Funkcija direktne proporcionalnosti — kako izgleda grafik y = kx?

🎬 Video

📖 Pojmovi

Funkcija y = kx

Bure je na početku prazno, a pumpa daje $6$ litara u minuti, pa posle $x$ minuta u buretu ima $y = 6x$ litara. Za svaku vrednost $x$ dobijamo tačno jednu vrednost $y$ — kažemo da je $y$ funkcija od $x$. Veličinu $x$ biramo slobodno (nezavisna veličina), a $y$ zavisi od nje (zavisna veličina). Pravilo oblika $y = kx$, gde je $k$ dati broj različit od nule, zove se funkcija direktne proporcionalnosti, a $k$ koeficijent proporcionalnosti. Nula ne dolazi u obzir, jer tada $y$ uopšte ne bi zavisilo od $x$.

Tabela i koeficijent

Za $y = 6x$: kad je $x = 1;\ 2;\ 3{,}5;\ 5$, onda je $y = 6;\ 12;\ 21;\ 30$. Količnik $y : x$ je za svaki par isti, $k = 6$ — kao kod direktno proporcionalnih veličina iz 6. razreda. Zato iz jednog para ($x \ne 0$) znamo $k$: iz $x = 4$, $y = 10$ sledi $k = 10 : 4 = 2{,}5$, tj. $y = 2{,}5x$. Koeficijent kazuje i za koliko se $y$ promeni kad $x$ poraste za $1$: pumpa svakog minuta doda $6$ litara.

Grafik je prava kroz koordinatni početak

Parove $(x, y)$ iz tabele ucrtamo kao tačke u koordinatnom sistemu: $(1, 6)$, $(2, 12)$, $(3{,}5;\ 21)$… Sve leže na jednoj pravoj, a ta prava prolazi kroz koordinatni početak $O(0, 0)$, jer je $k \cdot 0 = 0$. Tu pravu zovemo grafik funkcije. Da bismo je nacrtali, dovoljna je još jedna tačka osim $O$, na primer $(1, k)$. Kod pumpe vreme ne može biti negativno, pa crtamo samo deo prave za $x \ge 0$ — polupravu iz $O$.

Šta pokazuje koeficijent k

Kad je $k > 0$, prava raste (sleva nadesno ide naviše) i prolazi kroz I i III kvadrant; što je $k$ veći, prava je strmija: $y = 6x$ je strmija od $y = 2x$, a $y = 0{,}5x$ je blaža. Kad je $k < 0$, prava opada i prolazi kroz II i IV kvadrant. Uopšte, što je $k$ dalje od nule, prava je strmija: $y = -6x$ je strmija od $y = -2x$. Prava $y = x$ prolazi kroz $(1, 1)$, a $y = -x$ kroz $(1, -1)$. Zato se $k$ zove i nagib prave.

Da li tačka pripada grafiku

Tačka pripada grafiku ako njene koordinate zadovoljavaju jednakost $y = kx$. Za $y = -3x$: tačka $A(4, -12)$ pripada, jer je $-3 \cdot 4 = -12$, a tačka $B(-2, -6)$ ne pripada, jer je $-3 \cdot (-2) = 6 \ne -6$.

Čitanje sa grafika

Sa nacrtanog grafika vrednosti možemo i da pročitamo. Za dati $x$: od tačke $x$ na $x$-osi idemo uspravno do prave, pa vodoravno do $y$-ose — tu čitamo $y$. Obrnuto, za dati $y$ idemo od $y$-ose vodoravno do prave, pa uspravno do $x$-ose. Sa grafika pumpe tako vidimo da $45$ litara ima posle $7{,}5$ minuta; račun to potvrđuje: $45 : 6 = 7{,}5$.

Kada nije direktna proporcionalnost

Taksi naplaćuje $200$ dinara za start i $100$ dinara po kilometru: $y = 100x + 200$. Cena raste kad raste put, ali to nije direktna proporcionalnost — za $x = 0$ cena nije $0$, količnik $y : x$ nije stalan ($300 : 1 \ne 400 : 2$), a grafik ne prolazi kroz $O$.

🧮 Formule

❓ Pitanja

✏️ Rešeni zadaci

📝 Test

Kod računskih zadataka reši u svesci i upiši rezultat (decimalni broj sa zarezom, npr. 2,5), a kod ostalih izaberi tačan odgovor.