Približna vrednost — kolika je stranica leje od 14 m²?
Koren na decimale bez kalkulatora (probanje kvadrata, kvadrat sredine); zaokruživanje kao izbor bližeg kandidata; apsolutna greška Δ = |r − a| i bolja približna vrednost; tačno na sredini — pravilo parne cifre iz 5. razreda; prenos kod devetki; računanje sa korenima: zaokružuje se tek rezultat; znak ≈.
Video
Pojmovi
- Koren na decimale bez kalkulatora
- Prvo celi brojevi: $3^2 = 9 < 14 < 16 = 4^2$, pa je $3 < \sqrt{14} < 4$. Zatim redom probamo desetine: $3{,}5^2 = 12{,}25$, $\ 3{,}6^2 = 12{,}96$, $\ 3{,}7^2 = 13{,}69$, $\ 3{,}8^2 = 14{,}44$ — prešli smo $14$, pa je $3{,}7 < \sqrt{14} < 3{,}8$. Na isti način probamo stotine: $3{,}71^2$, $3{,}72^2$, … $\ 3{,}74^2 = 13{,}9876 < 14 < 14{,}0625 = 3{,}75^2$, pa je $3{,}74 < \sqrt{14} < 3{,}75$. Svaki korak daje jednu decimalu više.
- Bliži kandidat
- Kad broj zaokružujemo na jednu decimalu, on je između dva kandidata koji se razlikuju za $0{,}1$, a biramo bliži. Kod korena to odlučuje kvadrat sredine: $3{,}75^2 = 14{,}0625 > 14$, pa je $\sqrt{14} < 3{,}75$ — bliži je donji kandidat i $\sqrt{14} \approx 3{,}7$. Za dve decimale: $3{,}745^2 = 14{,}025025 > 14$, pa je $\sqrt{14} \approx 3{,}74$. Znak $\approx$ čitamo „približno jednako“, a takav broj zovemo približna vrednost.
- Apsolutna greška
- Kad tačan broj $r$ zamenimo brojem $a$, napravimo grešku jednaku njihovom rastojanju na brojevnoj pravoj: $\Delta = |r - a|$ ($\Delta$ je grčko slovo „delta“). Za $7{,}634$ kandidati su $7{,}6$ i $7{,}7$, sa greškama $0{,}034$ i $0{,}066$, pa je $7{,}634 \approx 7{,}6$ — od dve približne vrednosti bolja je ona sa manjom greškom. Kod iracionalnog broja greška se može samo proceniti: $\sqrt{14} = 3{,}741657\dots$, pa je za $\sqrt{14} \approx 3{,}74$ greška približno $0{,}0017$.
- Tačno na sredini
- Greške kandidata su jednake samo kad je broj tačno na sredini, tj. kad je odbačeni deo tačno pola jedinice poslednjeg mesta: $3{,}25$ je jednako daleko od $3{,}2$ i od $3{,}3$. Tada važi pravilo parne cifre iz 5. razreda: poslednja cifra rezultata mora biti parna. Zato $3{,}25 \approx 3{,}2$ (zadržana $2$ je parna i ostaje), a $3{,}75 \approx 3{,}8$ (zadržana $7$ je neparna, pa se poveća). Ali $3{,}2501 \approx 3{,}3$, jer je taj broj malo bliži broju $3{,}3$. Na sredini može biti samo racionalan broj; iracionalan nikad nije tačno na sredini.
- Devetke
- Kad zaokruživanjem treba povećati cifru $9$, na njenom mestu pišemo $0$, a $1$ dodajemo cifri levo od nje: $12{,}96 \approx 13{,}0$ na jednu decimalu (kandidati $12{,}9$ i $13{,}0$). Nulu na kraju pišemo, da se vidi na koliko decimala smo zaokružili.
- Zaokružuje se tek rezultat
- Ograda oko leje ima dužinu $4\sqrt{14}$ m. Kalkulator daje $4 \cdot 3{,}741657\dots = 14{,}9666\dots \approx 14{,}97$ m. Ako prvo zaokružimo $\sqrt{14} \approx 3{,}74$, pa pomnožimo, dobijemo $14{,}96$ m — greška se pomnožila sa $4$. Zato u računu nosimo što više decimala, a zaokružujemo samo konačan rezultat. Iracionalan broj nema „poslednju“ decimalu, ali ni periodičan razlomak: $\frac{5}{7} = 0{,}714285\dots$, pa i njega zaokružujemo.
Formule
| Oznaka | Šta znači | Jedinica |
|---|---|---|
| $r$ | tačan broj | — |
| $a$ | približna vrednost | — |
| $\Delta$ | apsolutna greška | — |
Bolja je približna vrednost sa manjom greškom; kad su greške jednake — pravilo parne cifre.
| Oznaka | Šta znači | Jedinica |
|---|---|---|
| $c$, $d$ | kandidati (npr. sa jednom decimalom) | — |
| $n$ | broj pod korenom | — |
Bliži kandidat: uporedi $n$ sa kvadratom sredine između $c$ i $d$.
Pitanja
Pitanje 1 od 10
1. Kako se čita znak $\approx$?
2. Šta je apsolutna greška?
3. Koji broj je tačno na sredini između $4{,}1$ i $4{,}2$?
4. Kad zaokruživanjem treba povećati cifru $9$, na njenom mestu pišemo:
5. Zašto se $7{,}4501$ na jednu decimalu zaokružuje na $7{,}5$?
6. Koji su kandidati za zaokruživanje broja $0{,}3758$ na dve decimale?
7. Između koja dva broja sa jednom decimalom je $\sqrt{8}$?
8. Kako odlučujemo kojem kandidatu je koren bliži?
9. Zašto u računu sa korenima zaokružujemo tek rezultat?
10. Kada su apsolutne greške dva kandidata jednake?
Rešeni zadaci
Kvadratna leja ima površinu $14$ m². Kolika joj je stranica, zaokružena na dve decimale (bez kalkulatora)?
-
$3{,}7^2 = 13{,}69 < 14 < 14{,}44 = 3{,}8^2$Stranica je $\sqrt{14}$; probanjem desetina nađemo granice.
-
$3{,}74^2 = 13{,}9876 < 14 < 14{,}0625 = 3{,}75^2$Probanjem stotina ($3{,}71^2$, $3{,}72^2$, …) nađemo uže granice.
-
$3{,}745^2 = 14{,}025025 > 14$Sredina je veća od korena, pa je koren bliži donjem kandidatu.
Koja je bolja približna vrednost broja $\frac{5}{7}$: $0{,}71$ ili $0{,}72$?
-
$\left|\frac{5}{7} - \frac{71}{100}\right| = \frac{|500 - 497|}{700} = \frac{3}{700}$Greška prve vrednosti; zajednički imenilac je $700$.
-
$\left|\frac{5}{7} - \frac{72}{100}\right| = \frac{|500 - 504|}{700} = \frac{4}{700}$Greška druge vrednosti.
-
$\frac{3}{700} < \frac{4}{700}$Bolja je vrednost sa manjom greškom.
Ograda oko kvadratne leje od $14$ m² ima dužinu $4\sqrt{14}$ m. Koliko je to na dve decimale?
-
$4 \cdot 3{,}741657\dots = 14{,}96662\dots$Kalkulatorom; nosimo sve decimale.
-
$4\sqrt{14} \approx 14{,}97$Zaokružimo tek rezultat.
-
$4 \cdot 3{,}74 = 14{,}96$Pogrešno bi bilo prvo zaokružiti koren: greška se pomnoži sa $4$.
Zaokruži na jednu decimalu: $3{,}25$; $\ 3{,}75$; $\ 3{,}2501$.
-
$3{,}25 \approx 3{,}2$Tačno na sredini; zadržana cifra $2$ je parna, pa ostaje.
-
$3{,}75 \approx 3{,}8$Tačno na sredini; zadržana cifra $7$ je neparna, pa se poveća.
-
$3{,}2501 \approx 3{,}3$Nije na sredini: malo je bliži broju $3{,}3$.
Test
Kod računskih zadataka reši u svesci i upiši rezultat (decimalni broj sa zarezom, npr. 2,5), a kod ostalih izaberi tačan odgovor.
Bez kalkulatora zaokruži $\sqrt{43}$ na jednu decimalu.
Zaokruži $76{,}65$ na jednu decimalu.
Razlomak $\frac{1}{7}$ zaokruži na dve decimale, pa izračunaj apsolutnu grešku tog zaokruživanja kao nesvodljiv razlomak (npr. 7/900).
Ivan je $\sqrt{40}$ zaokružio na $6{,}4$, jer je $6{,}3^2 = 39{,}69 < 40 < 40{,}96 = 6{,}4^2$. Da li je u pravu?
Bravo, čas je završen!
Želiš sertifikat? Napravi besplatan nalog, pa uradi test još jednom (treba bar 3 od 4 tačno). Rezultati se tada čuvaju, a sertifikat možeš da odštampaš ili podeliš.
Napravi besplatan nalogPohvali se i pozovi drugara:
Sledeći čas: 7. Računanje sa korenima — da li je √8 + √18 = √26?