Računanje sa korenima — da li je √8 + √18 = √26?

🎬 Video

📖 Pojmovi

Koren proizvoda i količnika

Za $a \ge 0$ i $b \ge 0$ važi $\sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$, jer je $\left(\sqrt{a} \cdot \sqrt{b}\right)^2 = a \cdot b$, a $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ nije negativan. Zato je $\sqrt{36 \cdot 0{,}25} = 6 \cdot 0{,}5 = 3$, a obrnuto $\sqrt{2} \cdot \sqrt{72} = \sqrt{144} = 12$. Slično, za $a \ge 0$ i $b > 0$ je $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$, pa je $\sqrt{245} : \sqrt{5} = \sqrt{49} = 7$.

Koren zbira nije zbir korena

Za sabiranje i oduzimanje slično pravilo u opštem slučaju ne važi: $\sqrt{100 - 64} = \sqrt{36} = 6$, a $\sqrt{100} - \sqrt{64} = 10 - 8 = 2$. I $\sqrt{3} + \sqrt{5} \approx 1{,}73 + 2{,}24 = 3{,}97$, a $\sqrt{8} \approx 2{,}83$. Zbir $\sqrt{3} + \sqrt{5}$ se ne može kraće zapisati; možemo samo izračunati njegovu približnu vrednost.

Izvlačenje ispred korena i ubacivanje pod koren

Broj pod korenom rastavimo tako da jedan činilac bude što veći potpun kvadrat: $\sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{3} = 5\sqrt{3}$ i $\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}$. To je „izvlačenje ispred korena“. Obrnuto, „ubacivanje pod koren“: $3\sqrt{5} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{5} = \sqrt{45}$. Pod koren ubacujemo samo pozitivan broj, a minus ostaje ispred: $-4\sqrt{5} = -\sqrt{80}$. Ubacivanjem lako poredimo: $3\sqrt{2} = \sqrt{18}$ je veće od $4 = \sqrt{16}$.

Slični koreni

Koreni istog broja su slični i sabiraju se kao slični sabirci, po pravilu $a(b + c) = ab + ac$: $4\sqrt{3} + 2\sqrt{3} = (4 + 2)\sqrt{3} = 6\sqrt{3}$. Da li su koreni slični, vidimo tek kad izvučemo potpune kvadrate: $\sqrt{8} + \sqrt{18} = 2\sqrt{2} + 3\sqrt{2} = 5\sqrt{2}$, a ne $\sqrt{26}$. Koreni $\sqrt{2}$ i $\sqrt{3}$ nisu slični i već su uprošćeni, pa zbir $\sqrt{2} + \sqrt{3}$ ostaje takav.

Množenje zagrade korenom

Koren množi svaki sabirak u zagradi: $\sqrt{10}\left(\sqrt{40} + \sqrt{90}\right) = \sqrt{400} + \sqrt{900} = 20 + 30 = 50$. Ako proizvod nije potpun kvadrat, ostaje koren: $\sqrt{3}\left(2 + \sqrt{3}\right) = 2\sqrt{3} + 3$.

Jednačine sa korenom

Iz $\sqrt{5x} = 10$ sledi $5x = 100$ (kvadrat korena je broj pod korenom), pa je $x = 20$. Iz $4\sqrt{x} = 12$ prvo dobijemo $\sqrt{x} = 3$, pa $x = 9$. Rešenje proverimo zamenom: $\sqrt{5 \cdot 20} = \sqrt{100} = 10$.

Koren preko prostih činilaca

Veliki broj rastavimo na proste činioce i grupišemo ih u parove: $1\,764 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 7 = (2 \cdot 3 \cdot 7)^2$, pa je $\sqrt{1\,764} = 2 \cdot 3 \cdot 7 = 42$. Ako neki činilac ostane bez para, broj nije potpun kvadrat, a taj činilac ostaje pod korenom: $\sqrt{360} = \sqrt{2^2 \cdot 3^2 \cdot 2 \cdot 5} = 6\sqrt{10}$.

Racionalisanje imenioca

Ako je u imeniocu koren, razlomak proširimo tim korenom, pa imenilac postane prirodan broj: $\frac{14}{\sqrt{7}} = \frac{14 \cdot \sqrt{7}}{\sqrt{7} \cdot \sqrt{7}} = \frac{14\sqrt{7}}{7} = 2\sqrt{7}$ i $\frac{3}{\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{2}$. Taj postupak zovemo racionalisanje imenioca.

Pravila računanja u R

Sa realnim brojevima računamo po istim pravilima kao sa racionalnim: sabirci i činioci smeju da zamene mesta (komutativnost) i da se drugačije grupišu (asocijativnost), a množenje se „deli“ na sabirke zagrade (distributivnost) — baš to smo koristili kod sličnih korena i zagrade. Nula ne menja zbir, a jedinica proizvod (neutralni elementi); broju $a$ je suprotan $-a$, a recipročan $\frac{1}{a}$, ako $a \ne 0$ (inverzni elementi). Zato je oduzimanje sabiranje sa suprotnim brojem, a deljenje množenje recipročnim. Ako u račun uđe iracionalan broj, rezultat može biti iracionalan ($5 + \sqrt{3}$, $2\sqrt{7}$), ali i racionalan ($\sqrt{5} - \sqrt{5} = 0$, $\sqrt{2} \cdot \sqrt{18} = 6$).

🧮 Formule

❓ Pitanja

✏️ Rešeni zadaci

📝 Test

Kod računskih zadataka reši u svesci i upiši rezultat (decimalni broj sa zarezom, npr. 2,5), a kod ostalih izaberi tačan odgovor.