Pitagorina teorema za jednakokraki i jednakostranični trougao — koliko boje za zabat?
Visina jednakokrakog trougla na osnovicu h² + (a/2)² = b² i površina; jednakostranični trougao: h = a√3/2, P = a²√3/4; polovine jednakostraničnog trougla (30°, 60°, 90°) i kvadrata (45°, 45°, 90°: c = a√2, a = c√2/2, P = c²/4); poluprečnici upisanog i opisanog kruga jednakostraničnog trougla r = h/3, R = 2h/3.
Video
Pojmovi
- Visina jednakokrakog trougla
- U jednakokrakom trouglu sa osnovicom $a$ i kracima $b$ visina na osnovicu deli trougao na dva podudarna pravougla trougla (imaju zajedničku visinu i jednake krake), pa polovi osnovicu. U svakom od njih katete su $h$ i $\frac{a}{2}$, a hipotenuza je krak $b$: $h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 = b^2$, pa je $h = \sqrt{b^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2}$. Za osnovicu $22$ cm i krake $61$ cm: $h^2 = 3\,721 - 121 = 3\,600$, $h = 60$ cm.
- Površina jednakokrakog trougla
- Kad znamo visinu, površina je $P = \frac{a \cdot h}{2}$; za isti trougao $P = \frac{22 \cdot 60}{2} = 660$ cm². Obrnuto, iz površine i osnovice dobijamo visinu $h = \frac{2P}{a}$, a onda i krak Pitagorinom teoremom. Ako je dat obim, krak je $b = \frac{O - a}{2}$.
- Jednakostranični trougao
- Jednakostranični trougao stranice $a$ je jednakokraki sa osnovicom $a$ i kracima $a$, pa je $h^2 = a^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2 = \frac{3a^2}{4}$, tj. $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. Površina je $P = \frac{a \cdot h}{2} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$. Za $a = 6$ cm: $h = 3\sqrt{3} \approx 5{,}20$ cm i $P = 9\sqrt{3} \approx 15{,}59$ cm².
- Polovina jednakostraničnog trougla
- Visina deli jednakostranični trougao na dva trougla sa uglovima $30^\circ$, $60^\circ$ i $90^\circ$, i svaki takav trougao je polovina nekog jednakostraničnog. Ako mu je hipotenuza $c$, kateta naspram ugla od $30^\circ$ je $\frac{c}{2}$ (polovina stranice), a kateta naspram $60^\circ$ je $\frac{c\sqrt{3}}{2}$ (visina). Dakle, iz hipotenuze i uglova dobijamo sve stranice.
- Polovina kvadrata
- Dijagonala deli kvadrat na dva jednakokraka pravougla trougla, sa uglovima $45^\circ$, $45^\circ$, $90^\circ$. Sa katetama $a$ hipotenuza je $c = a\sqrt{2}$, a obrnuto, iz hipotenuze: $a = \frac{c}{\sqrt{2}} = \frac{c\sqrt{2}}{2}$. Površina je $P = \frac{a^2}{2} = \frac{c^2}{4}$, a visina na hipotenuzu je $h_c = \frac{c}{2}$.
- Krugovi jednakostraničnog trougla
- U jednakostraničnom trouglu svaka visina je i simetrala stranice i simetrala ugla, pa se sve tri seku u jednoj tački $O$ koja je jednako udaljena i od temena i od stranica — to je centar i opisanog i upisanog kruga. Spojimo $O$ sa temenima: trougao se deli na tri podudarna trougla sa osnovicom $a$ i visinom $r$. Zato je $3 \cdot \frac{a \cdot r}{2} = \frac{a \cdot h}{2}$, tj. $r = \frac{h}{3}$. Pošto je $R + r = h$ (obe duži leže na istoj visini), $R = \frac{2h}{3} = 2r$. Preko stranice: $r = \frac{a\sqrt{3}}{6}$, $R = \frac{a\sqrt{3}}{3}$.
Formule
| Oznaka | Šta znači | Jedinica |
|---|---|---|
| $a$ | osnovica | cm |
| $b$ | krak | cm |
| $h$ | visina na osnovicu | cm |
Jednakokraki pravougli (kateta $a$, hipotenuza $c$): $c = a\sqrt{2}$, $P = \frac{a^2}{2} = \frac{c^2}{4}$, $h_c = \frac{c}{2}$.
| Oznaka | Šta znači | Jedinica |
|---|---|---|
| $a$ | stranica | cm |
| $h$ | visina | cm |
| $r$, $R$ | poluprečnici upisanog i opisanog kruga | cm |
Preko stranice: $r = \frac{a\sqrt{3}}{6}$, $R = \frac{a\sqrt{3}}{3}$; $\sqrt{3} \approx 1{,}73$.
Pitanja
Pitanje 1 od 10
1. Šta visina na osnovicu radi sa jednakokrakim trouglom?
2. Koja jednakost važi za jednakokraki trougao sa osnovicom $a$, krakom $b$ i visinom $h$?
3. Kolika je visina jednakostraničnog trougla stranice $a$?
4. Koji trougao je polovina jednakostraničnog trougla?
5. Jednakokraki pravougli trougao je polovina kog lika?
6. Koliko puta je visina jednakostraničnog trougla veća od $r$?
7. Koliki su oštri uglovi jednakokrakog pravouglog trougla?
8. U jednakostraničnom trouglu, koliko puta je $R$ veći od $r$?
9. Zašto visina jednakokrakog trougla polovi osnovicu?
10. Kolika je površina jednakokrakog pravouglog trougla sa katetama $8$ cm?
Rešeni zadaci
Zabat kuće je jednakokraki trougao širok $11{,}2$ m, sa kracima po $6{,}5$ m. Koliko je visok i kolika mu je površina?
-
$\frac{a}{2} = 5{,}6$ mVisina polovi osnovicu.
-
$h^2 = 6{,}5^2 - 5{,}6^2 = 42{,}25 - 31{,}36 = 10{,}89$, $\ h = 3{,}3$ mKrak je hipotenuza, visina i pola osnovice su katete.
-
$P = \frac{11{,}2 \cdot 3{,}3}{2} = 18{,}48$ m²Površina trougla.
Jednakokraki trougao ima obim $484$ cm i osnovicu $114$ cm. Kolika mu je površina?
-
$b = \frac{484 - 114}{2} = 185$ cmDva kraka zajedno čine obim bez osnovice.
-
$h^2 = 185^2 - 57^2 = 34\,225 - 3\,249 = 30\,976$, $\ h = 176$ cmPola osnovice je $57$ cm; $176^2 = 30\,976$.
-
$P = \frac{114 \cdot 176}{2} = 10\,032$ cm²Površina trougla.
Jednakostranični trougao ima stranicu $10$ cm. Izračunaj visinu, površinu i poluprečnike upisanog i opisanog kruga.
-
$h = \frac{10\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3} \approx 8{,}66$ cmVisina jednakostraničnog trougla.
-
$P = \frac{100\sqrt{3}}{4} = 25\sqrt{3} \approx 43{,}3$ cm²Površina.
-
$r = \frac{h}{3} = \frac{5\sqrt{3}}{3}$ cm, $\ R = \frac{2h}{3} = \frac{10\sqrt{3}}{3}$ cmOd centra do stranice je jedna trećina visine, a od temena do centra dve trećine.
Hipotenuza jednakokrakog pravouglog trougla je $9$ cm. Izračunaj katete, površinu i visinu na hipotenuzu.
-
$a = \frac{9\sqrt{2}}{2} \approx 6{,}36$ cmIz $c = a\sqrt{2}$, uz racionalisanje imenioca.
-
$P = \frac{c^2}{4} = \frac{81}{4} = 20{,}25$ cm²$P = \frac{a^2}{2}$ i $a^2 = \frac{c^2}{2}$.
-
$h_c = \frac{9}{2} = 4{,}5$ cmVisina na hipotenuzu je njena polovina.
Test
Kod računskih zadataka reši u svesci i upiši rezultat (decimalni broj sa zarezom, npr. 2,5), a kod ostalih izaberi tačan odgovor.
Jednakokraki trougao ima osnovicu $3$ cm i krake po $11{,}3$ cm. Kolika je visina na osnovicu (u cm)?
Jednakostranični trougao ima stranicu $1{,}2$ cm. Njegova površina je $k\sqrt{3}$ cm². Koliko je $k$?
Katete jednakokrakog pravouglog trougla su po $6$ cm. Visina na hipotenuzu je $k\sqrt{2}$ cm. Koliko je $k$?
Trougao sa uglovima $30^\circ$, $60^\circ$ i $90^\circ$ ima hipotenuzu $12$ cm. Kolika je kateta naspram ugla od $60^\circ$?
Bravo, čas je završen!
Želiš sertifikat? Napravi besplatan nalog, pa uradi test još jednom (treba bar 3 od 4 tačno). Rezultati se tada čuvaju, a sertifikat možeš da odštampaš ili podeliš.
Napravi besplatan nalogPohvali se i pozovi drugara:
Sledeći čas: 14. Pitagorina teorema za paralelogram, romb i deltoid — koliko papira za zmaja?