Decimalni zapis racionalnih i iracionalnih brojeva — da li se cifre ponavljaju?

🎬 Video

📖 Pojmovi

Konačan decimalni zapis

Neki razlomci imaju konačan decimalni zapis: $\frac{3}{8} = 0{,}375$, $\frac{7}{20} = 0{,}35$. To su upravo oni razlomci čiji imenilac, posle skraćivanja, nema drugih prostih činilaca osim $2$ i $5$ — jer se tada mogu proširiti do imenioca $10$, $100$, $1\,000$ …, na primer $\frac{7}{20} = \frac{35}{100}$.

Periodičan decimalni zapis

Kad delimo $7 : 11$, ostaci su redom $7, 4, 7, 4, \dots$ i dobijamo $0{,}636363\dots$ Ostatak pri deljenju sa $11$ može biti samo neki od brojeva $0, 1, \dots, 10$, pa se posle najviše $11$ koraka neki ostatak mora ponoviti — a od tada se ponavljaju i cifre. Deo koji se ponavlja zove se perioda. Pišemo je u zagradi, tačkicama iznad cifara ili crtom: $0{,}(63) = 0{,}\dot{6}\dot{3} = 0{,}\overline{63}$. Perioda ne mora da počne odmah iza zapete: $\frac{7}{12} = 0{,}58333\dots = 0{,}58(3)$. Znak minus se samo prepiše: $-\frac{7}{12} = -0{,}58(3)$.

Bilo koja decimala periodičnog broja

Zbog periode lako nalazimo i daleku decimalu. U $0{,}(63)$ perioda ima dve cifre, pa je na svakom neparnom mestu $6$, a na svakom parnom $3$: na $15$. mestu je $6$, jer je $15 = 7 \cdot 2 + 1$ (ostatak $1$ — prva cifra periode). Uopšte, redni broj decimale podelimo dužinom periode i gledamo ostatak; ostatak $0$ znači poslednju cifru periode. Ako ispred periode ima decimala, njih prvo oduzmemo od rednog broja.

Zapis otkriva razlomak

Iz prethodnih pojmova sledi: kad razlomak delimo, deljenje se ili završi, ili počne da se ponavlja — treće mogućnosti nema. Važi i obrnuto: od svakog konačnog ili periodičnog zapisa može da se napravi razlomak (kako, vidi sledeći pojam). Zato iz decimalnog zapisa odmah vidimo da li je broj razlomak, tj. racionalan.

Periodičan zapis u razlomak

Neka je $x = 0{,}(27)$. Perioda ima dve cifre, pa pomnožimo sa $100$: $100x = 27{,}(27)$. Oduzmemo: $100x - x = 27{,}(27) - 0{,}(27) = 27$, pa je $99x = 27$ i $x = \frac{27}{99} = \frac{3}{11}$. Ako perioda ne počinje odmah iza zapete, prvo pomnožimo sa $10$ (ili $100$ …) da bi počela odmah iza zapete: za $x = 0{,}8(3)$ je $10x = 8{,}(3)$ i $100x = 83{,}(3)$, pa $90x = 75$ i $x = \frac{75}{90} = \frac{5}{6}$.

Iracionalni brojevi

Iracionalan broj nije razlomak, pa ne može da se dobije deljenjem dva cela broja: decimale mu nikad ne prestaju, a nikad se ni ne ustale u periodu. Tako je $\sqrt{7} = 2{,}6457513\dots$ — ma koliko decimala izračunali, od nekog mesta neće početi da se ponavlja isti blok cifara. To znamo zato što $7$ nije potpun kvadrat, a ne zato što smo pogledali ekran.

Kako prepoznati vrstu broja

$2{,}75$ (konačan) i $-0{,}(3)$ (periodičan) su racionalni. $\sqrt{5} = 2{,}236\dots$ je iracionalan, jer $5$ nije potpun kvadrat. Ali pazi: koren može biti racionalan, $\sqrt{0{,}64} = 0{,}8$. Tri tačke same po sebi ne govore ništa — za $1{,}4142\dots$ moramo znati kako se zapis nastavlja (ili odakle broj potiče) da bismo rekli kakav je broj.

🧮 Formule

❓ Pitanja

✏️ Rešeni zadaci

📝 Test

Kod računskih zadataka reši u svesci i upiši rezultat (decimalni broj sa zarezom, npr. 2,5), a kod ostalih izaberi tačan odgovor.