Pitagorina teorema za paralelogram, romb i deltoid — koliko papira za zmaja?
Romb: dijagonale normalne i polove se, (d₁/2)² + (d₂/2)² = a², P = d₁d₂/2 = a·h; deltoid: dijagonale normalne, jedna polovi drugu, P = d₁d₂/2, stranice iz pravouglih trouglova; paralelogram: visina i odsečak iz x² + h² = b², dijagonale d₁² = (a + x)² + h², d₂² = (a − x)² + h², P = a·h, uglovi od 60° i 45°.
Video
Pojmovi
- Romb
- Romb je paralelogram čije su sve četiri stranice jednake. Njegove dijagonale seku se pod pravim uglom i polove se, pa ga dele na četiri podudarna pravougla trougla: katete su $\frac{d_1}{2}$ i $\frac{d_2}{2}$, a hipotenuza stranica $a$. Zato je $\left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2 = a^2$. Za $d_1 = 19$ cm i $d_2 = 33{,}6$ cm: $9{,}5^2 + 16{,}8^2 = 90{,}25 + 282{,}24 = 372{,}49$, pa je $a = 19{,}3$ cm.
- Površina romba
- Romb zauzima tačno polovinu pravougaonika čije su stranice dijagonale $d_1$ i $d_2$ (četiri trougla romba i četiri ista trougla oko njega), pa je $P = \frac{d_1 \cdot d_2}{2}$. Za isti romb $P = \frac{19 \cdot 33{,}6}{2} = 319{,}2$ cm². Romb je i paralelogram, pa važi i $P = a \cdot h$; odatle visina $h = \frac{P}{a}$. Romb sa uglom od $60^\circ$ sastavljen je od dva jednakostranična trougla, pa mu je kraća dijagonala jednaka stranici.
- Deltoid
- Deltoid je konveksan četvorougao sa dva para jednakih susednih stranica. Dijagonale su mu normalne, a dijagonala koja spaja temena u kojima se sastaju jednake stranice polovi drugu dijagonalu. Zato ga dijagonale dele na pravougle trouglove, a površina je, kao kod romba, $P = \frac{d_1 \cdot d_2}{2}$. Stranice dobijamo Pitagorinom teoremom iz polovine jedne dijagonale i delova druge.
- Visina paralelograma
- Spustimo visinu $h$ iz temena $D$ na pravu $AB$; njeno podnožje $D_1$ odseca od temena $A$ duž $x$. Trougao $AD_1D$ je pravougli sa hipotenuzom $b$, pa je $x^2 + h^2 = b^2$. Ako paralelogram ima stranice $a = 8$ cm i $b = 6{,}1$ cm, a visina je $h = 6$ cm, onda je $x^2 = 37{,}21 - 36 = 1{,}21$ i $x = 1{,}1$ cm. Površina je $P = a \cdot h = 48$ cm².
- Dijagonale paralelograma
- Kad je kod temena $A$ oštar ugao, duža dijagonala je hipotenuza pravouglog trougla sa katetama $a + x$ i $h$, a kraća sa katetama $a - x$ i $h$: $d_1^2 = (a + x)^2 + h^2$, $\ d_2^2 = (a - x)^2 + h^2$. Za isti paralelogram: $d_1^2 = 9{,}1^2 + 6^2 = 82{,}81 + 36 = 118{,}81$, $d_1 = 10{,}9$ cm, a $d_2^2 = 6{,}9^2 + 36 = 83{,}61$, $d_2 \approx 9{,}14$ cm.
- Paralelogram sa uglom od 60° ili 45°
- Ako je oštar ugao $60^\circ$, trougao $AD_1D$ je polovina jednakostraničnog, pa je $x = \frac{b}{2}$ i $h = \frac{b\sqrt{3}}{2}$. Ako je oštar ugao $45^\circ$, trougao je jednakokraki pravougli, pa je $x = h = \frac{b\sqrt{2}}{2}$. Tako iz stranica i ugla dobijamo visinu i površinu.
Formule
| Oznaka | Šta znači | Jedinica |
|---|---|---|
| $d_1$, $d_2$ | dijagonale | cm |
| $a$ | stranica romba | cm |
Površina $\frac{d_1 d_2}{2}$ važi za svaki četvorougao sa normalnim dijagonalama.
| Oznaka | Šta znači | Jedinica |
|---|---|---|
| $a$, $b$ | stranice | cm |
| $h$ | visina na stranicu $a$ | cm |
| $x$ | odsečak $AD_1$ | cm |
Ugao $60^\circ$: $h = \frac{b\sqrt{3}}{2}$; ugao $45^\circ$: $h = \frac{b\sqrt{2}}{2}$.
Pitanja
Pitanje 1 od 10
1. Kako se seku dijagonale romba?
2. Kolika je površina romba sa dijagonalama $d_1$ i $d_2$?
3. Na koliko podudarnih pravouglih trouglova dijagonale dele romb?
4. Šta važi za dijagonale deltoida?
5. Paralelogram ima oštar ugao $60^\circ$ i stranicu $b = 10$ cm. Kolika je visina na stranicu $a$?
6. Kraća dijagonala romba jednaka je njegovoj stranici. Koliki je oštar ugao romba?
7. Koja dijagonala paralelograma je duža (oštar ugao kod $A$)?
8. Romb ima stranicu $10$ cm i visinu $7$ cm. Kolika mu je površina?
9. Šta mora da važi za dijagonale četvorougla da bi bilo $P = \frac{d_1 d_2}{2}$?
10. Paralelogram ima oštar ugao $45^\circ$ i stranicu $b = 6\sqrt{2}$ cm. Kolika je visina na stranicu $a$?
Rešeni zadaci
Ninin zmaj je deltoid: kraća letvica od $66$ cm i duža od $100$ cm seku se pod pravim uglom, duža prolazi kroz sredinu kraće, a kraća deli dužu na $44$ cm i $56$ cm. Koliko konca ide oko zmaja i koliko papira treba?
-
$\frac{66}{2} = 33$ cmPola kraće letvice je zajednička kateta pravouglih trouglova.
-
$33^2 + 44^2 = 1\,089 + 1\,936 = 3\,025$, $\ s_1 = 55$ cmTrougao sa delom od $44$ cm.
-
$33^2 + 56^2 = 1\,089 + 3\,136 = 4\,225$, $\ s_2 = 65$ cmTrougao sa delom od $56$ cm.
-
$O = 2 \cdot (55 + 65) = 240$ cm, $\ P = \frac{66 \cdot 100}{2} = 3\,300$ cm²Po dve stranice su jednake; dijagonale su normalne.
Romb ima dijagonale $26{,}6$ cm i $31{,}2$ cm. Izračunaj stranicu, obim, površinu i visinu.
-
$a^2 = 13{,}3^2 + 15{,}6^2 = 176{,}89 + 243{,}36 = 420{,}25$, $\ a = 20{,}5$ cmPolovine dijagonala su katete.
-
$O = 4 \cdot 20{,}5 = 82$ cmSve četiri stranice su jednake.
-
$P = \frac{26{,}6 \cdot 31{,}2}{2} = 414{,}96$ cm²Površina iz dijagonala.
-
$h = \frac{P}{a} = \frac{414{,}96}{20{,}5} \approx 20{,}24$ cmIz $P = a \cdot h$.
Paralelogram ima stranice $a = 3{,}2$ cm i $b = 5{,}3$ cm i visinu na $a$ od $4{,}5$ cm. Izračunaj površinu i dužu dijagonalu.
-
$x^2 = 5{,}3^2 - 4{,}5^2 = 28{,}09 - 20{,}25 = 7{,}84$, $\ x = 2{,}8$ cmTrougao $AD_1D$ je pravougli.
-
$P = 3{,}2 \cdot 4{,}5 = 14{,}4$ cm²Površina paralelograma.
-
$d_1^2 = (3{,}2 + 2{,}8)^2 + 4{,}5^2 = 36 + 20{,}25 = 56{,}25$, $\ d_1 = 7{,}5$ cmDuža dijagonala ima katete $a + x$ i $h$.
Romb ima stranicu $8$ cm i oštar ugao $60^\circ$. Izračunaj dijagonale i površinu.
-
$d_1 = 8$ cmKraća dijagonala sa dve stranice čini jednakostranični trougao.
-
$\frac{d_2}{2} = \frac{8\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$, $\ d_2 = 8\sqrt{3}$ cmPolovina duže dijagonale je visina tog jednakostraničnog trougla.
-
$P = \frac{8 \cdot 8\sqrt{3}}{2} = 32\sqrt{3} \approx 55{,}4$ cm²Površina iz dijagonala.
Test
Kod računskih zadataka reši u svesci i upiši rezultat (decimalni broj sa zarezom, npr. 2,5), a kod ostalih izaberi tačan odgovor.
Romb ima dijagonale $2{,}6$ cm i $16{,}8$ cm. Kolika mu je stranica (u cm)?
Paralelogram $ABCD$ ima stranice $a = AB = 9$ cm i $b = AD = 11{,}3$ cm. Podnožje $D_1$ visine iz temena $D$ je na stranici $AB$, na rastojanju $1{,}5$ cm od temena $A$. Kolika je površina paralelograma (u cm²)?
Dijagonale deltoida su normalne. Jedna dijagonala je dugačka $26{,}4$ cm, a druga prolazi kroz njenu sredinu i presekom je podeljena na delove od $8{,}5$ cm i $22{,}4$ cm. Kolika je površina deltoida (u cm²)?
Romb ima stranicu $10$ cm i tup ugao od $120^\circ$. Kolika mu je površina?
Bravo, čas je završen!
Želiš sertifikat? Napravi besplatan nalog, pa uradi test još jednom (treba bar 3 od 4 tačno). Rezultati se tada čuvaju, a sertifikat možeš da odštampaš ili podeliš.
Napravi besplatan nalogPohvali se i pozovi drugara:
Sledeći čas: 15. Pitagorina teorema za trapez — koliko je visok nasip?