Pitagorina teorema — koliko je dugačka daska za rampu?
Katete i hipotenuza; Pitagorina teorema a² + b² = c² (površine kvadrata nad stranicama) i dokaz premeštanjem četiri trougla u kvadratu stranice a + b; računanje hipotenuze i katete; iracionalna dužina; Pitagorine trojke; visina na hipotenuzu h = ab/c.
Video
Pojmovi
- Katete i hipotenuza
- U pravouglom trouglu dve stranice grade prav ugao — to su katete, obično $a$ i $b$. Treća stranica leži naspram pravog ugla i zove se hipotenuza, $c$. Hipotenuza je uvek najduža stranica pravouglog trougla, jer je naspram najvećeg ugla.
- Pitagorina teorema
- U svakom pravouglom trouglu kvadrat hipotenuze jednak je zbiru kvadrata kateta: $a^2 + b^2 = c^2$. Geometrijski: ako nad svakom stranicom nacrtamo kvadrat, površina kvadrata nad hipotenuzom jednaka je zbiru površina kvadrata nad katetama. Za trougao sa katetama $24$ i $32$: $576 + 1\,024 = 1\,600 = 40^2$, pa je hipotenuza $40$. Teorema nosi ime grčkog matematičara Pitagore.
- Zašto važi
- Uzmimo četiri jednaka pravougla trougla sa katetama $a$, $b$ i hipotenuzom $c$ i kvadrat stranice $a + b$. Prvi raspored: trouglove stavimo u četiri ugla velikog kvadrata, tako da im hipotenuze okruže lik u sredini. Taj lik ima četiri stranice $c$, a svaki njegov ugao je prav: uz njega su dva oštra ugla trougla, koji zajedno daju $90^\circ$, pa ostaje $180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$. Dakle u sredini je kvadrat površine $c^2$. Drugi raspored: trouglove spojimo po dva u pravougaonike $a \times b$ i stavimo ih u dva ugla — slobodna ostaju dva kvadrata, površina $a^2$ i $b^2$. Veliki kvadrat je isti i trouglovi su isti, pa je i slobodan deo iste površine: $c^2 = a^2 + b^2$.
- Računanje hipotenuze
- Iz $c^2 = a^2 + b^2$ sledi $c = \sqrt{a^2 + b^2}$ (dužina je pozitivna). Za $a = 20$ cm i $b = 99$ cm: $c^2 = 400 + 9\,801 = 10\,201$, pa je $c = 101$ cm. Hipotenuza ne mora biti racionalan broj: za $a = 2$ i $b = 3$ je $c = \sqrt{13} \approx 3{,}61$.
- Računanje katete
- Ako znamo hipotenuzu i jednu katetu, drugu dobijamo oduzimanjem: $b^2 = c^2 - a^2$, pa je $b = \sqrt{c^2 - a^2}$. Za $c = 85$ i $a = 36$: $b^2 = 7\,225 - 1\,296 = 5\,929$, $b = 77$. Pazi da od kvadrata hipotenuze oduzimaš, a ne obrnuto — hipotenuza je najduža.
- Pitagorine trojke
- Tri prirodna broja za koje važi $a^2 + b^2 = c^2$ zovu se Pitagorina trojka, npr. $28, 45, 53$: $784 + 2\,025 = 2\,809 = 53^2$. Ako sve brojeve trojke pomnožimo istim prirodnim brojem, opet dobijamo trojku: od $28, 45, 53$ množenjem sa $2$ nastaje $56, 90, 106$.
- Visina na hipotenuzu
- Površinu pravouglog trougla možemo računati na dva načina: $P = \frac{a \cdot b}{2}$ (jedna kateta je visina na drugu) i $P = \frac{c \cdot h_c}{2}$. Odatle je $h_c = \frac{a \cdot b}{c}$. Za katete $24$ cm i $32$ cm hipotenuza je $40$ cm, a visina na nju $h_c = \frac{24 \cdot 32}{40} = 19{,}2$ cm.
Formule
| Oznaka | Šta znači | Jedinica |
|---|---|---|
| $a$, $b$ | katete | cm |
| $c$ | hipotenuza | cm |
Važi za pravougli trougao; $c$ je naspram pravog ugla.
| Oznaka | Šta znači | Jedinica |
|---|---|---|
| $a$, $b$ | katete | cm |
| $c$ | hipotenuza | cm |
Kod katete se od kvadrata hipotenuze oduzima.
| Oznaka | Šta znači | Jedinica |
|---|---|---|
| $h_c$ | visina na hipotenuzu | cm |
Iz $P = \frac{ab}{2} = \frac{c \cdot h_c}{2}$.
Pitanja
Pitanje 1 od 10
1. Koja stranica pravouglog trougla je hipotenuza?
2. O čemu govori Pitagorina teorema?
3. Koja od ovih trojki je Pitagorina?
4. Kako glasi Pitagorina teorema za katete $a$, $b$ i hipotenuzu $c$?
5. Šta važi za hipotenuzu?
6. Ako je $c^2 = 169$ i $c$ je dužina hipotenuze, koliko je $c$?
7. Kvadrati nad katetama imaju površine $81$ cm² i $144$ cm². Kolika je površina kvadrata nad hipotenuzom?
8. Kojim računom dobijamo katetu $b$ ako znamo $c$ i $a$?
9. Katete su $1$ i $3$. Kolika je hipotenuza?
10. Kolika je visina na hipotenuzu pravouglog trougla sa katetama $a$, $b$ i hipotenuzom $c$?
Rešeni zadaci
Rampa se diže $0{,}9$ m, a po zemlji zauzima $1{,}2$ m. Koliko je dugačka daska?
-
$c^2 = 0{,}9^2 + 1{,}2^2 = 0{,}81 + 1{,}44 = 2{,}25$Daska je hipotenuza pravouglog trougla; visina i put po zemlji su katete.
-
$c = \sqrt{2{,}25} = 1{,}5$$1{,}5^2 = 2{,}25$.
Ekran ima dijagonalu $65$ cm i širinu $56$ cm. Kolika mu je visina?
-
$b^2 = 65^2 - 56^2 = 4\,225 - 3\,136 = 1\,089$Dijagonala je hipotenuza, širina i visina su katete.
-
$b = \sqrt{1\,089} = 33$$33^2 = 1\,089$.
Katete su $4$ cm i $7$ cm. Kolika je hipotenuza (tačno i približno)?
-
$c^2 = 16 + 49 = 65$Zbir kvadrata kateta.
-
$c = \sqrt{65}$ cm$65$ nije potpun kvadrat, pa je $c$ iracionalan.
-
$8{,}06^2 = 64{,}9636 < 65 < 65{,}044225 = 8{,}065^2$Koren je bliži broju $8{,}06$ nego $8{,}07$: $c \approx 8{,}06$ cm.
Kosi konopac šatora ide od vrha štapa visokog $1{,}1$ m do klina udaljenog $6$ m od podnožja štapa. Koliko je dugačak konopac i koliki je obim trougla koji obrazuje sa štapom i zemljom?
-
$c^2 = 1{,}1^2 + 6^2 = 1{,}21 + 36 = 37{,}21$Štap i zemlja su katete, konopac hipotenuza.
-
$c = 6{,}1$ m$6{,}1^2 = 37{,}21$.
-
$O = 1{,}1 + 6 + 6{,}1 = 13{,}2$ mObim je zbir sve tri stranice.
Test
Kod računskih zadataka reši u svesci i upiši rezultat (decimalni broj sa zarezom, npr. 2,5), a kod ostalih izaberi tačan odgovor.
Antena na ravnom krovu visoka je $6$ m. Od njenog vrha do tačke na krovu udaljene $9{,}1$ m od podnožja antene zategnuta je žica. Koliko je dugačka žica?
Kosa krovna greda (rog) dugačka je $14{,}5$ m i vodoravno pokriva $14{,}4$ m. Koliko je krov visok (od donjeg do gornjeg kraja grede, uspravno)?
Do škole Nikola ide $720$ m jednom ulicom, pa $650$ m drugom, koja je na prvu normalna. Preko livade može i pravo do škole. Za koliko metara je put preko livade kraći?
Kolika je visina na hipotenuzu pravouglog trougla sa katetama $18$ cm i $24$ cm?
Bravo, čas je završen!
Želiš sertifikat? Napravi besplatan nalog, pa uradi test još jednom (treba bar 3 od 4 tačno). Rezultati se tada čuvaju, a sertifikat možeš da odštampaš ili podeliš.
Napravi besplatan nalogPohvali se i pozovi drugara:
Sledeći čas: 11. Obrnuta Pitagorina teorema — kako stolar proverava prav ugao?