, $11$, $15$, $19$ nisu zbir kvadrata dva prirodna broja — pa za njih koristimo jedan od sledeća dva načina.
Razlika dva kvadrata: Ako je $n = c^2 - a^2$, onda je duž dužine $\sqrt{n}$ kateta trougla sa hipotenuzom $c$ i drugom katetom $a$, jer je $a^2 + (\sqrt{n})^2 = c^2$. Na primer, $24 = 7^2 - 5^2$ i $19 = 10^2 - 9^2$. Nacrtamo katetu $a$ i u jednom njenom kraju normalu. Šestar otvoren na $c$ zabodemo u drugi kraj katete (onaj u kome nema normale) i presečemo normalu: deo normale od temena pravog ugla do preseka je duž $\sqrt{n}$.
Korak po korak: Ako već imamo duž $\sqrt{n}$, na njen kraj pod pravim uglom nadovežemo duž $1$. Hipotenuza je $\sqrt{n + 1}$, jer je $(\sqrt{n})^2 + 1^2 = n + 1$. Tako se od $\sqrt{22}$ stiže do $\sqrt{23}$, pa do $\sqrt{24}$ i dalje — do korena bilo kog prirodnog broja. Kad se tako krene od trougla sa katetama $1$ i $1$, trouglovi se slažu oko zajedničkog temena u spiralu, koja se zove Teodorova spirala.
Prenošenje na brojevnu pravu: Šestar otvorimo na dužinu duži $\sqrt{n}$ i zabodemo ga u nulu: luk seče pravu desno u tački $\sqrt{n}$, a levo u tački $-\sqrt{n}$. Ako šestar zabodemo u tačku $k$, desno dobijamo $k + \sqrt{n}$, a levo $k - \sqrt{n}$. Šestar možemo zabosti i u već konstruisanu tačku: iz tačke $\sqrt{10}$ luk dužine $\sqrt{22}$ udesno daje tačku $\sqrt{10} + \sqrt{22}$.
Provera položaja: Pre crtanja proverimo gde tačka treba da padne. Za $\sqrt{34}$: $25 < 34 < 36$, pa je $5 < \sqrt{34} < 6$. Za $-1 - \sqrt{34}$ od $-1$ idemo levo između $5$ i $6$ koraka, pa je tačka između $-7$ i $-6$. Ako crtež pokaže nešto drugo, negde je greška.

Formule

Koren kao hipotenuza

n = a^2 + b^2 \;\Rightarrow\; \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{n}

Oznaka	Šta znači	Jedinica
$n$	prirodan broj	—
$a$, $b$	katete (prirodni brojevi)	—
$\sqrt{n}$	hipotenuza	—

$a\sqrt{b} = \sqrt{a^2 b}$.

Koren kao kateta

n = c^2 - a^2 \;\Rightarrow\; a^2 + (\sqrt{n})^2 = c^2

Oznaka	Šta znači	Jedinica
$n$	prirodan broj	—
$c$	hipotenuza	—
$a$	kateta	—

Šestar u tački $k$: desno $k + \sqrt{n}$, levo $k - \sqrt{n}$.

Korak po korak

\sqrt{(\sqrt{n})^2 + 1^2} = \sqrt{n + 1}

Oznaka	Šta znači	Jedinica
$n$	prirodan broj	—

Katete $\sqrt{n}$ i $1$ daju hipotenuzu $\sqrt{n + 1}$.

Pitanja

Pitanje 1 od 10

1. Koja teorema nam omogućava da konstruišemo duž dužine $\sqrt{n}$?

2. Koje katete daju hipotenuzu $\sqrt{53}$?

3. Koji od ovih brojeva NIJE zbir kvadrata dva prirodna broja?

4. Zašto se duž $\sqrt{15}$ ne može dobiti kao hipotenuza trougla sa prirodnim katetama?

5. Katete pravouglog trougla su $\sqrt{30}$ i $1$. Kolika je hipotenuza?

6. Gde zabadamo šestar da bismo obeležili tačku $4 - \sqrt{26}$?

7. Gde se nalazi tačka $-\sqrt{40}$?

8. Pravougli trougao ima katete $4$ i $4$. Kolika mu je hipotenuza?

9. Zašto nam za tačku $\sqrt{10}$ ne pomaže decimalni zapis $3{,}1622\ldots$?

10. Od duži $\sqrt{17}$ crtamo trouglove korak po korak, uvek sa drugom katetom $1$. Koliko trouglova treba do duži $\sqrt{21}$?

Rešeni zadaci

Zadatak 1

Na brojevnoj pravoj konstruiši tačku koja odgovara broju $\sqrt{37}$.

$37 = 36 + 1 = 6^2 + 1^2$

Tražimo dva kvadrata čiji je zbir $37$.
kateta od $0$ do $6$ na pravoj, u tački $6$ normala dužine $1$

Druga kateta je normalna na prvu.
$\sqrt{6^2 + 1^2} = \sqrt{37}$

Hipotenuza počinje u nuli; šestar u $0$, luk desno do prave.
$36 < 37 < 49 \;\Rightarrow\; 6 < \sqrt{37} < 7$

Provera: tačka mora biti između $6$ i $7$.

Odgovor: tačka $\sqrt{37}$, između $6$ i $7$

Zadatak 2

Konstruiši duž dužine $\sqrt{11}$ cm.

$11 = 36 - 25 = 6^2 - 5^2$

$11$ nije zbir dva kvadrata, ali jeste razlika.
kateta $5$ cm, u jednom njenom kraju normala

Na normali će biti tražena duž.
šestar otvoren na $6$ cm iz drugog kraja katete seče normalu

Tako dobijamo hipotenuzu $6$ cm.
$5^2 + (\sqrt{11})^2 = 25 + 11 = 36 = 6^2$

Deo normale od temena pravog ugla do preseka je duž $\sqrt{11}$ cm.

Odgovor: kateta trougla sa hipotenuzom $6$ cm i katetom $5$ cm

Zadatak 3

Na brojevnoj pravoj konstruiši tačku $2 - \sqrt{10}$.

$10 = 3^2 + 1^2$

Duž $\sqrt{10}$ je hipotenuza trougla sa katetama $3$ i $1$.
šestar otvoren na $\sqrt{10}$, zaboden u tačku $2$, luk levo

Oduzimanje je pomeranje ulevo.
$3 < \sqrt{10} < 4 \;\Rightarrow\; -2 < 2 - \sqrt{10} < -1$

Provera položaja.

Odgovor: tačka $2 - \sqrt{10}$, između $-2$ i $-1$

Zadatak 4

Na brojevnoj pravoj konstruiši tačku $2\sqrt{5}$.

$2\sqrt{5} = \sqrt{4 \cdot 5} = \sqrt{20}$

Broj ispred korena unesemo pod koren kao kvadrat.
$20 = 4^2 + 2^2$

Katete su $4$ i $2$.
šestar u $0$, otvoren na hipotenuzu, luk desno

Hipotenuza ima dužinu $\sqrt{20} = 2\sqrt{5}$.
$16 < 20 < 25 \;\Rightarrow\; 4 < 2\sqrt{5} < 5$

Provera položaja.

Odgovor: tačka $2\sqrt{5}$, između $4$ i $5$

Test

Kod računskih zadataka reši u svesci i upiši rezultat (decimalni broj sa zarezom, npr. 2,5), a kod ostalih izaberi tačan odgovor.

Zadatak 1

Tačku $\sqrt{137}$ na brojevnoj pravoj konstruišemo pomoću pravouglog trougla čija je hipotenuza $\sqrt{137}$ i čije su katete prirodni brojevi. Kolike su te katete? Upiši oba broja, odvojena znakom ; (npr. 2; 7).

Zadatak 2

Duž dužine $\sqrt{48}$ cm dobijamo kao katetu pravouglog trougla čija je hipotenuza $8$ cm. Koliko centimetara mora da ima druga kateta?

Zadatak 3

Na brojevnoj pravoj je konstruisana tačka $3 + \sqrt{53}$. Između koja dva uzastopna cela broja se nalazi? Upiši oba broja, odvojena znakom ; (npr. −3; −2).

Zadatak 4

Šestar je zaboden u tačku $-1$ i otvoren na dužinu hipotenuze pravouglog trougla sa katetama $5$ i $4$. Luk seče pravu desno od tačke $-1$. Kom broju odgovara presečna tačka?

Bravo, čas je završen!

—pitanja iz prve

—zadataka na testu

Želiš sertifikat? Napravi besplatan nalog, pa uradi test još jednom (treba bar 3 od 4 tačno). Rezultati se tada čuvaju, a sertifikat možeš da odštampaš ili podeliš.

Napravi besplatan nalog

Sledeći čas: 17. Rastojanje dve tačke u koordinatnoj ravni — koliko daleko leti dron?