Pitagorina teorema za pravougaonik i kvadrat — prolazi li okrugla ploča kroz vrata?
Dijagonala pravougaonika d = √(a² + b²) i stranica iz dijagonale; dijagonala kvadrata d = a√2 i stranica a = d√2/2; površina kvadrata iz dijagonale; poluprečnik opisanog kruga R = d/2 (pravougaonik i kvadrat) i upisanog kruga kvadrata r = a/2; stranice sa korenom; primene (ploča i vrata: prolazi ako je prečnik manji od dijagonale).
Video
Pojmovi
- Dijagonala pravougaonika
- Dijagonala deli pravougaonik na dva pravougla trougla; katete su stranice $a$ i $b$, a hipotenuza dijagonala $d$. Zato je $d^2 = a^2 + b^2$, tj. $d = \sqrt{a^2 + b^2}$. Za pravougaonik $45$ cm $\times$ $28$ cm: $d^2 = 2\,025 + 784 = 2\,809$, pa je $d = 53$ cm. Obe dijagonale pravougaonika su jednake.
- Stranica iz dijagonale
- Ako znamo dijagonalu i jednu stranicu, drugu stranicu dobijamo kao katetu: $b = \sqrt{d^2 - a^2}$. Za $d = 53$ cm i $a = 28$ cm: $b^2 = 2\,809 - 784 = 2\,025$, $b = 45$ cm. Tada možemo da izračunamo i obim i površinu. Stranice mogu biti i iracionalne: za $a = 6\sqrt{2}$ i $b = 7$ je $d^2 = 72 + 49 = 121$, pa je $d = 11$.
- Dijagonala kvadrata
- Kod kvadrata su obe katete jednake stranici $a$: $d^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$, pa je $d = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$. Za $a = 5$ cm: $d = 5\sqrt{2} \approx 7{,}07$ cm. Dijagonala kvadrata je uvek oko $1{,}41$ puta duža od stranice.
- Stranica i površina kvadrata iz dijagonale
- Iz $d = a\sqrt{2}$ sledi $a = \frac{d}{\sqrt{2}} = \frac{d\sqrt{2}}{2}$ (racionalisali smo imenilac). Za $d = 6$ cm: $a = 3\sqrt{2}$ cm. Površinu dobijamo i bez stranice: $P = a^2 = \frac{d^2}{2}$, pa je za $d = 6$ cm površina $18$ cm².
- Opisani krug
- Dijagonale pravougaonika (pa i kvadrata) su jednake i polove se, pa je njihov presek jednako udaljen od sva četiri temena — to je centar kruga koji prolazi kroz sva temena (opisani krug). Njegov poluprečnik je polovina dijagonale: $R = \frac{d}{2}$. Za kvadrat je $R = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.
- Upisani krug kvadrata
- Kvadrat ima i krug koji dodiruje sve četiri stranice (upisani krug); njegov centar je presek dijagonala, a poluprečnik je polovina stranice: $r = \frac{a}{2}$. Pravougaonik koji nije kvadrat nema upisani krug — krug ne može istovremeno da dodirne i bliže i dalje stranice.
- Primena: ploča i vrata
- Nagnuta tanka okrugla ploča prolazi kroz vrata po njihovoj dijagonali: prolazi ako je njen prečnik $D$ manji od dijagonale vrata $d$, a ne prolazi ako je veći. Za vrata $0{,}8$ m $\times$ $2$ m: $d^2 = 0{,}64 + 4 = 4{,}64$, a $2{,}1^2 = 4{,}41 < 4{,}64$, pa je $2{,}1 < d$ i ploča prečnika $2{,}1$ m prolazi.
Formule
| Oznaka | Šta znači | Jedinica |
|---|---|---|
| $a$, $b$ | stranice | cm |
| $d$ | dijagonala | cm |
| $R$ | poluprečnik opisanog kruga | cm |
Stranica iz dijagonale: $b = \sqrt{d^2 - a^2}$.
| Oznaka | Šta znači | Jedinica |
|---|---|---|
| $a$ | stranica | cm |
| $d$ | dijagonala | cm |
| $P$ | površina kvadrata | cm² |
| $R$ | poluprečnik opisanog kruga | cm |
| $r$ | poluprečnik upisanog kruga | cm |
$\sqrt{2} \approx 1{,}41$.
Pitanja
Pitanje 1 od 10
1. Kolika je dijagonala pravougaonika sa stranicama $a$ i $b$?
2. Kolika je dijagonala kvadrata sa stranicom $12$ cm?
3. Kvadrat ima dijagonalu $10$ cm. Kolika mu je stranica?
4. Koliki je poluprečnik kruga opisanog oko pravougaonika?
5. Koliki je poluprečnik kruga upisanog u kvadrat stranice $8$ cm?
6. Kada tanka okrugla ploča prečnika $D$ prolazi kroz pravougaoni otvor sa dijagonalom $d$?
7. Da li svaki pravougaonik ima upisani krug?
8. Kolika je površina kvadrata čija je dijagonala $6$ cm?
9. Koliko puta je dijagonala kvadrata duža od stranice?
10. Pravougaonik ima stranice $\sqrt{5}$ cm i $2$ cm. Kolika mu je dijagonala?
Rešeni zadaci
Vrata su široka $0{,}8$ m i visoka $2$ m. Da li kroz njih može da prođe tanka okrugla ploča prečnika $2{,}1$ m?
-
$d^2 = 0{,}8^2 + 2^2 = 0{,}64 + 4 = 4{,}64$Najduži prolaz je dijagonala vrata.
-
$2{,}1^2 = 4{,}41 < 4{,}64$Kvadrat prečnika je manji od kvadrata dijagonale.
-
$2{,}1 < d$Veći pozitivan broj ima veći kvadrat, pa je prečnik manji od dijagonale.
Daska za klupu je pravougaonik sa dijagonalom $145$ cm i širinom $24$ cm. Kolika je dužina daske, njen obim i površina?
-
$b^2 = 145^2 - 24^2 = 21\,025 - 576 = 20\,449$, $\ b = 143$ cmDužina je kateta; $143^2 = 20\,449$.
-
$O = 2 \cdot (24 + 143) = 334$ cmObim pravougaonika.
-
$P = 24 \cdot 143 = 3\,432$ cm²Površina pravougaonika.
Kvadrat ima stranicu $10$ cm. Izračunaj dijagonalu i poluprečnike opisanog i upisanog kruga.
-
$d = 10\sqrt{2} \approx 14{,}14$ cmDijagonala kvadrata je $a\sqrt{2}$.
-
$R = \frac{10\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2} \approx 7{,}07$ cmPolovina dijagonale.
-
$r = \frac{10}{2} = 5$ cmPolovina stranice.
Oko pravougaonog igrališta $132$ m $\times$ $85$ m treba iscrtati krug koji prolazi kroz sva četiri temena. Koliki mu je poluprečnik?
-
$d^2 = 132^2 + 85^2 = 17\,424 + 7\,225 = 24\,649$Prvo dijagonala.
-
$d = \sqrt{24\,649} = 157$ m$157^2 = 24\,649$.
-
$R = \frac{157}{2} = 78{,}5$ mPoluprečnik opisanog kruga je polovina dijagonale.
Pravougaonik ima stranice $6\sqrt{2}$ cm i $7$ cm. Kolika mu je dijagonala i poluprečnik opisanog kruga?
-
$d^2 = \left(6\sqrt{2}\right)^2 + 7^2 = 72 + 49 = 121$$\left(6\sqrt{2}\right)^2 = 36 \cdot 2 = 72$.
-
$d = 11$ cm, $\ R = 5{,}5$ cmDijagonala, pa njena polovina.
Test
Kod računskih zadataka reši u svesci i upiši rezultat (decimalni broj sa zarezom, npr. 2,5), a kod ostalih izaberi tačan odgovor.
Dijagonala pravougaonika je $19{,}7$ cm, a jedna stranica $2{,}8$ cm. Kolika mu je površina (u cm²)?
Dijagonala kvadrata je $3$ cm. Kolika je površina kvadrata (u cm²)?
Pravougaonik ima stranice $28$ cm i $195$ cm. Koliki je poluprečnik kruga opisanog oko njega (u cm)?
Vrata su široka $0{,}9$ m i visoka $2{,}1$ m, a tanka okrugla ploča ima prečnik $2{,}3$ m. Šta je tačno?
Bravo, čas je završen!
Želiš sertifikat? Napravi besplatan nalog, pa uradi test još jednom (treba bar 3 od 4 tačno). Rezultati se tada čuvaju, a sertifikat možeš da odštampaš ili podeliš.
Napravi besplatan nalogPohvali se i pozovi drugara:
Sledeći čas: 13. Pitagorina teorema za jednakokraki i jednakostranični trougao — koliko boje za zabat?