Obrnuta Pitagorina teorema — kako stolar proverava prav ugao?
Obrnuta Pitagorina teorema: ako je a² + b² = c², trougao je pravougli, sa pravim uglom naspram c (dokaz podudarnošću SSS); provera najduže stranice; oštrougli (c² < a² + b²) i tupougli (c² > a² + b²) trougao; Pitagorine trojke, primitivne i njihovi umnošci; prav ugao u praksi.
Video
Pojmovi
- Obrnuta Pitagorina teorema
- Pitagorina teorema kaže: ako je trougao pravougli, onda je $a^2 + b^2 = c^2$. Važi i obrnuto: ako za stranice trougla važi $a^2 + b^2 = c^2$, onda je trougao pravougli, a prav ugao je naspram stranice $c$. Zato iz samih dužina stranica, bez merenja uglova, znamo da li je ugao prav.
- Zašto važi
- Kako da znamo da je ugao prav ako ga nismo izmerili? Uporedimo trougao sa jednim za koji to sigurno znamo. Nacrtajmo pravougli trougao sa katetama $a$ i $b$. Po Pitagorinoj teoremi kvadrat njegove hipotenuze je $a^2 + b^2$, a to je baš $c^2$ — pa je i njegova hipotenuza dugačka $c$. Sada naš trougao i nacrtani imaju sve tri stranice jednake, pa su podudarni (stav SSS iz 6. razreda). Podudarni trouglovi imaju jednake odgovarajuće uglove, pa je i u našem trouglu ugao naspram $c$ prav.
- Kako proveriti
- Naspram najduže stranice je najveći ugao; ako je on prav ili oštar, druga dva ugla su sigurno oštra. Zato poredimo samo kvadrat najduže stranice sa zbirom kvadrata druge dve. Za $119$, $120$ i $169$: $14\,161 + 14\,400 = 28\,561 = 169^2$, pa je trougao pravougli. Za $9$, $10$ i $15$: $81 + 100 = 181 \ne 225$, pa nije.
- Oštrougli i tupougli trougao
- Neka je $c$ najduža stranica. Ako je $c^2 < a^2 + b^2$, trougao je oštrougli; ako je $c^2 > a^2 + b^2$, tupougli. Pogledaj stolarove letve od $60$ i $91$ cm: kad je ugao između njih prav, njihovi krajevi su na $109$ cm. Kad se ugao otvori više od pravog, krajevi se razmaknu na više od $109$ cm, a kad se zatvori — primaknu se na manje. Tako za $9$, $10$, $15$ ($225 > 181$) imamo tupougli trougao, a za $8$, $11$, $13$ ($169 < 64 + 121 = 185$) oštrougli.
- Pitagorine trojke
- Prirodni brojevi $a$, $b$, $c$ sa $a^2 + b^2 = c^2$ čine Pitagorinu trojku; trougao sa takvim stranicama je pravougli. Ako sve tri pomnožimo istim prirodnim brojem, opet dobijamo trojku, jer se svi kvadrati pomnože istim brojem. Trojka čiji brojevi nemaju zajednički delilac veći od $1$ zove se primitivna, npr. $44, 117, 125$: $1\,936 + 13\,689 = 15\,625 = 125^2$. Primitivnih trojki ima beskonačno mnogo.
- Prav ugao u praksi
- Stolar, zidar ili baštovan mogu da provere prav ugao samo metrom: od temena ugla odmere $60$ cm na jednoj strani i $91$ cm na drugoj, i ako je rastojanje između tih tačaka tačno $109$ cm, ugao je prav. Ako je rastojanje veće, ugao je tup; ako je manje, oštar.
Formule
| Oznaka | Šta znači | Jedinica |
|---|---|---|
| $a$, $b$, $c$ | stranice trougla | cm |
Proveravamo najdužu stranicu $c$.
| Oznaka | Šta znači | Jedinica |
|---|---|---|
| $a$, $b$ | druge dve stranice | cm |
| $c$ | najduža stranica | cm |
Jednakost znači pravougli trougao.
Pitanja
Pitanje 1 od 10
1. Trougao ima stranice $88$, $105$ i $137$. Kakav je?
2. Kvadrat koje stranice poredimo sa zbirom kvadrata druge dve?
3. Ako je $c$ najduža stranica i $c^2 > a^2 + b^2$, trougao je:
4. Trougao ima stranice $5$, $6$ i $7$. Kakav je?
5. Naspram koje stranice je prav ugao u trouglu sa stranicama $15$, $112$ i $113$?
6. Da li je trougao sa stranicama $4$, $5$ i $7$ pravougli?
7. Ako su $a$, $b$, $c$ Pitagorina trojka, šta važi za $2a$, $2b$, $2c$?
8. Kada je Pitagorina trojka primitivna?
9. Trougao ima stranice $\sqrt{5}$, $\sqrt{11}$ i $4$. Kakav je?
10. Na čemu se zasniva dokaz obrnute Pitagorine teoreme?
Rešeni zadaci
Stolar je od temena ugla odmerio $60$ cm na jednoj letvi i $91$ cm na drugoj, a između tih tačaka je $109$ cm. Da li je ugao prav?
-
$60^2 + 91^2 = 3\,600 + 8\,281 = 11\,881$Zbir kvadrata dve kraće dužine.
-
$109^2 = 11\,881$Kvadrat najduže dužine je isti.
-
ugao je pravPo obrnutoj Pitagorinoj teoremi, prav ugao je naspram dužine $109$ cm — između letvi.
Da li je trougao sa stranicama $12$ cm, $13$ cm i $17$ cm oštrougli, pravougli ili tupougli?
-
$12^2 + 13^2 = 144 + 169 = 313$Zbir kvadrata dve kraće stranice.
-
$17^2 = 289 < 313$Kvadrat najduže stranice je manji.
Kakav je trougao sa stranicama $\sqrt{7}$, $3$ i $4$?
-
$\left(\sqrt{7}\right)^2 + 3^2 = 7 + 9 = 16$Najduža je $4$, jer je $\sqrt{7} < 3 < 4$.
-
$4^2 = 16$Jednako je, pa je trougao pravougli, a prav ugao je naspram stranice $4$.
Paralelogram ima stranice $11$ cm i $60$ cm, a dijagonala mu je $61$ cm. Da li je pravougaonik?
-
$11^2 + 60^2 = 121 + 3\,600 = 3\,721 = 61^2$Dijagonala i dve susedne stranice čine trougao.
-
ugao između stranica je pravPo obrnutoj Pitagorinoj teoremi, naspram dijagonale je prav ugao.
-
paralelogram sa pravim uglom je pravougaonikSusedni uglovi paralelograma zajedno imaju $180^\circ$, pa su svi pravi.
Test
Kod računskih zadataka reši u svesci i upiši rezultat (decimalni broj sa zarezom, npr. 2,5), a kod ostalih izaberi tačan odgovor.
Trouglovi su zadati dužinama stranica: a) $144$, $17$, $145$; b) $145$, $143$, $26$; c) $205$, $84$, $187$; d) $185$, $176$, $57$. Koliko je pravouglih trouglova među njima?
Trougao ima stranice $4$ cm, $7$ cm i $x$ cm, gde je $x$ prirodan broj i najduža stranica (može biti i jednaka $7$). Za koliko vrednosti $x$ je trougao oštrougli?
Zidar je od temena ugla odmerio $2$ m na zidu i $2{,}5$ m na podu, a rastojanje između tih tačaka je $3{,}4$ m. Kakav je ugao između zida i poda?
Koja od ovih trojki je primitivna Pitagorina trojka?
Bravo, čas je završen!
Želiš sertifikat? Napravi besplatan nalog, pa uradi test još jednom (treba bar 3 od 4 tačno). Rezultati se tada čuvaju, a sertifikat možeš da odštampaš ili podeliš.
Napravi besplatan nalogPohvali se i pozovi drugara:
Sledeći čas: 12. Pitagorina teorema za pravougaonik i kvadrat — prolazi li okrugla ploča kroz vrata?