Iracionalni brojevi — gde je √2 na brojevnoj pravoj?
Duž dužine √2 postoji (od dva kvadrata stranice 1 složimo kvadrat površine 2); broj koji se ne može zapisati kao razlomak je iracionalan (I), npr. √n kad n nije potpun kvadrat; √2 i drugi koreni na brojevnoj pravoj (šestar); realni brojevi R = Q ∪ I, Q ∩ I = ∅; kvadrat nad dijagonalom ima dvaput veću površinu (d² = 2a²); stranica kvadrata površine P je √P; između kojih celih brojeva je √n.
Video
Pojmovi
- Broj √2 postoji
- Dva kvadrata sa stranicom $1$ presečemo po dijagonali i dobijemo četiri podudarna trougla sa pravim uglom. Složimo ih tako da im se pravi uglovi sastanu u jednoj tački, a dijagonale budu spolja. Nastala figura je kvadrat: sve četiri stranice su dijagonale malih kvadrata, pa su jednake, a u svakom temenu se sastaju dva ugla od $45^\circ$, što daje prav ugao. Njegova površina je $1 + 1 = 2$, pa za njegovu stranicu $s$ važi $s^2 = 2$, tj. $s = \sqrt{2}$. Dakle, dijagonala kvadrata sa stranicom $1$ ima dužinu $\sqrt{2}$ — taj broj postoji, iako smo na prethodnim časovima videli da nije razlomak.
- Iracionalni brojevi
- Broj koji ne možemo zapisati kao razlomak $\frac{p}{q}$ ($p$ ceo, $q$ prirodan broj) zovemo iracionalnim brojem. Takav je $\sqrt{2}$: nije razlomak, a ipak je to sasvim stvarna dužina. Sve iracionalne brojeve skupljamo u skup koji označavamo slovom $I$. Koren prirodnog broja koji nije potpun kvadrat uvek je iracionalan (to ovde nećemo dokazivati): $\sqrt{3}$, $\sqrt{7}$, $\sqrt{10}$… A $\sqrt{9} = 3$ i $\sqrt{64} = 8$ su racionalni. Suprotan broj racionalnog broja je racionalan, pa suprotan broj iracionalnog ne može biti racionalan: i $-\sqrt{3}$ je iracionalan.
- √2 na brojevnoj pravoj
- Racionalne brojeve na pravoj nalazimo deljenjem jedinične duži na jednake delove. Za $\sqrt{2}$ to ne prolazi, ali pomaže šestar. Nad duži od $0$ do $1$ nacrtamo kvadrat; njegova dijagonala iz tačke $0$ ima dužinu $\sqrt{2}$. Šestarom sa centrom u tački $0$ i poluprečnikom jednakim toj dijagonali opišemo luk do prave: presek je tačka $\sqrt{2}$, između $1$ i $2$. Luk na drugu stranu daje tačku $-\sqrt{2}$. Sa kvadratom nad duži od $0$ do $5$ isto tako dobijamo tačku $\sqrt{50}$.
- Realni brojevi
- Kad skupimo sve racionalne i sve iracionalne brojeve, dobijemo skup realnih brojeva $R$: $R = Q \cup I$. Ta dva skupa nemaju zajedničkih elemenata — broj je ili racionalan ili iracionalan, nikad oba: $Q \cap I = \emptyset$. Prirodni, celi i racionalni brojevi su deo realnih: $N \subset Z \subset Q \subset R$, a i $I \subset R$. Svakom realnom broju odgovara tačno jedna tačka brojevne prave.
- Kvadrat nad dijagonalom
- Isto slaganje radi i sa dva kvadrata stranice $a$: dobijemo kvadrat površine $2a^2$, čija je stranica dijagonala $d$ malog kvadrata. Zato je $d^2 = 2a^2$. Za $a = 3$: $d^2 = 18$ i $d = \sqrt{18}$; za $a = 5$: $d^2 = 50$ i $d = \sqrt{50}$. Obrnuto, iz dijagonale dobijamo površinu: $P = a^2 = \frac{d^2}{2}$. I uopšte, stranica kvadrata površine $P$ je $\sqrt{P}$ — kad $P$ nije potpun kvadrat, to je iracionalan broj.
- Između kojih celih brojeva je √n
- Što je pozitivan broj veći, veći mu je i kvadrat. Zato $\sqrt{30}$ tražimo između susednih potpunih kvadrata: $25 < 30 < 36$, tj. $5^2 < 30 < 6^2$, pa je $5 < \sqrt{30} < 6$. Za suprotan broj nejednakosti se okreću: $-6 < -\sqrt{30} < -5$.
Formule
| Oznaka | Šta znači | Jedinica |
|---|---|---|
| $Q$ | racionalni brojevi | — |
| $I$ | iracionalni brojevi | — |
| $R$ | realni brojevi | — |
Koren prirodnog broja koji nije potpun kvadrat je iracionalan.
| Oznaka | Šta znači | Jedinica |
|---|---|---|
| $a$ | stranica kvadrata | cm |
| $d$ | dijagonala | cm |
| $P$ | površina | cm² |
Kvadrat nad dijagonalom ima dvaput veću površinu od datog kvadrata.
| Oznaka | Šta znači | Jedinica |
|---|---|---|
| $n$ | broj pod korenom | — |
| $k$ | prirodan broj ili nula | — |
Traže se susedni potpuni kvadrati.
Pitanja
Pitanje 1 od 10
1. Koji od ovih brojeva je iracionalan?
2. Koji od ovih brojeva je racionalan?
3. Šta čini skup realnih brojeva $R$?
4. Koliko ima brojeva koji su istovremeno racionalni i iracionalni?
5. Kolika je dijagonala kvadrata sa stranicom $1$?
6. Između koja dva uzastopna cela broja se nalazi $\sqrt{20}$?
7. Gde je na brojevnoj pravoj tačka $-\sqrt{2}$?
8. Kvadrat ima površinu $7$ cm². Kolika mu je stranica?
9. Kakav je suprotan broj iracionalnog broja?
10. Kolika je površina kvadrata nacrtanog nad dijagonalom kvadrata sa stranicom $3$ cm?
Rešeni zadaci
Kvadrat ima stranicu $6$ cm. Kolika mu je dijagonala i između koja dva uzastopna cela broja je njena dužina?
-
$d^2 = 2 \cdot 6^2 = 72$Kvadrat nad dijagonalom ima dvaput veću površinu.
-
$d = \sqrt{72}$ cmDužina nije negativna; $72$ nije potpun kvadrat, pa je $\sqrt{72}$ iracionalan.
-
$8^2 = 64 < 72 < 81 = 9^2$, pa $8 < \sqrt{72} < 9$Tražimo susedne potpune kvadrate.
Na brojevnoj pravoj konstruiši tačku $\sqrt{18}$.
-
$2 \cdot 3^2 = 18$Dijagonala kvadrata sa stranicom $3$ ima dužinu $\sqrt{18}$.
-
kvadrat nad duži od $0$ do $3$Nacrtamo ga iznad prave i povučemo dijagonalu iz tačke $0$.
-
luk sa centrom u tački $0$Šestarom prenesemo dijagonalu na pravu: presek je $\sqrt{18}$, između $4$ i $5$ (jer $16 < 18 < 25$).
Između koja dva uzastopna cela broja se nalazi $\sqrt{55}$?
-
$7^2 = 49 < 55 < 64 = 8^2$Tražimo susedne potpune kvadrate.
-
$7 < \sqrt{55} < 8$Veći pozitivan broj ima veći kvadrat.
Kvadratni tepih ima površinu $6$ m², a drugi $6{,}25$ m². Da li su njihove stranice racionalni brojevi?
-
$s_1 = \sqrt{6}$ mStranica kvadrata površine $P$ je $\sqrt{P}$.
-
$2^2 = 4 < 6 < 9 = 3^2$$6$ nije potpun kvadrat, pa je $\sqrt{6}$ iracionalan, između $2$ i $3$.
-
$s_2 = \sqrt{6{,}25} = 2{,}5$ m$2{,}5^2 = 6{,}25$, pa je druga stranica racionalan broj.
Test
Kod računskih zadataka reši u svesci i upiši rezultat (decimalni broj sa zarezom, npr. 2,5), a kod ostalih izaberi tačan odgovor.
Nad duži od $0$ do $7$ na brojevnoj pravoj nacrtamo kvadrat. Šestarom sa centrom u tački $0$ prenesemo njegovu dijagonalu ulevo, na negativni deo prave. Između koja dva uzastopna cela broja je dobijena tačka? Upiši ih od manjeg ka većem, odvojene znakom ; (npr. 2; 3).
Za koliko prirodnih brojeva $n$ od $71$ do $138$ (uključujući i njih) je $\sqrt{n}$ iracionalan broj?
Kvadratna salveta ima dijagonalu dužine $50$ cm. Kolika joj je površina (u cm²)?
Na brojevnoj pravoj su tačke $A(\sqrt{19})$, $B(4{,}3)$ i $C(4{,}4)$. Kojim redom su poređane, sleva nadesno?
Bravo, čas je završen!
Želiš sertifikat? Napravi besplatan nalog, pa uradi test još jednom (treba bar 3 od 4 tačno). Rezultati se tada čuvaju, a sertifikat možeš da odštampaš ili podeliš.
Napravi besplatan nalogPohvali se i pozovi drugara:
Sledeći čas: 5. Decimalni zapis racionalnih i iracionalnih brojeva — da li se cifre ponavljaju?