Pitagorina teorema za trapez — koliko je visok nasip?
Pravougli trapez: h² + (a − b)² = c², dijagonale; površina P = (a + b)h/2 = m·h; trapez sa uglom od 45° ili 60°; visine iz temena kraće osnovice; jednakokraki trapez: projekcija kraka (a − b)/2, h² + ((a − b)/2)² = c², dijagonala d² = h² + m², površina iz dijagonale i visine.
Video
Pojmovi
- Pravougli trapez
- Pravougli trapez ima jedan krak normalan na osnovice $a$ i $b$ ($a > b$) — taj krak je ujedno visina $h$. Kad iz temena kraće osnovice spustimo visinu, odseče se pravougli trougao: katete su mu $h$ i $a - b$, a hipotenuza je kosi krak $c$. Zato je $h^2 + (a - b)^2 = c^2$. I dijagonale su hipotenuze: $d_1^2 = a^2 + h^2$ i $d_2^2 = b^2 + h^2$.
- Površina i srednja linija
- Površina trapeza je $P = \frac{(a + b) \cdot h}{2}$. Duž koja spaja sredine krakova je srednja linija $m = \frac{a + b}{2}$, pa je kraće $P = m \cdot h$. Kada visina nije data, prvo je tražimo — a nju skoro uvek daje Pitagorina teorema.
- Ugao od 45° ili 60°
- Kad je ugao kod duže osnovice $45^\circ$, odsečeni pravougli trougao je jednakokraki: projekcija kraka jednaka je visini. Kad je ugao $60^\circ$, trougao je polovina jednakostraničnog trougla stranice $c$: projekcija je $\frac{c}{2}$, a visina $\frac{c\sqrt{3}}{2}$.
- Bilo koji trapez: dve visine
- Ako su oba ugla kod duže osnovice oštra, visine iz oba temena kraće osnovice padaju na dužu osnovicu. Trapez se tako raspada na pravougaonik širine $b$ u sredini i dva pravougla trougla sa strane. Kraci su hipotenuze tih trouglova, a njihove donje katete (projekcije krakova) zajedno daju $a - b$: kad znamo jednu projekciju, druga je ostatak do $a - b$.
- Jednakokraki trapez
- Kraci su jednaki, pa su dva bočna trougla podudarna, a projekcije jednake: svaka je $\frac{a - b}{2}$. Zato je $h^2 + \left(\frac{a - b}{2}\right)^2 = c^2$. Na primer, za osnovice $10$ cm i $7{,}4$ cm i krake po $8{,}5$ cm projekcija je $1{,}3$ cm, $h^2 = 72{,}25 - 1{,}69 = 70{,}56$, $h = 8{,}4$ cm, a $P = \frac{(10 + 7{,}4) \cdot 8{,}4}{2} = 73{,}08$ cm².
- Dijagonala jednakokrakog trapeza
- Dijagonale jednakokrakog trapeza su jednake. Dijagonala iz donjeg temena i visina iz suprotnog gornjeg temena zatvaraju pravougli trougao. Njegova donja kateta je jedna projekcija plus cela kraća osnovica: $\frac{a - b}{2} + b = \frac{a + b}{2} = m$. Zato je $d^2 = h^2 + m^2$. Ako znamo $d$ i $h$, odatle dobijamo $m$, pa i površinu $P = m \cdot h$.
Formule
| Oznaka | Šta znači | Jedinica |
|---|---|---|
| $a$, $b$ | osnovice | cm |
| $h$ | visina | cm |
| $m$ | srednja linija | cm |
| $P$ | površina | cm² |
Visina je rastojanje između osnovica.
| Oznaka | Šta znači | Jedinica |
|---|---|---|
| $c$ | krak | cm |
| $d$ | dijagonala | cm |
Pravougli trapez: $h^2 + (a - b)^2 = c^2$. Ugao $45^\circ$: projekcija kraka $= h$; ugao $60^\circ$: projekcija $\frac{c}{2}$, $h = \frac{c\sqrt{3}}{2}$.
Pitanja
Pitanje 1 od 10
1. Kolika je srednja linija trapeza sa osnovicama $a$ i $b$?
2. Kolika je projekcija kraka jednakokrakog trapeza na dužu osnovicu (osnovice $a > b$)?
3. Kako se računa površina trapeza sa osnovicama $a$ i $b$ i visinom $h$?
4. Koja jednakost važi za kosi krak $c$ pravouglog trapeza (osnovice $a > b$, visina $h$)?
5. Jednakokraki trapez ima ugao od $45^\circ$ kod duže osnovice. Šta tada važi?
6. Šta važi za dijagonale jednakokrakog trapeza?
7. Koja jednakost daje dijagonalu jednakokrakog trapeza (osnovice $a > b$, visina $h$)?
8. Ugao kod duže osnovice jednakokrakog trapeza je $60^\circ$, a krak je $c$. Kolika je projekcija kraka?
9. Šta je u pravouglom trapezu onaj krak koji je normalan na osnovice?
10. Zašto su projekcije krakova jednakokrakog trapeza jednake?
Rešeni zadaci
Nasip u preseku je jednakokraki trapez: gore $4$ m, dole $19{,}4$ m, kose strane po $8{,}5$ m. Koliko je visok i koliko zemlje ima u svakom metru njegove dužine?
-
$\frac{19{,}4 - 4}{2} = 7{,}7$ mProjekcija kose strane.
-
$h^2 = 8{,}5^2 - 7{,}7^2 = 72{,}25 - 59{,}29 = 12{,}96$, $\ h = 3{,}6$ mKosa strana je hipotenuza bočnog trougla.
-
$P = \frac{(19{,}4 + 4) \cdot 3{,}6}{2} = 42{,}12$ m²Površina preseka.
-
$42{,}12 \cdot 1 = 42{,}12$ m³Komad nasipa dug $1$ m ima isti presek celom dužinom, kao kvadar: površina preseka puta dužina.
Jednakokraki trapez ima osnovice $21{,}9$ cm i $8{,}9$ cm i krake po $9{,}7$ cm. Izračunaj visinu, površinu i dijagonalu.
-
$\frac{21{,}9 - 8{,}9}{2} = 6{,}5$, $\ h^2 = 9{,}7^2 - 6{,}5^2 = 94{,}09 - 42{,}25 = 51{,}84$, $\ h = 7{,}2$ cmVisina iz bočnog trougla.
-
$P = \frac{(21{,}9 + 8{,}9) \cdot 7{,}2}{2} = 110{,}88$ cm²Površina trapeza.
-
$d^2 = 7{,}2^2 + 15{,}4^2 = 51{,}84 + 237{,}16 = 289$, $\ d = 17$ cm$m = \frac{21{,}9 + 8{,}9}{2} = 15{,}4$.
Pravougli trapez ima osnovice $15$ cm i $4{,}5$ cm i visinu $8{,}8$ cm. Koliki je kosi krak i površina?
-
$a - b = 15 - 4{,}5 = 10{,}5$ cmProjekcija kosog kraka.
-
$c^2 = 8{,}8^2 + 10{,}5^2 = 77{,}44 + 110{,}25 = 187{,}69$, $\ c = 13{,}7$ cmKosi krak je hipotenuza.
-
$P = \frac{(15 + 4{,}5) \cdot 8{,}8}{2} = 85{,}8$ cm²Površina trapeza.
Jednakokraki trapez ima osnovice $16$ cm i $10$ cm i ugao od $60^\circ$ kod duže osnovice. Izračunaj krak i površinu.
-
$\frac{16 - 10}{2} = 3$ cmProjekcija kraka.
-
$c = 2 \cdot 3 = 6$ cm, $\ h = \frac{6\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$ cmBočni trougao je polovina jednakostraničnog: projekcija je pola kraka.
-
$P = \frac{(16 + 10) \cdot 3\sqrt{3}}{2} = 39\sqrt{3} \approx 67{,}5$ cm²Površina trapeza.
Test
Kod računskih zadataka reši u svesci i upiši rezultat (decimalni broj sa zarezom, npr. 2,5), a kod ostalih izaberi tačan odgovor.
Jednakokraki trapez ima osnovice $17$ cm i $8{,}2$ cm i krake po $12{,}5$ cm. Kolika mu je visina (u cm)?
Pravougli trapez ima osnovice $20{,}8$ cm i $4$ cm i visinu $9{,}5$ cm. Koliki mu je obim (u cm)?
Jednakokraki trapez ima dijagonalu $22{,}1$ cm i visinu $14$ cm. Kolika mu je površina (u cm²)?
Jednakokraki trapez ima osnovice $18$ cm i $8$ cm i ugao od $45^\circ$ kod duže osnovice. Kolika mu je površina?
Bravo, čas je završen!
Želiš sertifikat? Napravi besplatan nalog, pa uradi test još jednom (treba bar 3 od 4 tačno). Rezultati se tada čuvaju, a sertifikat možeš da odštampaš ili podeliš.
Napravi besplatan nalogPohvali se i pozovi drugara:
Sledeći čas: 16. Koreni na brojevnoj pravoj — kako kredom obeležiti tačno √10?