Produžena proporcija — koliko koje boje za zelenu?
Razmera i proporcija (podsetnik, ad = bc); sređivanje razmere sa decimalnim brojevima i razlomcima; podela broja u datoj razmeri; produžena proporcija a : b : c = p : q : r (a = px, b = qx, c = rx, odnosno a/p = b/q = c/r); podela na tri dela, uglovi trougla, spajanje dve proporcije u produženu i podela zbira.
Video
Pojmovi
- Razmera i proporcija (podsetnik)
- Razmera $a : b$ je količnik dva broja ($b \ne 0$; u ovom času su svi članovi pozitivni). Ne menja se kad oba člana pomnožimo ili podelimo istim brojem različitim od nule: $21 : 35 = 3 : 5$, $\ 0{,}4 : 1{,}2 = 1 : 3$. Jednakost dve razmere, $a : b = c : d$, zove se proporcija. U njoj je proizvod spoljašnjih članova jednak proizvodu unutrašnjih: $a \cdot d = b \cdot c$. Tako iz $4 : x = 10 : 15$ sledi $10x = 60$, pa $x = 6$.
- Sređivanje razmere
- Decimalne brojeve i razlomke u razmeri pretvorimo u prirodne brojeve množenjem svih članova istim brojem: $1{,}5 : 2 : 2{,}5 = 3 : 4 : 5$ (puta $2$), a $\frac{1}{2} : \frac{1}{3} : \frac{1}{4} = 6 : 4 : 3$ (puta $12$, najmanji zajednički sadržalac imenilaca). Ako svi članovi imaju zajednički delilac, skratimo: $12 : 18 : 30 = 2 : 3 : 5$.
- Podela u datoj razmeri
- Podeliti $35$ u razmeri $3 : 4$ znači podeliti ga na $3 + 4 = 7$ jednakih delova i dati prvom $3$, a drugom $4$ dela. Jedan deo je $35 : 7 = 5$, pa su delovi $15$ i $20$. Provera: $15 + 20 = 35$ i $15 : 20 = 3 : 4$.
- Produžena proporcija
- Zamisli tri gomile istih kockica: u prvoj je $p$ kockica, u drugoj $q$, u trećoj $r$, a svaka kockica „vredi“ isto, $x$. Tada su vrednosti gomila $a = px$, $b = qx$, $c = rx$. Kratko pišemo $a : b : c = p : q : r$ i čitamo „$a$, $b$ i $c$ se odnose kao $p$, $q$ i $r$“ — to je produžena proporcija. Podelimo li svaku vrednost brojem njenih kockica, svaki put dobijemo $x$: $\frac{a}{p} = \frac{b}{q} = \frac{c}{r}$. Svaka dva člana daju običnu proporciju, npr. $a : c = p : r$. Zapis sa tri člana nije deljenje „redom“, pa pravilo o spoljašnjim i unutrašnjim članovima na njega ne primenjujemo.
- Podela na tri dela
- Podeliti $84$ u razmeri $1 : 2 : 4$ znači: $x + 2x + 4x = 84$, tj. $7x = 84$ i $x = 12$. Delovi su $12$, $24$ i $48$; provera: $12 + 24 + 48 = 84$. Takva podela, u kojoj svako dobija onoliko delova koliki mu je broj u razmeri, zove se srazmerna podela.
- Uglovi trougla u razmeri
- Zbir uglova trougla je $180^\circ$. Ako je $\alpha : \beta : \gamma = 2 : 3 : 4$, onda je $2x + 3x + 4x = 180^\circ$, tj. $9x = 180^\circ$ i $x = 20^\circ$. Uglovi su $40^\circ$, $60^\circ$ i $80^\circ$.
- Spajanje dve proporcije
- Ako je $a : b = 3 : 4$ i $b : c = 2 : 5$, onda $b$ u prvoj razmeri ima $4$ dela, a u drugoj $2$ dela. Drugu razmeru proširimo sa $2$: $b : c = 4 : 10$. Sada $b$ u obe ima $4$ dela, pa je $a : b : c = 3 : 4 : 10$.
Formule
| Oznaka | Šta znači | Jedinica |
|---|---|---|
| $a$, $d$ | spoljašnji članovi | — |
| $b$, $c$ | unutrašnji članovi | — |
Važi samo za proporciju sa četiri člana.
| Oznaka | Šta znači | Jedinica |
|---|---|---|
| $p$, $q$, $r$ | brojevi delova | — |
| $x$ | veličina jednog dela | — |
Podela broja $S$: $x = \frac{S}{p + q + r}$.
Pitanja
Pitanje 1 od 10
1. Kojoj razmeri je jednaka razmera $21 : 35$?
2. Iz proporcije $4 : x = 10 : 15$ sledi:
3. Ako je $a : b : c = 3 : 4 : 7$ i $a = 12$, koliko je $c$?
4. Na koliko jednakih delova delimo iznos u razmeri $4 : 1 : 6$?
5. Šta znači $a : b : c = 4 : 1 : 3$?
6. Važi li pravilo o spoljašnjim i unutrašnjim članovima za $a : b : c = p : q : r$?
7. Uglovi trougla su u razmeri $p : q : r$. Koliki je jedan deo?
8. Čemu je jednaka razmera $0{,}5 : 1{,}5 : 2$?
9. Spajamo $a : b = 2 : 3$ i $b : c = 6 : 7$. Šta prvo uradimo?
10. Kako se deli zarada pri srazmernoj podeli?
Rešeni zadaci
Teodora meša žutu, plavu i belu boju u razmeri $2 : 3 : 5$. Koliko mililitara svake boje treba za $1\,500$ ml mešavine?
-
$2x + 3x + 5x = 1\,500$, $\ 10x = 1\,500$, $\ x = 150$Ukupno $10$ delova; jedan deo je $150$ ml.
-
$2 \cdot 150 = 300$, $\ 3 \cdot 150 = 450$, $\ 5 \cdot 150 = 750$Svaka boja dobija svoj broj delova.
-
$300 + 450 + 750 = 1\,500$Provera.
Uglovi trougla su u razmeri $3 : 4 : 5$. Izračunaj ih.
-
$3x + 4x + 5x = 180^\circ$Zbir uglova trougla.
-
$12x = 180^\circ$, $\ x = 15^\circ$Jedan deo.
-
$\alpha = 45^\circ$, $\ \beta = 60^\circ$, $\ \gamma = 75^\circ$Provera: $45 + 60 + 75 = 180$.
Ako je $a : b = 5 : 6$, $\ b : c = 3 : 4$ i $a + b + c = 95$, izračunaj $a$, $b$ i $c$.
-
$b : c = 3 : 4 = 6 : 8$Proširimo sa $2$ da $b$ ima $6$ delova kao u prvoj razmeri.
-
$a : b : c = 5 : 6 : 8$Spojimo u produženu proporciju.
-
$5x + 6x + 8x = 95$, $\ 19x = 95$, $\ x = 5$Zbir je $19$ delova.
-
$a = 25$, $\ b = 30$, $\ c = 40$Provera: $25 + 30 + 40 = 95$.
Sredi razmeru $\frac{1}{2} : \frac{2}{3} : \frac{3}{4}$, pa podeli $46$ u toj razmeri.
-
$\frac{1}{2} : \frac{2}{3} : \frac{3}{4} = 6 : 8 : 9$Pomnožimo sve članove sa $12$.
-
$6x + 8x + 9x = 46$, $\ 23x = 46$, $\ x = 2$Jedan deo.
-
$12$, $\ 16$, $\ 18$Provera: $12 + 16 + 18 = 46$.
Test
Kod računskih zadataka reši u svesci i upiši rezultat (decimalni broj sa zarezom, npr. 2,5), a kod ostalih izaberi tačan odgovor.
Tri porodice zajedno su kupile drva za 24 000 dinara i podelile trošak u razmeri 3 : 4 : 1, prema količini drva koju je ko uzeo. Koliko je platila treća porodica?
Uglovi trougla su u razmeri $\alpha : \beta : \gamma = 1 : 8 : 1$. Koliki je najveći ugao (u stepenima)?
Ako je $a : b = 7 : 5$, $\ b : c = 6 : 7$ i $a + b + c = 214$, koliko je $b$?
Skrati razmeru $8 : 12 : 28$ do kraja.
Bravo, čas je završen!
Želiš sertifikat? Napravi besplatan nalog, pa uradi test još jednom (treba bar 3 od 4 tačno). Rezultati se tada čuvaju, a sertifikat možeš da odštampaš ili podeliš.
Napravi besplatan nalogPohvali se i pozovi drugara:
Sledeći čas: 10. Pitagorina teorema — koliko je dugačka daska za rampu?